量生产系统中的产品种类和垂直差异

批量生产系统中的产品种类和垂直差异Dennis Z. Yu*School of Business, Clarkson University, P.O. Box 5790, Potsdam, NY 13699, USA摘要：我们开发一个集成建模框架,研究了垄断公司的决策的产品多样性和相关生产批量计划垂直差异化的产品以及设计质量属性。客户是异构的边际估值的产品质量水平和使他们的购买决策效用函数最大化的价格和质量。我们的主要观点是公司的最优数量的产品变异是由一个参数是一个函数的市场大小和政府运作有关的成本,如设置和库存持有成本。其参数可以是解释为相对成本的生产技术。更便宜的生产技术为公司提供了机会,生产更多的产品变体。更昂贵的生产技术会减少产品种类,降低产品的质量,并减少总市场覆盖率(比如,市场覆盖的百分比)。我们的结果表明,生产产品种类总是对一个给定的生产技术,只要每个客户段生成非零利润。此外,该公司的访问客户的偏好信息可以提高盈利能力通过更高的质量水平和提高市场覆盖率。关键词：产品生产;产品种类;垂直差异;经济产物批量生产规模;生产线设计Product variety and vertical differentiation in a batch production systemDennis Z. Yu*School of Business, Clarkson University, P.O. Box 5790, Potsdam, NY 13699, USAAbstract:We develop an integrated modeling framework to study a monopolist firms decisions of product variety and related production batch planning for vertically differentiated products along design quality attributes. Customers are heterogeneous in their marginal valuations of the product quality level and make their purchase decisions to maximize a utility function of price and quality. Our key insight is the firms optimal number of product variants is determined by a parameter which is a function of market size and operations-related costs such as setup and inventory holding costs. The parameter can be interpreted as the relative cost of production technology. Less expensive production technology provides the firm opportunities to produce more product variants. More expensive production technology results in less product variety, lower product quality, and less total market coverage (i.e., percentage of the covered market). Our result indicates that producing product variety is always beneficial for a given production technology as long as each customer segment generates nonzero profit. In addition, the firms access to the customers preference information can increase profitabilityvia higher quality levels and increased market coverage.Keywords:Production;Product variety;Vertical differentiation;Economic production batch sizeProduct line design1 引言 提供产品品种可以帮助公司更好地匹配客户的偏好与产品设计特性和增加销售量在异构的消费者市场。缺点是,大量的产品变量接近生产和减少的规模经济而增量销售量和市场份额的增加导致操作和物流费用。在实践中我们观察这两个例子的单一产品和产品多样化策略方面的产品。这个问题是什么是最优策略当一个公司制造的产品种类的决定。制造商在汽车和反面-苏美尔电子行业经常努力寻求平衡增加产品种类和结果之间不经济如更高的生产规模的设置和库存持有成本。虽然众所周知,最优的产品种类决策涉及跨职能的市场之间的交互和操作(Karmarkar,1996),几乎没有证据解决这些问题通过一个集成的方法。本文提供了一个程式化模型研究垄断公司的产品在一个统一的框架的各种决定并提供理论和新见解根本问题是阻止-矿山最优产品种类。 为促进我们的分析,我们认为这样一个建模环境,垄断者公司提供差异化的产品这一事件成为一个批量生产系统。该公司需要使产品设计质量、价格和生产批次的决定,同时完全生产设置成本和库存持有成本。这类型的制造系统是常见的时候,制造商需要提前生成产品客户的需求。该公司在我们的研究生产技术,允许不同产品质量标准中描述了该产品设计属性和属性,更多的是为首选鉴于价格(例如一辆雷克萨斯胜于一个凯美瑞,42个。高清电视是32更可取。一个)。产品变量与不同的质量水平相似但他们不是完美的替代品,因为所有的客户有不同的估值的产品质量。每个客户使购买决定基于最大化效用函数的价格和质量水平。该公司可以实现利润最大化的市场细分通过仔细地定价产品变量。公司拥有一批生产系统设置费用只要系统开始处理一个批处理产品。单位生产成本的每个产品是一个凸递增函数的质量水平。有一个资本控股与成本有关的半成品(WIP)存货。增加产品种类明显增加生产装置在这样一个和库存积累批量生产系统,并随后施加负面影响公司的总体成本结构。因此,该公司已经共同决定最佳的产品种类和经济生产批次。我们的分析从单一的产品情况。我们探索基本收入之间的权衡,生产设置,和发明的原因保守党控股(资本的机会成本)。通过考虑公司的提供的两个不同产品,我们识别极限影响因素的产品种类和分析公司通过使用一个职位产品质量计划。我们的研究产品种类最终扩展到多的情况两种产品。现有的经济和市场营销文献发现,产品种类的极限存在由于固定成本或任何类型的前期成本生产系统。我们的结果显示这个固定生产设置成本只是其中一个影响因素产品品种。事实上所有的政府运作有关的成本和市场大小确定最佳要求通过一个参数,品种这可以被认为是生产技术的相关费用。用一个不太昂贵的技术,该公司可以产生更多的产品变量和达到更高的市场覆盖。2 文献综述 这项研究在生产线设计和产品种类有非常不同的集中在经济学、市场营销和运营人管理文献。这项研究在经济学和市场营销文学强调生产线设计和相关的定价决定为了有效地提取客户的盈余。在具有开创性的工作产品差异化，Mussa and Rosen (1978)现在一个垂直分异模型和推导出最佳定价计划提出一个异构客户人口。客户的偏好在质量上是连续在一个有界范围和可变成本的产品是一个凸递增函数的质量水平。Hotelling (1929)在内简化一个位置模式假设客户沿着直线均匀分布。Lancaster (1975)延伸Hotelling的选址模型扩展调查最优产品种类而使社会福利最大化。一项调查在类似的类型的产品种类模型提供了Lancaster(1990)。通过假设市场是由独特的客户群体,Moorthy(1984)开发了框架模型研究垄断者的生产线设计策略。Kim and Chhajed (2002)扩展模型来研究产品设计问题与多个质量类型属性和表明,单一产品从来不是最优的两个-段案例。这项工作由Villas-Boas (1998)遵循类似的框架和认为分销渠道。Choudhary et al.(2005)利用垂直分异模型来研究的影响个性化的定价在公司的选择在质量。作者假设完全了解客户的意愿支付(一级价格歧视)。考虑质量依赖固定成本,Matsubayashi et al.(2009)比较单个产品和全线汽车策略探讨负产品种类的影响。在所有上述研究,相关操作成本制定为质量依赖固定成本或可变成本通常简化为一个常数或凸递增函数。还有一些其他的报纸考虑产品开发成本作为设置成本在做产品的设计决策。Krishnan and Zhu (2006)研究生产线的设计问题,一个家庭发展与固定开发成本艰苦的产品和质量依赖可变成本在市场的两个消费者群体。Jones and Mendelson(2011)提出一个类似的类型的工作进行调查一个公司的成本结构如何影响信息商品没有可变成本但质量依赖开发成本和工业产品没有开发成本但质量依赖可变成本。然而,有一个缺乏研究的集成模型的产品线和产品的定位和设计考虑政府运作有关的成本,如设置和库存持有。我们的研究增加了这个流的文学通过包括固定的生产成本和库存持有成本和营运成本的含义上选择这些公司的产品系列设计。 在运营管理文献生产线的设计和产品品种、市场分割通常和客户的选择和相关的定价决策的可能不被集成在模型中。Benjaafar and Gupta(1998)调查效应的调度和批处理大小的政策在选择的产品结构和能力的灵活和专用的生产设施为给定数量的产品和客户要求。一个联合国生产批量计划问题是多产品解决de Groote (1994)来选择产品种类和生产灵活性。作者表明,增加产品的品种导致更灵活的技术,最佳品种随着需求和随设置和持有成本。Dobson and Yano (2002)地址制造商的产品组合和定价决策在生产系统,要么制造商股市或制造商订购。两个设置时间和设置成本考虑到他们的非线性整数规划模型。Gaur and Honhon(2006)采用一个位置模式(基于霍特林,1929年),研究了单周期库存分类问题。通过应用一个类似客户偏好模型,江泽民et al。(2006)考虑一个公司的大规模定制和大规模生产策略。德赛et al。(2001)调查营销和开发公司图灵权衡模型中有两个独特的客户群体和组件的存在共性。通过使用一个类似的假设两个独特的客户群体,Netessine和泰勒(2007)影响研究的生产技术制造商的产品系列设计策略与一个economicorder数量(经济订购量)类型的生产模式。金姆和Chhajed(2008)考虑有多少产品模块化提供两个离散细分市场高和低的估值产品。然而,结果这些现有的模型是con-tingent假设可能产品的数量变异和相关的细分市场是给定的参数如此之间的相互关系,产品种类和市场细分决策是被忽视的。我们的工作允许产品定位空间是连续的,这完全不同于现有的研究如Netessine和泰勒(2007)。 在我们的模型中,可能的数量的变体产品不再是有限的数量细分市场。相反,我们的分析有助于我们了解市场细分的决定是由最优生产总值品种。因此,我们的结果是截然不同的研究Netessine和泰勒(2007)。 例如,我们观察到更昂贵的生产技术会导致更高的总市场覆盖在一个给定的数字产品的变体。我们是也能够跟踪的行列式产品种类回基本的影响因素的相对成本生产工艺因素,这是可变的生产成本、固定的生产成本,库存持有成本,以及整个市场规模。 其余的纸是由以下。第三节包含建模框架和讨论单一产品的情况下。第四部分提供了该公司的最佳选择生产线设计和生产批次当两个垂直提供差异化的产品。一般情况下用提供超过两种产品被认为是在第五部分。第六节认为此案中,该公司拥有完全的信息客户的偏好的质量水平。我们最后总结我们的结果和管理在第七节。所有证明呈现在附录。3 单一产品 我们先从基本的案例中,一个垄断公司生产一个产品,提供一个异构的市场。这个公司需要做决定的产品设计质量,销售价格,经济生产批量大小。单一产品的案例是构建块的建模框架研究提供产品种类。3.1 基本模型和假设 公司的总体目标市场的特点是客户移民与预定率。到达的客户在他们的边际评价的异构的产品质量水平。我们使用参数代表客户的偏好在质量水平。假设有统一的分配优化与支持在0,1,也就是说,客户的非均质性的产品质量的估值水平均匀分布在所有的移动。均匀分布的假设遵循常见的做法在现有经济文学,模型客户收入色散(例如,Gabszewicz and Thisse, 1979 ;Tirole, 1988 ),这是其他许多研究也采用了作品(如,Choudhary et al., 2005; Chambers et al., 2006)。一般来说,生产线的设计模型可以非常复杂和难以解决(一个全面审查的最优的产品线设计方法中可以看到Belloni et al., 2008)。我们采用均匀分布的假设,确保易化和促进博览会的分析研究，但我们的结果的数值验证原因：能够与支持分布在0,1,如发行版在广泛的形状和参数组合。 我们还假设参数是私人的信息每个到达客户和公司只知道分布的。这种假设进行部分第3到第5节。我们认为此案的公司知道每个客户的(即完整信息在第6节优化)。假设一个客户只需要一个单位的产品和产品是不允许的在客户重新分配。客户让他们的购买决策的效用最大化他们的消费是定义为一个线性函数的价格和质量水平,是价格，代表质量水平。任何客户已非负效用愿意购买产品。均匀分布的和线性效用函数导致一个线性需求函数,不仅是广泛的采用现存文献也验证了经验证据,如自行车的例子Schmidt and Porteus (2000)。该公司有这样一个生产技术,单位名单-严格凸优化成本是递增函数的质量水平。我们进一步假定单位成本函数是二次质量标准,定义为,就质量水平而言，是一个正的测量价值。这个二次可变成本是广泛应用于经济学和市场文化,如Moorthy (1984, 1988) , Villas-Boas (1998),and Desai et al. (2001)。 这项技术允许公司生产产品质量问在一系列,该公司拥有一批量生产系统，会有一个固定的生产费用当-曾经一批产品与一个可行的质量标准生产。WIP库存持有成本导致由于机会资金成本,这取决于单位成本的产品。我们采用了使用的储存成本配方Netessine and Taylor (2007),即库存持有成本率给出了代表储存成本的资本。注意,是运作有关的成本参数而代表了潜在的市场规模。3.2 单一产品的主要结果 公司的决策变量在我们的集成模型中为产品质量水平,销售价格,和生产批量.已知一个产品质量水平为,销售价格为,有且仅有，使作为一个市场分区变量将整个市场分为两段，以一个包括客户的偏好参数范围，并且愿意购买此产品。实际的客户回顾率定义为：,即为购买此产品的顾客的回顾虑。可以进一步被定义为市场覆盖率，代表已覆盖市场的百分比。公司的利润计算公式为：，这种利润函数已广泛应用于经济学和市场营销，但它没有考虑文学的营运成本如设置和库存持有。在我们的批量生产系统,我们将固定的生产成本和库存持有成本在该公司的利润函数通过增加生产批量大小Q作为决策变量。因此,该公司的目标是最大化利润为： （1）在第二个因素是固定的生产成本，第三个因素是平均持有成本制品的库存。对公式（1）定义p和h，那么该公司的优化问题可以写为以下的含有和q的最大化问题，而且Q是实际决策变量。 （2）注意,只有最后两个术语的函数（2）取决于批量生产规模Q。因此,只要验证了边界情况，接下来我们就可以解决优化问题。给定一个可行的和q，那么，这个最优经济生产批量大小取决于。把回代入公式（2），我们可以把公司的优化问题用以下形式表示：。 （3）给定（0,1），严格凹在q.解出方程，我们有最优的质量水平，这就意味着，由于，把代入方程（3），可以把这个公司的问题转化为含有单一决策变量， （4），如果，一个可以获得解决上述封闭决策模型，在下面的定理里进行了总结。定理一：当,最佳市场分区的决策，最优质量水平,最优销售价格，经济生产批量大小;,产生的最优利润,依次为，当，该公司没有任何利润，最佳的选择是不生产任何产品。我们可以通过定义一个参数,来描述生产技术的相关费用,包括相关程序费用（），和市场规模（）。定理一在生产可行性方面给出了一个重要的结果，表明如果E足够大，大于，那么该公司生产任何产品都是没有利润的。换句话说，就是不值得运用昂贵的技术来投入生产。这个结果通常是忽略了在许多现有的文献中由于排除政府运作有关的成本。我们的研究复苏的实践,产品设计和生产的决定基于集成建模框架。最佳的方法，有以下的情况。情况1 (i)，最佳的质量水平和销售价格在市场规模下增加，在其他花费参数下减少。 (ii)该公司的最大利润函数在下增加，在下减少。 请注意,最优的价格上涨最优质量水平,因此他们拥有类似的属性。明显增加成本参数会导致最优的价格,均会下降最佳的质量水平。为了进一步了解交互产品质量之间的设计和批量生产效果,我们需要探索经济生产批量大小的静力学分析。我们总结结果如下。情况2 (i)最佳经济生产批量大小在K或下都增加。 (ii)令 (iii)令 毫不奇怪,传统经济订购量模型的结果，生产批量大小增加固定的生产成本，在这里仍然遵循。然而,这是违反直觉的,随单位生产成本参数增加，几乎完全通过经济订购量概念将作为库存持有成本的一部分。根据产品设计和政府运作有关的成本的综合考虑,该公司回应单位生产成本增加降低产品质量水平,它基本上会导致产品价值降低,从而降低库存持有成本。因此,之间的折衷固定生产成本和库存持有成本靠近，增加批量大小来拯救固定成本,同时保持库存持有成本还在可控范围内。类似的逻辑可以用来解释生产批量大小和储存成本率。 因为低而且还在增加，效果增加的成本占主导地位的资本控股,减少了质量水平,从而导致减少批量大小来保存库存持有成本。当足够高,降低在质量水平会拖垮储存成本显著(产品价值是凸增加质量水平)和固定生产成本扮演更重要角色的权衡。作为一个结果,生产批量大小变得下降g。这个市场规模在两种不同的方式。在一个手问N增加l根据经济订购量的逻辑模型,并在另一方面,增加导致更高的产品价值和因此高库存持有成本。因此,问N第一次下降l,然后增加l越大。为了解释这些结果，我们在图中做了几点说明，（，如图1(a)。，如图1（b）。图1 在单一生产情况下的关于和的函数图解 我们定义作为总生产成本,包括变量生产成本、固定生产成本和库存持有成本。当生产一个单一产品，总生产成本 =。因此，总生产成本在所有相关程序花费参数（）下减少，在市场规模（）下增加。后者的结果是符合共同的直觉从更大的市场需要更多的生产数量给定一个常数的市场覆盖率。然而,这是违反直觉的理解的总生产成本降低在所有成本参数。显式考虑之间相互作用的产品设计和生产技术借我们一个直观的解释的结果,即该公司提供了较低的产品质量水平下昂贵的生产技术,它有助于减少两个产品价值和库存持有成本。4 两种产品 在相对成本的生产技术决定公司的生产可行性在单一产品的情况下。现在我们想要探索其影响产品种类。我们研究这个案例，此案例中公司生产两种有差别的产品。假设该公司生产两种质量水平分别为和的产品，这两种产品有垂直差异。令和表示这两种产品的销售价格，并且销售价格是质量水平下的价格。显然我们必须使,不然没有客户想要买质量较差的产品。一个客户实际购买高质量的产品的函数为。而他实际购买低质量产品的函数为。对于愿意买高质量的产品的客户，他们应该符合，并且对于愿意低质量的产品的客户来说，他们又符合，并且。条件和被称作个体理性的约束条件。条件和被称作激励相容约束条件。由于非负的价格和质量水平,存在，使得，。个体理性和激励相容约束,对于，确保每个产品收到积极的客户的需求是等价的。因此，可以得到一个唯一的使得，。时，客户倾向于购买高质量的产品，时，客户倾向购买质量较低的产品。我们客户的实用函数的两个产品和产生的市场细分，如图2。图2 当公司生产两种质量水平的产品时顾客的实际函数 就如我们定义的那样，和是划分市场的实际变量。是消费者购买高质量的产品的到达比率，是消费者购买低质量产品的到达比率。我们定义有效的到达率为和。库存持有成本率的两个产品则为和。该公司需要找出当时的最优。因此,该公司的优化问题在提供两个质量级别可以制定为： 注意产品的价格可以替代为。我们重新定义该公司的问题，作为一个把作为决策变量的混合型问题。 （5） 类似的方法中使用单一产品的情况下可以适用于这里。给定任意，经济批量生产规模，可被描述为： 和 令表示该公司的利润函数与决策变量。把和回代入方程（5），得出以下优化问题： （6）它是直接展示共同凹在。给定，通过解决一阶条件，我们得到的最优质量水平。解决方案是：， 。 （7）因为所有的质量水平必须是积极的,该公司的合理性条件要求，这就意味着。就像在单生产总值情况下,将放回公式（6），我们可以调整公司的问题作为一个利润最大化和市场分区决策变量，。 (8)可以证实必须大于。如果条件成立，则利润方程（8）在时达到最大化。将回代入方程（8），得到一个有单一决策变量的模型，。 （9）通过解决这个最大化问题，我们描述公司的最优产品种类决定在下面：情况3，公司的最优选择的产品种类： （i)若，该公司生产任何产品都是没有利润的。 （ii）若，该公司最佳的选择是生产单一产品。（iii）若，生产两种不同产品更有收益。 上述内容表明该公司的产品种类决定完全由E,相对成本的生产技术。这是最优的公司提供的产品种类当所有成本参数K,a和g是相对小的或潜在的市场规模够大,也就是说,一个更便宜的生产技术。我们扩大产品种类的结果,一般情况下超过两种产品在第五部分。此外,我们提供该公司的最优选择的市场划分、质量设计和经济生产批量。定理2.当，该公司的最佳市场分区决策，最佳的质量水平，最佳的销售价格，经济生产批量大小，在下面给出：（i）是独特的解决方案，在范围内，并且。（ii）（iii）由上可得。（iv）可计算出。图3 比较静力学的市场划分决定和最优质量水平。a为关于和的E的函数，b为关于和的K的函数。此外,我们可以得出以下属性的公司的最佳市场分区和产品设计决策。命题4 当，有以下的内容：（i）在范围内增长，在范围内增长(ii)在下增长，在下减少，选择最优的质量水平和价格属性:(iii)在下增长，在下减少(iv)在下增长，在下减少相比之下,单一产品的情况下,市场划分决定的不再是常数。当提供产品种类时，在E下减少。当时，刚好与1984年的Moorthy相符合，当考虑营运成本，而且，市场划分决定减少在所有成本参数和增加市场规模。我们展示这些属性的市场划分和产品质量的决定，如图3（）。图中还包括土地市场的优化分区决定和质量水平的单一产品的情况下。看图3（b），E增长到2/27，两个质量水平的下降和低质量的方法为零而高质量的水平符合质量的单一产品。注意实际上代表的是比例的市场覆盖这两种产品销售。下面的结果在市场覆盖率立即遵循从命题4。推论1 整体市场覆盖率和市场覆盖率的优质产品在E下增长。市场覆盖的低质量的产品在E下减少。因此,当生产技术变得更加昂贵的(E变得更大),该公司减少了质量水平和降低销售价格补偿通过扩大市场覆盖率,特别是市场覆盖的高质量产品。深化我们的理解之间的交互设计和产品线相对成本的决心创造一定的技术,我们需要比较静力学的经济生产批量大小.这些结果显示在命题5。命题5 经济生产批量大小有以下的内容：(i)在下增长，在下减少(ii)在K和下增长(iii)令，有且仅有一个使得，(iv)令，有且仅有一个使得，我们提出一个非常有趣的结果在命题5,经济生产批量大小的高质量产品的变化在所有成本参数和单调市场规模而劣质产品就表现为单一的产品。比较静力学的经济生产批次的结果实际上是两种力量作用于公司的决定,即改变质量水平和市场覆盖成本参数和市场规模。他们在相反的方向行动这两个产品。整体效果取决于力是主要因素。固定生产成本K和变量生产成本参数在上有完全相同的效应，如同对单一产品的作用。我们可以应用类似的逻辑用于单一产品案例来帮助我们理解之间的折衷固定生产成本和库存持有成本。我们第一次通知,市场覆盖的变化并非总是主导因素变化的经济生产批量大小。市场规模的增加会导致增加的质量水平和降低市场覆盖优质的产品。然而,增加的偏移量变化和结果都在一个更大的生产批量大小为了救济效果增加的固定的生产成本。当持有的资本成本率变得更高,该公司通过减少响应质量水平的高质量产品的同时扩大其市场覆盖率。两个效应主导的变化,从而导致减少生产批量大小保存库存持有成本。比较静力学的与单一产品的结果是完全一样的。我们说明的属性，在的期望下，图4（）。房地产的总生产成本在单一产品的情况下也可以推广到这样的两个产品。我们获得的总生产成本由以下两个产品。推论2 令表示总生产成本当公司产生两个垂直差异化的产品。我们有。总生产成本在市场规模下增加和在操作成本参数相关,K,下减少。推论2 表明一个昂贵的生产技术导致的减少产品价值都和库存持有成本,从而减少总生产成本。为了更好的理解这个利润贡献每种产品的总利润,我们定义了相对利润衡量的高质量的产品，低质量的产品，分别是高质量和低质量产品的最优利润,是该公司的最优利润。下面的结果提供了属性的相对利润措施。图4 比较静力学的经济生产批量大小的两个产品模型。a为关于和的的函数，命题六 在E下增长，在E减少。b为关于和的函数。我们绘制相对利润措施，关于为E的方程，如图5.这个数字说明了高质量的产品提供更多的利润总额(超过80%)。此外,我们绘制最优利润的单一产品和两个产品，如图5（b）。结果表明,它更有利于产生两个不同产品和福利减少营运成本的。图5 单一产品与两种产品的相关利润和总利润模型。a为关于和的的函数，b为关于单一产品最优收益和两种产品收益的的函数。5 n种产品我们扩展我们的建模框架来研究公司的产品种类和n种产品的决定。当生产技术是更昂贵的,也就是说。E足够小,我们假设n产品提供质量水平，。N种产品的价格满足。个体理性和激励相容约束,确保每个产品收到确定的客户需求需要n种产品市场分区变量并且要满足条件产品i的有效到达率被定义为，。一个图解说明客户的实用功能和市场分区变量n产品图6所示。图6 当公司生产种质量水平的产品时，客户的效用函数。（）我们定义矢量库存持有成本的产品i为该公司希望找出最优质量水平,销售价格和经济创造一定批量大小决心为每个产品的同时最大化利润总额。我们制定公司的问题如下：。 （10）给定，经济生产批量大小由决定，替代的表达式和换算为： （11）用经济生产批量大小向量回代入方程（10），可以改写该公司的优化问题为： （12）给定， 它是直接展示共同凹在q(见附录)。根据一阶条件对的期望,我们可得到最优质量矢量作为的方程，（） （13）因为所有的质量水平应该是确定的,所以要求如同前面一样，将回代入方程（12）收益率的优化问题的决定变量为 （14）应用类似的方法解决这两种产品的情况下模型(14),我们可以获得公司的最优产品系列设计决策的N产品情况。以下结果描述公司的最优选择的产品种类。命题7 假设N是最大数量的产品变体,可以支持的生产技术。我们定义为的最大值，允许公司生产N产品。，当时，可以由解决以下以个变量组成的个方程来得到：。 此外,当时，N是生产产品的最佳数量变异。 表一表明当时，适合生产种产品，更多的值可以通过数值求解系统的方程来求出，在命题7中。显然变体产品的数量N是减少为E增加。E最优产品种类能有效决定提供。市场大小促进产品种类而其他营运成本参数防止公司提供更多的产品变体。以下的属性最佳市场分区变量直接来自于命题7。表1 产品种类变量和临界值。 ，变量数量 0. 3 0. 40. 50. 60. 70. 80. 90. 10图7 最佳市场分区变量函数的E(4个变量)。推论3 假设N是变体产品的数量，是最佳的市场划分决定。那么，在下减少。高质量产品的市场覆盖在下增长，低质量产品的市场覆盖在下减少。我们现在有用见解管理产品种类从数值研究N产品情况。我们以图形方式说明了进化的最佳市场分区变量作为函数的E在图7，以时为例。让代表最佳市场分区变量单一产品案例，市场划分变量表示产品，当公司生产j种产品变体时。对于N的情况这个符号变体与一个用于推论3:。图7还肖像的相对定位的变体产品在一个产品线。一个直接的观察是,整体市场覆盖率增加但产品质量提供一个较小的最高细分市场比以前当我们增加数量的产品变体从到。使用类似的符号,图8描述了相应的行为的最优质量水平相同示例。当我们增加产品种类从到变体,一个新的低端产品质量比之前任何较低介绍了产品的线,而质量的高端产品是增加的。同样,产品的质量2,在新的产品线是提高相对于同一等级的产品在前面的产品线。从市场分割的角度来看,整个市场覆盖率增加通过增加产品品种。然而,这扩大了市场覆盖面是由于扩大医保覆盖范围的低端质量谱,而高端产品填补了的需要细分市场比以前小。图8 最佳质量水平的的函数（4个变量）。总之,所有相关的成本(即,单位成本、固定成本和库存持有成本)和市场因素造成的行列式的最佳产品种类通过参数E,这在一个平方根型公式强调市场规模作为主持人,和固定的生产成本和库存持有成本产生更高的产品种类。对于一个给定的数量的产品变体,如支持的因素产品种类变得更强(E降低)公司的回应减少其总市场覆盖率通过增加的质量这方面,高收入和低端产品。这个战略强调偏爱会议通过更高质量的产品的需求,大多数的产生的利润来自高端产品。然而,当变体产品的数量增加,公司可以增加总市场覆盖率通过引入一个新的低端产品质量不及之前的产品但质量水平的所有其他变体相对于他们的改进之前的值。因此,高端产品的质量也得到了提高并要覆盖一个较小的细分市场。6 全部信息在之前的章节中,我们假设公司没有对每个客户的信息在质量上的偏好。如果公司拥有完整的客户的偏好信息,即每个到达客户的众所周知,产品可以定价提取所有客户的盈余。换句话说,我们想调查充分信息的价值,当公司的机会客户非常歧视。在单一产品情况下,如果市场覆盖率为（时，顾客会购买该产品），当为时，公司控制销售价格，这使得客户的实用程序零，例如，。该公司的利润函数如下：根据类似的解决过程的第三节,我们解决公司的利润最优化问题,通过以下内容，我们总结了最优解决方案。命题8 在单个产品的完全信息中,，.令代表最优的解决方案组件部分信息(第三节)。回想一下,对于这种情况下的市场覆盖面是，而对于全信息，很明显，。因此,该公司还提供了更大的完整信息市场覆盖面,卖更高质量的产品和高收入利润而设置更大的生产批次。由于，在完全信息公司是有利可图的,一个更广泛的E值的范围。比较静力学的与相似。考虑现在的情况下,公司销售两个分化产品以两段前来的顾客。时，在零效用下以的价格购买高品质的产品。相似的，时，在零效用下以的价格购买低品质的产品。因此，全部的市场覆盖为。该公司的利润方程为使用类似的技术在第四节得到:命题9 在完全信息和两个产品在专用的设施，如果，公司的最优产品定位决策，最优质量水平，和最优生产批量大小分别为：（i）是下面式子唯一的解决方案范围为，横跨间隔，超过范围。（ii）。(iii) 注意，大于。由于，则可以表明因此,与完整的信息该公司生产的产品质量更高的利润和更多提供了更大的市场覆盖率通过较大的生产批次。比较静力学的最优产品定位,质量和生产批量大小差不多相应的部分信息情况下。总之,我们的结果表明,完全信息的客户首选项可以帮助公司在质量提供产品质量较高的水平,盖一个更大的市场,赚取更高利润。提高盈利能力相对于部分信息例代表公司的价值的增量客户偏好信息。7 结论产品的种类和质量的设计是至关重要的战略对于一个公司的决策。公司通常会使这些决定在一个市场营销导向与浓度在定价和方式消费者剩余萃取。人们认为,提供更多产品变量可以更好地为异构的消费者市场,提高市场占有率。然而,增加产品品种有重大影响的操作费用以生产设置和库存持有。到解决差异的跨功能的考虑产品种类的决定,我们提供了一个完整的建模框架探讨联合产品品种和经济生产批次的决定一个公司与一批生产系统。我们提供见解在产品质量的设计,产品种类祭,和由此产生的市场覆盖面和分割。在基本情况与单个产品,我们的模型收益率新结果,该公司选择的经济生产批量大小。通过考虑到产品设计质量,公司的经济生产批量大小不再是单调的客户需求率(市场大小)和库存持有成本尽管事实上单一产品有恒定的市场覆盖(1/3)。产品质量水平本身增加市场规模和减少在所有营运成本。注意,更改在产品质量和价格很容易改变主导的固定的生产成本相对于库存持有成本,因此影响了经济生产批量大小。该公司的最优选择的生产批次本质上反映了折衷创收,方产品优化设置减少,和库存控股控制。本文回答了这个问题是什么因素决定的最佳的产品种类和两个或两个以上的产品变体。在一个批量生产系统,所有成本参数和市场因素导致该公司的最优产品多样化的选择。这个答案是具有一个参数E代表相对生产成本的技术,这表明市场大小一个主持人和所有相关成本障碍增加产品种类。产品变量的数量可以唯一由E相对于预先确定的阈值。鉴于产品变异的数量,该公司的回应更便宜的生产技术(E变小)是减少整体市场覆盖面,提高设计质量的两个高端和低端产品。因为高端产品贡献更多的总利润,该战略表明,高质量提供优先考虑在利润上。尽管如此，更便宜的生产技术导致都在增加总生产成本和该公司的净利润。我们发现它总是有利于该公司生产的最大可能吗产品变量的数量为给定客户的知识。质量偏好允许公司提取所有客户的盈余通过实现个性化的定价。在完整的存在信息公司提供高质量的产品,涵盖了较大的部分市场,赚取更高的利润。这项研究的第一步是解决问题的产品种类在一份联合营销和操作框架。在未来研究,我们想理解需求的不确定性的作用并考虑更详细的生产系统这样的因素作为生产拥挤效应由于排队和质量依赖生产能力的投资。附录定理1的证明：该公司的优化问题(4)取而代之的是最大化的，。由于严格凹在上，令，则可以得到最佳的，。要保证实际利润，则需。那么,通过可以直接获得以及。命题1的证明：定理1表明因此，最优利润函数可以写成，的内容容易被运用和发展。命题2的证明 通过定理1可知此外，由于，则有规定，则结果如下，相似的，通过定义，可以得到期望下的的性质。命题3的证明通过定理1可知，当且仅当时，该公司生产一种产品是有益的。根据定理2的证明中显示的的内容，令方程（9）中，例如，该公司生产一种产品或者两种不同的产品无关紧要。通过求解，得到。因此，只要，对于该公司来说生产两种不同的产品是有益的。定理2的证明 我们需要。都大于。在证明这个命题之前，先给出以下的结论。引理/辅助定理1 设是的根，。时，利润方程用指代，当时，为单峰，在时，有最理想的值。证明：令。当。时，易证。当，随着。因此，。的第一个衍生为，令。因为。因为，所以是一个凸面递减的函数。由于，我们有，并且是一个凹面递减的函数。另外，我们有，并且当时，。因为.则在区间上为单峰。最大价值达到，因此，。通过引理1可知可以通过解决方程得到。解出方程可以得到。在的基础上，可以得出最理想的生产质量水平和理想的生产批量大小。理想的销售价格为。命题4的证明 根据，得出。在定理2的证明中，我们定义了函数。当在区间内为单峰。因此，我们有当时，。则和在E上递减。因此，和在上递增，在上递减。我们有。依据，可知。同时，。直接表明在上递增，因此，在上递增，在。将，代入理想的销售价格，我们有，可知和在上递增。推论1的证明：已知在上递减，则和在上递增，在上递减。命题5的证明：将回代入，则可写成。使用，则在上递减。因此，在和上递增。规定。可以应用隐函数定理的一阶最优性条件，来自。此外，考虑到是关于的一个函数，我们得到因为，。当，。那么，在上递增。相似的，我们有，当，在上递减。将代入，。表明在上递减，在上递增。此外，我们可以得到，有且只有一个，使得，并且当时，当时，。因此，存在一个和的一一对应关系。对于给定的，令与一致。因为。那么，变化的结果关于的期望如下，考虑是一个关于的函数，我们可以得到，。有且仅有一个，使得，并且当时，。当时，。对于给定的，令与一致。那么，我们就可以得到在的关系下的的性质。命题6的证明：我们可以重新定义该公司的利润函数为，在这里，并且。通过定义和。定义。利用的性质，可以得出。则在上递减，例如，在上递增，在上递减。“在上为连续凹函数”的证明：对于任意一种产品，我们有，是代表除了以外的任意产品的质量水平。则，只有消极的对角元素与所有非对角的元素是零,那么它是负的明确的。命题7的证明：令,则简写为，并且。那么，该公司的最优化问题等同于，（15）我们给出。当时，。当产品趋于零利润，我们有。那么，。是下述方程的解，。则，。设是在一个确定的价格下的最优解。最大数量的可能的产品变体意味着该产品利润为零，并且可以被定义为。也是下列方程的解，。给定，最优的产品定位决策可以通过。通过和等式，我们有，和，那么，。因此，是上述方程和等式的解。对于任意,假设该公司生产种不同的产品，是下列方程的解，.构造使得,并且.我们可以得到.推论3的证明：给定,理想的是方程的解。因此，.例如，.将回代入利润方程，令，我们有一阶最优性条件，,令.我们可以得到.那么，凸并且减少在.类似的，它符合条件。因此，凸并且增加在。事实上，它证明和都在上减少。根据归纳法来说，它表明在上减少。命题8的证明：在第三节中，用收益函数代替，我们用同样的方法得到考虑时的该公司的最优化问题， （16） （17） 目标函数（16）在时达到最大值。约束条件（17）服从可行性条件，表明。那么，相应的可以被导出。直接分化给比较静力学最优的解决方案。通过比较在命题8中的，和定理1中的，我们可以得到.命题9的证明：该公司的收益函数在这个案例中为，。程序在第四节收益率公司的优化问题将作为决策变量，(18) , (19) , (20). (21)通过对定理2的证明,优化问题(18)-(21)可以概括为单个决策变量，。此外，的唯一最优解由下式决定，。因为，所以跨越间隔，并且在E上减少。最佳的质量水平和经济生产规模可以根据它们可以表示为纯函数而被导出。根据定理2的证明，我们可以把最优解的专用的情况用代替。对于任意的，我们可以得到，以及，。参考文献1 Belloni,A.,Freund,R.,Selove,M.,Simester,D.,2008. Optimizing product line designs:efficient methods and comparison