平面向量的线性运算---平面向量的加减法.ppt

温故知新,零,0,1个单位,相同或相反,ab,平行,相等,相同,ab,平面向量的线性运算,向量的加法运算,台北,香港,上海,从运动的合成看向量运算,在大陆和台湾没有直航之前，台湾同胞要到上海探亲，得乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，那么这两次位移之和是什么？,A,B,C,位移,创设情境 兴趣导入,王涛同学从家中（A处）出发，向正南方向行走500 m到,达超市（B处），买了文具后，又沿着北偏东60角方向行,走200 m到达学校（C处）（如,总效果是从家（A处）到达了学,图）王涛同学这两次位移的,校（C处）,E,O,O,E,F1+F2=F,从力的合成看向量运算,橡皮条在力F1与F2的作用下，从E点伸长到了O点；同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点. 问:合力F与力F1、F2有怎样的关系？,F是以F1与F2为邻边所形成的 平行四边形的对角线,A,B,C,向量的加法运算,运动的合成 力的合成,向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法 向量的加法法则：三角形法则、平行四边形法则,动脑思考 探索新知,（1）ab与ba相等吗？请画出图来说明,（2）如果向量a和向量b共线，如何画出它们的和向量？,想一想,动脑思考 探索新知,A,C,B,a,b,a+b,a,b,一般地，设向量a与向量b不共线，在平面上任取一点A,记作ab ，即,（71）,求向量的和的运算叫做向量的加法上述求向量的和的方法,叫做向量加法的三角形法则,动脑思考 探索新知,如图所示，ABCD为平行四边形，由于,根据三角形法则得,的和这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则,平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法 具有以下的性质：,(1) a0 = 0a=a； a（ a）= 0；,(2) ab = ba；,(3) （ab） c = a （bc）,o,A,B,C,力的合成可以看作向量加法的 平行四边形法则的物理模型,C,A,B,向量加法法则,位移的合成可以看作向量 加法三角形法则的物理模型,向量加法法则总结与拓展,向量加法的三角形法则: 1.将向量平移使得它们首尾相连 2.和向量即是第一个向量的首指向第二个向量的尾 向量加法的平行四边形法则: 1.将向量平移到同一起点 2.和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的对角线 三角形法则推广为多边形法则：,探究一：当向量共线时，如何相加？,探究二：向量的加法是否具备交换律和结合律？,数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，bR，有a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+c) 向量的加法具备吗？你能否画图解释？,巩固知识 典型例题,例3 一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流 速度为5 km/h，求该船的实际航行速度,速度，由向量加法的平行四边形法则，,是船的实际航行速度，显然,=13,利用计算器求得,即船的实际航行速度大小是13km/h，其方向与河岸线的夹角约,巩固知识 典型例题,例4 用两条同样的绳子挂一个物体,设物体的重力为k，两条,，求物体受到沿两条绳子的方向的,绳子的方向与垂线的夹角为,解 利用平行四边形法则，可以得到,所以,运用知识 强化练习,计算：,平面向量的线性运算,向量的减法运算,预备知识：相反向量,类比实数的相反数的概率，定义相反向量： 与a长度相等，方向相反的向量， 叫做a的相反向量，记作-a ; -a与a互为相反向量 规定：零向量的相反向量仍是零向量 所以: 1、-(-a)=a；2、a+(-a)=(-a)+a=0； 3、a=-b，b=-a，a+b=0 向量的减法：a-b=a+(-b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量,向量减法法则,要点:1.平移到同一起点；2.指向被减向量.,A,B,O,探究三：当向量共线时，如何相减？,(1)同向,(2)反向,探究四：平行四边形法则的两条对角线,动脑思考 探索新知,想一想,根据例题4的分析，判断在单杠上悬挂身体时，两臂,成什么角度时，双臂受力最小？,运用知识 强化练习,计算：,动脑思考 探索新知,与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义,为向量a与向量b的差即,a b = a(b),即,（72）,观察图可以得到：起点相同的,个向量，其起点是减向量b的终点，,两个向量a、 b，其差a b仍然是一,终点是被减向量a的终点,设a ， b ，则,a,巩固知识 典型例题,例5 已知如图所示向量a 、b ，请画出向量a b,B,b,O,A,b,a,解 如图所示，以平面上任一点O,= a b ,运用知识 强化练习,计算：,创设情境 兴趣导入,3a是一个向量，其方向与a的方向相同,其模是a的模的3倍，即,|3a| = 3|a| ,观察下图可以看出向量 与向量a共线，并且,a,动脑思考 探索新知,（73）,（74）,由上面定义可以得到，对于非零向量a、b，当 时，有,时， a的方向与a的方向相反,动脑思考 探索新知,一般地，有,数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于,向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中但是，要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的,做一做,请画出图形来，分别验证这些法则,巩固知识 典型例题,b，试用a, b表示向量 、,因为O分别为AC，BD的中点，所以,可以用向量a，b线性表示,巩固知识 典型例题,向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算,运用知识 强化练习,计算：,（1）3(a 2 b) 2(2 ab)；,（2）3 a 2(3 a 4 b)3(a b),（1） a 8b ； （2）5b ,当