2019届高三数学上学期期中试卷 理(含解析) (III).doc

2019届高三数学上学期期中试卷 理(含解析) (III)一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设集合，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】确定出集合，再求的交集即可。【详解】，故选【点睛】本题考查了集合的交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解决本题的关键，属于基础题。2.在ABC中， “AB”是“sinAsinB”的 （ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】先判定充分性，然后判定必要性【详解】在ABC中，AB，三角形中大边对大角，则ab由正弦定理可得a=2RsinA，b=2RsinB，2RsinA2RsinB，sinAsinB，充分性成立sinAsinB，由正弦定理可得sinA=a2R，sinB=b2Ra2Rb2R，则ab三角形中大边对大角，则A0log22x-10，即x12x1故函数的定义域为1，+故选B【点睛】本题主要考查了函数的定义域求法，在解答此类题目时注意限制条件，如根号、对数函数等自身的限制条件，然后计算出结果。4.已知向量a=(1,3),b=(3,m). 若向量a,b的夹角为6，则实数m=A. 23 B. 3 C. 0 D. -3【答案】B【解析】【分析】运用向量的数量积表示出向量点乘结果，然后求出m的值【详解】ab=abcos，根据题意可得：1,33，m=1+39+m2cos6即3+3m=1+39+m232两边平方化简可得m=3故选B【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积，属于基础题。5.已知等差数列an的前n项和为Sn，且S9=6，则tana5=（ ）A. 33 B. 3 C. 3 D. 33【答案】C【解析】由等差数列的性质可得：S9=6=9a1+a92=9a5，a5=23，则tana5=tan23=3，故选C.6.已知a=log2e，b=ln2，c=log213，则a,b,c的大小关系为 （ ）A. abc B. bac C. cba D. cab【答案】A【解析】【分析】运用对数计算出结果，结合“1”和“0”比较数的大小【详解】a=log2elog22=10b=ln21c=log213bc故选A【点睛】本题主要考查了对数函数的计算，然后构造数比较大小，属于基础题。7.设两个平面,，直线，下列三个条件：l；l/；.若以其中两个作为前提条件，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确命题的个数为()A. 3 B. 2 C. 1 D. 0【答案】C【解析】【分析】列出，判断三者的正误即可得到答案【详解】即ll/，正确即ll/，可能是平面内的直线，故不正确即l/l，同样可能是平面内的直线，故不正确故选C【点睛】本题主要考查了命题以及线面位置关系和面面位置关系的相关定理，熟练掌握各个定义是解题的关键，属于基础题。8.如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为（ ）A. 3 B. 43 C. 32 D. 1【答案】B【解析】【分析】首先确定几何体的空间结构特征，然后求解其体积即可。【详解】易知该几何体是一个多面体，由上下两个全等的正四棱锥组成其中正四棱锥底面边长为2，棱锥的高为1，则多面体的体积为：V=213221=43故选B【点睛】本题主要考查了空间几何体的体积，考查了学生的空间想象能力和运算求解能力，考查的核心素养是直观想象，数学运算。9.已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)=cosx,x0,122x1,x(12,+)，则不等式f(x1)12的解集为（ ）A. B. 34,1314,23 C. 13,3443,74 D. 34,1313,34【答案】A【解析】试题分析：先画出当x0时，函数f(x)的图象，又f(x)为偶函数，故将y轴右侧的函数图象关于y轴对称，得y轴左侧的图象，如下图所示，直线y=12与函数f(x)的四个交点横坐标从左到右依次为34,13,13,34，由图象可知，13x134或34x113，解得x，选A考点：、分段函数；2、函数的图象和性质；3、不等式的解集视频10.函数y=x22sinx的图象大致是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数y=x2-2sinx的解析式，根据定义在R上的奇函数图像关于原点对称可以排除A，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个选项即可得到结果【详解】当x=0时，y=0-2sin0=0故函数图像过原点，排除A又y=12-2cosx，令y=0则可以有无数解，所以函数的极值点有很多个，故排除B，D故函数在无穷域的单调区间呈周期性变化结合四个选项，只有C符合要求故选C【点睛】本题主要考查了由函数的表达式判断函数图像的大体形状，解决此类问题，主要从函数的定义域，值域，单调性以及奇偶性，极值等方面考虑，有时也用特殊值代入验证。11.如图,一个空间几何体的主视图、左视图均为直角边为1的等腰直角三角形，俯视图为正方形,那么这个几何体的外接球表面积为（ ）. A. 3 B. 12 C. 32 D. 16【答案】A【解析】【分析】由三视图得到几何体的图形，然后将其补成正方体，求出外接球的半径，继而得到外接球表面积【详解】由三视图得几何体为四棱锥，可将几何体补成棱长为1的正方体则外接球半径R=32几何体的外接球表面积为S=4R2=4322=3故选A【点睛】本题主要考查了球的表面积，由已知条件根据三视图得到几何体，然后将其补成正方体即可求解，此类题目需要注意解题方法。12.已知函数y=fx是定义在R上的偶函数，对任意xR都有fx+6=fx+f3，当x1,x20,3，且x1x2时，fx1-fx2x1-x20，给出如下命题：f3=0； 直线x=-6是函数y=fx的图象的一条对称轴；函数y=fx在-9,-6上为增函数；函数y=fx在-9,9上有四个零点.其中所有正确命题的序号为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意得到函数的奇偶性、周期性和单调性，然后逐一进行判定【详解】令x=3，则由fx+6=fx+f3，函数y=fx是定义在R上的偶函数，可得：f3=f-3+f3=2f3，故f3=0，故正确由f3=0可得：fx+6=fx，故函数fx是周期等于6的周期函数fx是偶函数，y轴是对称轴，故直线x=-6是函数y=fx的图象的一条对称轴，故正确当x1,x20,3，且x1x2时，fx1-fx2x1-x20，故fx在0，3上为增函数fx是偶函数，故fx在-3，0上为减函数函数fx是周期等于6的周期函数故fx在-9，-6上为减函数，故错误函数fx是周期等于6的周期函数f-9=f-3=f3=f9=0，故函数y=fx在-9,9上有四个零点，故正确综上所述，则正确命题的序号为故选D【点睛】本题考查了函数的性质：奇偶性、周期性以及单调性，在求解过程中熟练运用各性质进行解题，注意零点问题的求解。二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.计算1e(2x+1x)dx= .【答案】e2【解析】试题分析：e2考点：定积分点评：定积分用于求曲边梯形的面积。若F(x)=f(x)，则abf(x)dx=F(x)|ab。14.设x，y满足约束条件2x+3y302x3y+30y+30，则z=2x+y的最小值是_.【答案】15【解析】【分析】由约束条件画出可行域，然后运用线性规划来求解最小值【详解】由题意约束条件作出可行域，用阴影部分表示，如图所示当目标函数z=2x+y过点-6，-3时取得最小值最小值为z=2-6-3=-15故答案为-15【点睛】本题主要考查了线性规划，解题步骤为：画出可行域、改写目标函数、运用几何意义求出最值，注意在判定可行域时的方法。15.已知等差数列an的前n项和为Sn，a3=6，S4=20，则k=1n1Sk=_【答案】nn+1【解析】【分析】根据等差数列的通项公式与求和公式，列出关于首项与公差的方程组，解方程组即可得到公差。进而表示出Sn，再根据1Sk=1k(k+1)=1k-1k+1即可求解。【详解】设等差数列的首项为a1，公差为d，由题意有a1+2d=64a1+432d=20 ，解得a1=2d=2 ，数列的前n项和Sn=na1+n(n-1)2d=n2+n(n-1)22=n(n+1)，裂项可得1Sk=1k(k+1)=1k-1k+1，所以k=1n1Sk=(1-12)+(12-13)+(1n-1n+1)=1-1n+1=nn+1【点睛】本题考查了等差数列通项公式、求和公式的用法，裂项求和的综合应用，属于中档题。16.已知向量,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最大值是_【答案】25【解析】【分析】运用向量绝对值不等式，结合基本不等式求得结果【详解】|a+b|+|a-b|2a+b2+a-b22=a2+b2=5，|a+b|+|a-b|25，当且仅当a+b=|a-b|时取等号，此时ab=0故当ab时，|a+b|+|a-b|的最大值是25故答案为25【点睛】本题考查了向量的线性运算，向量绝对值不等式，利用基本不等式求最值，需要掌握解题方法。三、解答题(本大题共6小题, 共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.（1）已知函数y=ax+b(b0)的图象经过点P(1,3)，如图所示，求4a-1+1b的最小值；（2）已知lnxx+cx2-2x+2对任意的正实数x恒成立，求的取值范围.【答案】（1）最小值92，当且仅当a=73,b=23时等号成立；（2）1c14【解析】【分析】由函数图像经过点P(1,3)，代入后求得a-1+b=2，结合基本不等式求出结果分别解出不等式左右两边的最值情况，即可求出结果【详解】函数y=ax+b(b0)的图象经过点P(1,3)，3=a+b，a1，b0a-1+b=24a-1+1b=12a-1+b4a-1+1b=125+4ba-1+a-1b125+24ba-1+a-1b=92当且仅当a-1=2b=43时取等号lnxx+cx2-2x+2lnx-xc令fx=lnx-x，fx=1x-1=1-xx，当0x0，fx递增当x1时，fx0，2bcosA=acosC+ccosA，2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC=sinA+C=sinB，结合sinB为正数，可得cosA=12A0,，则A=3（)BAAC=-3，则-bccosA=-3，由可得A=3，cosA=12bc=6，cosA=b2+c2-a22bc=12，b2+c2-7=bc，b+c2-7=3bc，b+c2=25则b+c=5ABC周长为5+7【点睛】本题主要考查了运用正弦定理、余弦定理解三角形，在求三角形周长时，运用余弦定理求出边长之间的关系，解题时需要掌握方法。20.已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=n2+2n，nN+.递增的等比数列bn满足b1+b3=10，b22=16.（）求数列an,bn的通项公式； （）求数列anbn的前n项和Tn【答案】（1）an=2n+1,bn=2n；（2）Tn=2+2n12n+1.【解析】【分析】（）由已知条件分别解出数列an,bn的通项公式（）运用错位相减法求出数列anbn的前n项和Tn【详解】（）当n=1时，a1=S1=1+2=3当n1时，an=Sn-Sn-1=n2+2n-n-12-2n-1=2n+1对n=1也成立，则an=2n+1nN+设等比数列bn的公比为q，且为递增等比数列b22=16，则b2=4b1+b3=4q+4q=10，解得q1=2，q2=1（舍去），b1=2b1=22n-1=2n（）anbn=2n+12nTn=321+522+2n+12n 2Tn=322+2n-12n+2n+12n+1 - 可得：-Tn=321+222+22n-2n+12n+1=2+221+22+2n-2n+12n+1=-2-2n-12n+1则Tn=2+2n-12n+1【点睛】本题主要考查了求数列的通项公式，由已知条件结合等差数列的前n项和推出通项公式，在遇到形如anbn的形式求和时需要运用错位相减法得到结果。21.如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE 平面ABCD,BAD=ADC=900， AB=AD=12CD=a，PD=2a,M为PA中点.()求证：AC/平面MDE；()求直线ME与平面PBC所成角的正弦值【答案】（1）略；（2） 53819.【解析】【分析】()连接PC，交DE于N，连接MN，则MNAC，再根据线面平行的判定定理即可得到答案()建立空间坐标系，求出法向量，运用空间向量求出结果【详解】()连接PC，交DE于N，连接MN，在PAC中，M，N分别为两腰PA，PC的中点MNAC又AC面MDE，MN面MDE，AC/平面MDE()以D为空间坐标系原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系则P0，0，2a，Ba，a，0，C0，2a，0，Aa，0，0，Ma2，0，2a2，E0，2a，2aPB=a，a，-2a，BC=-a，a，0设平面PBC的法向量为n=x，y，z则x，y，za，a，-2a=0x，y，z-a，a，0=0即x+y-2z=0-x+y=0，取z=1，则n=22，22，1ME=-a2，2a，22a，设直线ME与法向量的夹角为cos=MEnMEn=524a192a2=53819，直线ME与平面PBC所成角的正弦值为53819【点睛】本题主要考查了线面平行及运用空间向量求出线面夹角问题，在求解过程中熟练掌握解题方法，然后运用法则来求出结果。22.已知函数f(x)=lnxax+bx，对任意的x(0,+)，满足f(x)+f(1x)=0，其中a,b为常数（）若a=2,求f(x)在x=1处的切线方程；（）已知0a0；（）当f(x)存在三个不同的零点时，求的取值范围【答案】（）y=5x-5；（）详见解析；（）(0,12).【解析】【分析】（）代入a=-2，然后求出函数f(x)在x=1处的切线方程（）写出f(a22)的表达式，令g(x)=2lnx+2x-x32-ln2，根据的取值范围，得到g(x)的单调性，即可得证（）对f(x)求导，讨论在不同的的取值范围下f(x)的单调性，进而讨论其零点的个数，即可求出存在三个不同零点时的取值范围。【详解】