材料力学第5章弯曲内力.ppt

第5章 弯曲内力,5.1弯曲的概念和实例 工程中经常遇到受弯构件，如桥式起重机大梁(见图5.1(a)、火车轮轴(见图5.2(a)、房屋建筑中的楼板梁(见图5.3(a)、受气流冲击的汽轮机叶片(见图5.4(a)等。这些杆件的受力特征是作用于杆件上的外力(横向力或力偶矢)垂直于杆件的轴线，变形特征是杆件的轴线由原来的直线变成曲线。这种形式的变形称为弯曲变形。习惯上把以弯曲变形为主的杆件称为梁。,图5.1 图5.2,图5.3 图5.4,工程问题中，绝大部分受弯杆件的横截面一般至少有一根对称轴，如图5.5(a)所示。此对称轴与梁的轴线共同确定了梁的一个纵向对称平面，如图5.5(b)所示。上面提到的桥式起重机大梁、火车轮轴、房屋建筑中的楼板梁、受气流冲击的汽轮机叶片等都属于这种情况。当作用于杆件上的所有外力都在纵向对称面内时，杆件弯曲变形后的轴线也将是位于这个面内的一条曲线。也就是说，载荷的作用平面、梁的弯曲平面与梁的纵向对称面重合，这种弯曲称为对称弯曲，也称为平面弯曲。若梁不具有纵向对称面，或者梁虽然具有纵向对称面但外力并非作用在纵向对称面内，则这种弯曲统称为非对称弯曲。,图5.5,平面弯曲是最基本的弯曲问题。本章主要讨论受弯杆件发生平面弯曲时横截面上的内力，它是弯曲强度和刚度计算的重要基础。 5.2受弯杆件的简化 工程中，受弯构件的几何形状、支承条件和载荷情况通常都比较复杂。为了便于分析计算，需要作一些必要的简化，得到实际构件的计算简图，即力学模型。下面就构件、载荷、支座的简化分别进行讨论。,5.2.1构件的简化 由于所研究的大多为等截面直梁，且外力作用在梁的纵向对称面内，因此，在计算简图中就用梁的轴线代表实际的梁。 5.2.2载荷的简化 梁上的载荷按其作用方式可简化为以下种类型： (1)集中力 指分布面积远小于物体的表面尺寸，或者沿杆件轴线分布范围远小于轴线长度的载荷。例如，起重机的车轮对横梁的压力(见图5.1(b)、火车车厢对轮轴的压力(见图5.2(b)等都可简化为集中力。,(2)集中力偶 指作用在梁的纵向对称面内的力偶。 (3)分布载荷 指连续作用在梁的全长或部分长度内的载荷。分布载荷的大小用载荷集度表示。设梁段x上分布载荷的合力为P，当x趋于零时，P/x的极限即称为分布载荷的载荷集度，用q表示，即,显然，梁上任一点处的载荷集度是该点坐标x的函数，即q=q(x)。若q(x)为常数，则这种分布载荷称为均布载荷。例如，楼板传给大梁的载荷(见图5.3(b)，作用在汽轮机叶片上的气体压力(见图5.4(b)等都可简化为均布载荷。此外，桥式起重机大梁的自重、火车轮轴的自重等也是均布载荷。若q(x)按线性规律变化，则这种分布载荷称为线分布载荷。例如，水压力对坝体的荷载(见图5.6)可简化为线分布载荷。,图5.6,5.2.3支座的几种基本形式 工程中常见的梁的支座，按其对梁的约束情况可简化为以下种形式： (1)可动铰支座 可动铰支座也称滚动支座或辊轴支座，其构成如图5.7(a)所示，简图如图5.7(b)所示。它限制支座处的梁截面沿垂直于支承面方向的移动，但允许截面绕铰链中心的转动以及沿支承面内的移动。因此，其约束力F必然垂直于支承面(见图5.7(c)，且通过铰链中心。桥梁、屋架等结构中经常采用这种支座。,图5.7,(2)固定铰支座 固定铰支座是光滑铰链约束的一种形式，即用联接件(如销钉等)连接的两个钻有同样大小孔的构件中有一个是固定在地面或机架上的，如图5.8(a)所示，其简图如图5.8(b)所示。它限制支座处的梁截面沿径向的相对移动，但允许截面绕铰链中心转动。因此，其约束力包含水平反力Fx和垂直反力Fy两个分量(见图5.8(c)，且通过铰链中心。径向轴承、平面止推轴承等都可简化为固定铰支座。,图5.8,(3)固定端 固定端约束中，构件的一端完全固定在另一物体上(见图5.9(a)，其等效力系及其简化分别如图5.9(b)、(c)所示。它同时限制支座处梁截面的移动和转动。因此，其约束力包含水平反力FAx、垂直反力FAy和约束力偶MA(见图5.9(d)。水坝的下端支座(见图5.6)、三爪卡盘等都可简化为固定端。,图5.9,需要指出的是，支座的简化往往与计算的精度要求有关，或与所有支座对整个梁的约束情况有关。例如，如图5.10(a)所示的插入砖墙内的梁，由于插入端较短，因而梁端在墙内有微小转动的可能。此外，当梁有可能发生水平移动时，其一端与砖墙接触后，砖墙就限制了梁的水平移动。所以，两端约束一个简化为固定铰支座，另一个简化为可动铰支座，如图5.10(b)所示。,图5.10,5.2.4静定梁的基本形式 有了对构件、载荷、支座的简化，就可以确定梁的计算简图。前面所提及的桥式起重机大梁、火车轮轴、房屋建筑中的楼板梁、受气流冲击的汽轮机叶片等的计算简图分别如图5.1至图5.4(b)中所示。在这些简图中，忽略了构件的自重，并且只画出了引起弯曲变形的载荷。,根据支座的类型和位置，工程中梁的基本形式主要有以下种： (1)简支梁 梁的一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座。如图5.1(b)、图5.3(b)所示的梁。 (2)外伸梁 简支梁的一端或两端伸出支座之外。如图5.2(b)所示的梁。 (3)悬臂梁 梁的一端为固定端，另一端为自由端。如图5.4(b)所示的梁。 简支梁或外伸梁的两个铰支座之间的距离称为跨度，通常用l表示。悬臂梁的跨度是固定端到自由端的距离。,5.3剪力和弯矩 根据平衡方程，可以求得静定梁在载荷作用下的支座反力，于是作用于梁上的外力均为已知量，进一步就可以研究梁横截面上的内力。以如图5.11(a)所示的简支梁为例，F1，F2为作用于梁上的载荷，FAy和FBy为两端的支座反力。为了显示出梁横截面上的内力，沿截面mm假想地把梁分成两部分，并以左段为研究对象(见图5.11(b)。由于原来的梁处于平衡状态，所以左段梁仍应处于平衡状态。作用于左段梁上的力，除外力F1和FAy外，在mm截面上还有右段梁作用于它的内力。显然，为了保持左段梁的平衡，mm截面的内力必然存在两个分量：平行于截面的力Q和位于载荷作用平面内的力偶矩M。其中，Q称为横截面mm上的剪力，M称为横截面mm上的弯矩。剪力和弯矩统称为弯曲内力。,图5.11,mm截面的内力可以根据平衡方程求得。对于左段梁，由 Y= 0，得到 可见，剪力Q是与横截面相切的分布内力系的合力，它在数值上等于截面mm以左所有外力在梁轴线的垂线(y轴)上投影的代数和。由 得到 可见，弯矩M 是与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩，它在数值上等于截面mm以左所有外力对截面形心力矩的代数和。,mm截面的内力也可由右段梁的平衡方程求得(见图5.11(c)，且在数值上，剪力Q等于截面mm以右所有外力在梁轴线垂线上投影的代数和，弯矩M等于截面mm以右所有外力对截面形心力矩的代数和。但是，这时所求得的右段梁mm截面的剪力Q和弯矩M将与左段梁mm截面内力的讨论结果等值反向。这是因为剪力和弯矩是左段与右段在截面mm上相互作用的内力，所以，右段作用于左段的剪力和弯矩，必然在数值上等于左段作用于右段的剪力和弯矩，但方向相反。亦即，无论用截面mm左侧的外力，或截面mm右侧的外力来计算剪力Q和弯矩M，其数值是相等的，但方向是相反的。,为使上述两种算法所得到的同一截面上的弯曲内力数值相等且符号一致，对剪力和弯矩的符号作如下规定：在所截截面的内侧取微段，使微段产生顺时针转动趋势的剪力为正(见图5.12(a)，反之为负(见图5.12(b)；使微段弯曲变形后凹面朝上的弯矩为正(见图5.12(c)，反之为负(见图5.12(d)。换言之，“左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为正”。按照此规定，同一截面上的剪力和弯矩，无论用截面左侧或右侧梁段来计算，所得到的剪力和弯矩的数值及符号都是一致的。如图5.11(b)、(c)所示中剪力和弯矩的符号均为正。同时，根据上述规定，对水平梁的某一指定截面，其左侧的向上外力，或右侧的向下外力，将产生正的剪力，反之将引起负的剪力。而对于弯矩，则无论在指定截面的左侧或右侧，向上的外力产生正的弯矩，向下的外力产生负的弯矩。,图5.12,根据上述分析，可将计算剪力和弯矩的方法概括如下： 求支座反力。 在需求内力的横截面处，假想地将梁切开，并选切开后的任一段为研究对象。 对所选梁段进行受力分析，图中剪力Q和弯矩M可假设为正。 根据平衡方程计算剪力Q和弯矩M。,例5.1外伸梁受力如图5.13(a)所示。已知集中力F，集中力偶Me=Fl。试求横截面E上的内力。 图5.13,解(1)求支座反力 由梁的平衡方程 和 可求得支座反力 (2)求指定截面的内力 沿截面E处假想地把梁切开，并以左段为研究对象，受力分析如图5.13(b)所示。由左段梁的平衡方程 和 (C为截面E的形心)，可求得截面E的剪力和弯矩。即,例5.2简支梁受力如图5.14(a)所示。已知a=2 m，载荷集度q=20 kN/m，集中力偶M0=150 kNm。试求梁中央截面上的内力。 图5.14,解(1)求支座反力 由梁的平衡方程 和 ，可求得支座反力 (2)求指定截面的内力 沿梁中央截面假想地把梁切开，并以左段为研究对象，受力分析如图5.14(b)所示。由左段梁的平衡方程 和 (D为梁中央截面的形心)，可求得梁中央截面的剪力和弯矩。即,5.4剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图 前述分析表明，梁横截面上的剪力和弯矩不仅与梁上的外力有关，而且随截面位置不同而变化。若以横坐标x表示横截面在梁轴线上的位置，则剪力和弯矩随截面位置的变化可表示为x的函数，即 上述函数表达式分别称为梁的剪力方程和弯矩方程，统称为弯曲内力方程。,与绘制轴力图或扭矩图一样，也可用图线来表示梁的各横截面上的剪力和弯矩随截面位置的变化情况。绘图时以平行于梁轴线的横坐标x表示横截面的位置，通常取向右为正；以纵坐标表示相应截面的剪力或弯矩，通常取向上为正。所画出的剪力和弯矩随截面位置的变化图线分别称为剪力图和弯矩图，统称为弯曲内力图。需要说明的是，工程领域不同，弯矩图的画法习惯有所不同。在机械、航空等领域，通常取弯矩轴向上为正，把正弯矩画在x轴的上侧；在土木工程领域，通常取弯矩轴向下为正，把正弯矩画在x轴的下侧。这种差别仅仅是表面上的不同，弯矩的符号规定并无改变。 弯曲内力图可以直观地反映出最大剪力和最大弯矩所在截面的位置及其对应的内力数值。对于等截面梁，这些截面往往就是危险截面所在。下面通过例题说明弯曲内力方程的列出以及弯曲内力图的绘制。,例5.3简支梁受力如图5.15(a)所示。已知集中力F，集中力偶M0=Fa。试列出内力方程，并绘制内力图。 图5.15,解(1)求支座反力 由梁的平衡方程 和 ，可求得支座反力 (2)分段列内力方程 以梁的左端点A为坐标原点，建立如图5.15所示坐标系。由于集中力F、集中力偶M0的作用，梁各段内的剪力或弯矩不能用同一方程式来表示，需要分段考虑。取距原点为x的任意截面，在AC段内,在CD段内 在DB段内,(3)绘制内力图 由式(a)可知，AC段内梁的任意截面上的剪力为常数，且符号为正，所以在AC段内剪力图是在x轴上方且平行于x轴的直线(见图5.15(b)。同理，可以根据式(c)和式(e)分别绘制CD段、DB段的剪力图。从剪力图可以看出，最大剪力 。事实上，由于梁CB段内没有集中力作用，所以CD段、DB段的剪力方程是相同的，可以不分段。,由式(b)可知，AC段内弯矩是x的一次函数，所以弯矩图是一条斜直线。只要确定线上的两个点，就可以确定这条直线。例如，x=0处，M=0；x=a处， 。连 接这两点就得到AC段的弯矩图(见图5.15(c)。同理，可以根据式(d)和式(f)分别绘制CD段、DB段的弯矩图。从弯矩图可以看出，最大弯矩发生在截面D处，且 。,同时，从内力图可以发现，在集中力作用截面C处，其左、右两侧横截面的弯矩相同，而剪力有一突变，突变的数值就等于集中力。在集中力偶作用截面D处，其左、右两侧横截面的剪力相同，而弯矩图有一突变，突变的数值就等于集中力偶矩。,例5.4简支梁受力如图5.16(a)所示。试列出内力方程，并绘制内力图。 图5.16,解(1)求支座反力 由梁的平衡方程 和 ， 可求得支座反力 (2)分段列内力方程 以梁的左端点A为坐标原点，建立如图5.16所示坐标系。因在C处分布载荷的集度发生变化，所以分AC，CB二段建立内力方程。取距原点为x的任意截面，在AC段内 在CD段内,(3)绘制内力图 由式(g)可知，AC段内，剪力方程是x的一次函数，剪力图为斜直线，故求出两个端截面的剪力值 ， 连接该两点的直线即为AC段的剪力图。由式(i)可知，CB段内任意截面上的剪力为常数，且符号为负，所以CB段剪力图是在x轴下方且平行于x轴的直线。梁AB的剪力图如图5.16(b)所示，最大剪力,由式(h)可知，AC段内，弯矩方程是x的二次函数，所以弯矩图为二次曲线。先求出两个端截面的弯矩 再由剪力图5.16(b)可知，d截面处Q=0，弯矩取得极值。令式(g)等于零，确定d截面位置，即 所以d截面弯矩 。据此可绘出AC段弯矩图。由式(j)可知，CB段内，弯矩方程是x的一次函数，分别求出两端截面的弯矩，连接该两点的直线即为CB段的弯矩图。梁AB的弯矩图如图5.16(c)所示，最大弯矩 。,例5.5外伸梁受力如图5.17(a)所示。已知载荷集度q=3 kN/m，集中力偶m=3 kNm。试列出内力方程，并绘制内力图。 图5.17,解(1)求支座反力 由梁的平衡方程 和 ， 可求得支座反力 (2)分段列内力方程 以梁的左端点C为坐标原点，建立如图5.17所示的坐标系。在梁的CA，AD，DB这3段内，剪力和弯矩都不能由同一个方程式来表示，所以应分三段考虑。取距原点为x的任意截面，在CA段内,在AD段内 M(x)是x的二次函数，根据极值条件 ，得 由此解出x=4.83 m，也即在这一截面上，弯矩为极值。代入式(n)得AD段内的最大弯矩为 当截面取在DB段内时，用截面右侧的外力计算剪力和弯矩比较方便，所以,(3)绘制内力图 依据剪力方程和弯矩方程，分别绘制剪力图和弯矩图(见图5.17(b)和(c)。从图中可以看出，最大剪力Qmax=8.5 kN，最大弯矩发生在截面D处，Mmax=7 kNm。同时，在集中力作用截面(如A截面)的两侧，剪力有一突变，突变的数值就等于集中力。在集中力偶作用截面D的两侧，弯矩图有一突变，突变的数值就等于集中力偶矩。 在以上例题中，凡是集中力(包括支座反力及集中载荷)作用的截面上，剪力似乎没有确定的数值。事实上，所谓集中力不可能完全“集中”作用于一点，它是分布于一个微段x内的分布力经简化后得出的结果(见图5.18(a)。若在x范围内把载荷看成是均匀分布的，则剪力将连续地从Q1 变到Q2(见图5.18(b)。同样，对集中力偶作用的截面，也可作类似的解释。,图5.18,5.5剪力、弯矩与载荷集度间的关系 轴线为直线的梁如图5.19(a)所示。取梁的左端点为坐标原点，以轴线为x轴，y轴向上为正。梁上分布载荷的集度q(x) 是x的连续函数，并规定q(x)向上(与y轴方向一致)为正。用相距为dx的两个横截面从梁中取出微段，并放大为图5.19(b)。设mm截面上的剪力和弯矩分别为Q(x)，M(x)。当坐标x有一增量dx时，Q(x)，M(x)的相应增量分别是dQ(x)和dM(x)，即nn截面上的剪力和弯矩分别为Q(x)+dQ(x)和M(x)+dM(x)。显然，图5.19(b)中画出的弯曲内力都取正值，且dx微段内无集中力和集中力偶。同时，由于dx为微量，所以作用在微段上的分布载荷q(x)可视为均匀分布。由微段的平衡方程 和 ， 得,图5.19,忽略第二式中的高阶微量 ， 整理后得 这就是直梁微段的平衡方程。如将式(5.2)代入式(5.1)，又可得,以上3式揭示了直梁的剪力Q(x)、弯矩M(x)和载荷集度q(x)之间的导数关系。它表明：剪力图上某点处的斜率等于该处的载荷集度；弯矩图上某点处的斜率等于该处的剪力值；弯矩图上某点处的斜率变化率等于该处的载荷集度。,根据上述导数关系，容易得出下面一些推论： 在梁的某一段内，若无分布载荷作用，即q(x)=0。结合式(5.1)可知，在这一段内Q(x)=常数，剪力图是平行于x轴的直线，如图5.15(b)所示。结合式(5.3)可知，M(x)是x的一次函数，弯矩图是斜直线，如图5.15(c)所示。当然，若该段内Q(x)=0，则M(x)=常数，弯矩图为平行于x轴的直线。,在梁的某一段内，若作用均布载荷，即q(x)=常数。结合式(5.3)可知，在这一段内，Q(x)是x的一次函数，M(x)是x的二次函数。因而剪力图是斜直线，弯矩图是抛物线。例5.4和例5.5则说明了这一点。 进一步分析，剪力图中斜直线的斜率等于载荷集度。因为前述已规定载荷集度向上为正，y轴向上为正，所以，结合式(5.3)，若载荷集度向下，即q(x) 0，则弯矩图应为向上凸的曲线，亦即弯矩图为开口向下的抛物线中的某一段，如图5.16(c)和图5.17(c)所示。反之，若载荷集度向上，则弯矩图应为向下凸的曲线，亦即弯矩图为开口向上的抛物线中的某一段。 在梁的某截面上，若 ， 则这一截面上弯矩有一极值，可能为极大值，也可能为极小值。即弯矩的极值可能发生在剪力为零的截面上。例5.4和例5.5则说明了这一点。,在集中力作用的截面，剪力图上有突变，突变的数值就等于集中力的大小，而突变的方向与集中力的方向有关。对于直梁段，从左至右绘制剪力图时，突变的方向与集中力的方向相同。同时，集中力作用的截面处弯矩图的斜率也会发生突然变化，成为一个转折点。如例5.3中的截面C和例5.5中的截面A。,在集中力偶作用的截面，弯矩图上有突变，突变的数值就等于集中力偶的大小，而突变的方向与集中力偶的方向有关。对于直梁段，从左至右绘制弯矩图时，逆时针转向的集中力偶反映在弯矩图上是向下突变，顺时针转向的集中力偶反映在弯矩图上是向上突变。而当从右至左绘制弯矩图时，这一规律恰恰相反。如例5.3和例5.5中的截面D。 最大弯矩可能发生在剪力等于零的截面处，也可能发生在集中力或集中力偶作用截面处(包括固定端截面处)。因此，在求最大弯矩时，应作全面分析。,利用导数关系，式(5.1)和式(5.2)经过积分得到 式(5.4)和式(5.5)表明，在x=x2和x=x1两截面上，剪力之差等于两截面间载荷图的面积，弯矩之差等于两截面间剪力图的面积。上述关系也可用于剪力图和弯矩图的绘制与校核。例如，在图5.17中，A，D两截面间载荷图的面积为：-34 kN=-12 kN，这正是A，D两截面上剪力之差。同时，A，D两截面间剪力图的面积为： 这也就是A，D两截面上弯矩之差。,利用上述这些推论，不仅可以校核剪力图和弯矩图的正确性，而且可以不列内力方程直接绘制剪力图和弯矩图。基本步骤如下： 求支座反力； 在载荷不连续处对梁进行分段，并利用剪力Q(x)、弯矩M(x)和载荷集度q(x)之间的关系判断各段剪力图和弯矩图的线形； 用截面法和突变规律确定各段端点和特征截面的剪力和弯矩值； 绘制剪力图和弯矩图，确定 和,例5.6外伸梁及其所受载荷如图5.20(a)所示。试绘制梁的内力图。 图5.20,解(1)求支座反力 由梁CB的平衡方程 和 可求得支座反力 (2)分段定线形 该梁的剪力、弯矩应分为CA，AD和DB 3段讨论。在CA和AD段，q=0，所以剪力图为水平线，弯矩图为斜直线；在DB段，q=负常数，所以剪力图为斜直线，弯矩图为开口向下的抛物线中的某一段。,(3)确定端值 根据突变规律，C，A，B截面处剪力有突变，D截面处弯矩有突变。因此，确定C，A，B截面的剪力，就可绘制剪力图；确定D截面左右两侧、A截面及抛物线顶点的弯矩值，就可绘制弯矩图。 容易求得 由突变规律，,(4)绘制内力图 根据各段Q，M的端值和线形，绘制的剪力图和弯矩图分别如图5.20(b)、(c)所示。其中，剪力图CD段出现剪力等于零的截面，因此弯矩有极值。由平衡方程可以求得DB段内剪力为零的截面E到B端的距离为0.3 m，且可以计算出E截面的弯矩值为 显然，该梁最大剪力和最大弯矩分别为,例5.7组合梁AB受力如图5.21(a)所示，B处为中间铰。已知均布载荷集度q，集中力偶 M0= qa2，试绘制梁的内力图。 图5.21,解(1)求支座反力 中间铰允许AB，BD两段梁有相对转动，所以它只传递力而不传递力矩。若将梁从铰链B处拆开，则截面上只有剪力FB(见图5.21(b)。 由梁BD的平衡方程 和 可求得 再由梁AB的平衡方程 和 ，可以求出,(2)分段定线形 该组合梁的剪力应分为AB和BD两段讨论，而弯矩应分为AB，BC和CD 3段讨论。在AB段，q=0，所以剪力图为水平线，弯矩图为斜直线；在BC和CD段，q =负常数，所以剪力图为斜直线，弯矩图为开口向下的抛物线中的某一段。,(3)确定端值 根据突变规律，A，D截面处剪力有突变，A，C截面处弯矩有突变。所以，确定A，D截面的剪力，就可绘制剪力图；确定C截面左右两侧、A截面及抛物线顶点的弯矩值，就可绘制弯矩图。 容易求得 由突变规律，,(4)绘制内力图 根据各段Q，M的端值和线形，绘制的剪力图和弯矩图分别如图5.21(c)、(d)所示。其中，剪力图BD段出现剪力等于零的截面，因此弯矩有极值。由平衡方程可以求得BD段中剪力为零的截面E到B截面的距离为a/2，且可以计算出E截面的弯矩值为 显然，该组合梁最大剪力和最大弯矩分别为,需要说明的是，式(5.1)、式(5.2)和式(5.3)所揭示的剪力Q(x)、弯矩M(x)和载荷集度q(x)之间的关系只适用于直梁，且坐标系的选取和q(x)、Q(x)及M(x)的符号必须符合规定。 此外，还可以利用叠加原理绘制梁的内力图。从前面的例题中可以发现，梁在外载荷作用下所产生的内力(剪力和弯矩)与其所受外力(分布载荷、集中力和集中力偶)是成线性关系的，即内力是载荷的一次函数。因此，在小变形的前提下，当梁上同时作用几种载荷时，各个载荷所引起的内力是各自独立、互不影响的。这时，如果要绘制几种载荷共同作用下梁的内力图，即可先绘制每种载荷单独作用下梁的内力图，然后将其相应的纵坐标代数相加，就得到各种载荷共同作用下梁的内力图。这一原理称为叠加原理。叠加原理在材料力学中应用广泛，其限制条件是：需要计算的物理量(内力、应力、变形等)必须是载荷的线性函数。,例5.8悬臂梁受力如图5.22(a)所示。已知均布载荷集度q，集中力 ，试用叠加原理绘制梁的弯矩图。 图5.22,解首先绘制两种载荷单独作用时梁的弯矩图，分别如图5.22(b)、(c)所示。再将两图在横坐标轴的下方叠加，因两图纵坐标符号不同，故重叠部分表示坐标值相互抵消，保留部分的纵坐标即代表两种载荷同时作用时梁各对应截面的弯矩值，如图5.22(d)所示。为便于比较各纵坐标的大小，也可以以图5.22(b)中的斜直线作为基线，将弯矩图叠加为图5.22(e)所示的形式。在这一叠加过程中，虽然图5.22(c)所示弯矩图的几何形状有所变化，但对应于横坐标各点处的纵坐标并无变化，不影响叠加结果。,5.6平面刚架与曲杆的内力 某些机器的机身或机架的轴线，是由几段直线组成的折线，如液压机机身、钻床床架、轧钢机机架等。在载荷作用下，这种结构任意两部分在连接处(节点)不会发生相对转动和相对移动，即变形前后节点的夹角完全相同。这种变形前后夹角大小保持不变的节点称为刚节点。显然，刚节点与铰节点不同，它不仅能传递力，而且能传递力矩。图5.23(a)中的节点C即为刚节点。用刚节点将若干杆件连接而成的框架结构称为刚架。刚架受力后，其任意横截面上的内力一般有剪力Q、弯矩M和轴力N。计算刚架横截面的内力仍然采用截面法。内力可由静力平衡方程完全确定的刚架称为静定刚架。绘制刚架内力图时，以各杆轴线作为基线，轴力图和剪力图可以画在基线的任何一侧，但要标明正负。,图5.23,下面通过例题分别说明平面静定刚架和平面曲杆内力图的绘制。 例5.9如图5.23(a)所示为刚架结构，由竖杆AC和横杆CB用刚性很大的接头焊接成一体，在AC段受均布载荷q作用。试绘制刚架的内力图。 解(1)求支座反力 由平衡方程 和 得,(2)列内力