随机事件的概率2.ppt

1.2 随机事件的概率,为了研究事件发生的可能性大小，需要用一个数把这种可能性表示出来，我们把刻划事件A发生可能性大小的数值叫做事件A的概率，记作P(A), 并且规定,?,抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？ 掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？ 出现单数点的概率为多少？ 向目标射击，命中目标的概率有多大？,定义1.1 在相同的条件下，进行n次试验，事件A在n次重复试验中出现nA次，则比值nA/n称为事件A在n次重复试验中出现的频率，记为fn(A). 即 fn(A) nA/n.,1.事件的频率,1.2.1 概率的统计定义,频率的性质 (1) 0 fn(A) 1； (2) fn(S)1； fn( )=0 (3) 可加性：若AB ，则 fn(AB) fn(A) fn(B).,实践证明：当试验次数n增大时， fn(A) 逐渐 趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)， 作为事件A的概率,在充分多次试验中，事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，一般来说摆动越小. 这个性质叫做频率的稳定性.,（1）频率稳定性,2.概率的统计定义,历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。 实验者 n nH fn(H) De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069 K. Pearson 12000 6019 0.5016 K. Pearson 24000 12012 0.5005,考虑在相同条件下进行的S 轮试验.,事件A在各轮试验中频率形成一个数列,试验证明，上述各分数可能各不相同，但一般稳定在某数附近。,（2）概率的统计定义：,人们常取实验次数很大时事件的频率作为概率的估计值,在相同的条件下，进行大量重复试验，当 试验次数充分大时，事件A的频率总在某 个数值p的周围摆动，则称该数值p为事件 A的概率，记为P(A)，即 P(A)=p.,例如，若我们希望知道某射手中靶的概率，应对这个射手在同样条件下大量射击情况进行观察记录.,若他射击n发，中靶 m发，当n很大时，可用频率m/n作为他中靶概率的估计.,关于频率和概率的关系，需要强调以下事实：,对于较大的n， n次试验中事件A的频率，一般与事件A的概率P相差不大，试验次数n越大，频率与概率有较大偏差的情形就越少见.,1.2.2. 概率的公理化定义,注意到不论是对概率的直观理解，还是统计定义方式，作为事件的概率，都应具有与频率类似的三条基本性质，在数学上，我们就可以从这些性质出发，给出概率的公理化定义,定义1.3 若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数 P(A)满足条件： (1) 非负性：P(A) 0； (2) 规范性：P(S)1； (3) 可列可加性：设A1，A2，, 是一列两两互不相容的事件，即AiAj，(ij), i , j1, 2, , 有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. (1.1) 则称P(A)为事件A的概率。,概率的性质 (1) 有限可加性：设A1，A2，An , 是n个两两互不相容的事件，即AiAj ，(ij), i , j1, 2, , n ,则有 P( A1 A2 An) P(A1) P(A2)+ P(An);,(3)事件差 A、B是两个事件，则 P(A-B)=P(A)-P(AB),(2) 单调不减性：若事件AB，则 P(A)P(B),(4) 加法公式：对任意两事件A、B，有 P(AB)P(A)P(B)P(AB) 该公式可推广到任意n个事件A1，A2，An的情形，如,(6) 可分性：对任意两事件A、B，有,(5) 互补性,某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同时定甲,乙两种报纸.没有人同时订甲乙或乙丙报纸.求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率.,解:设A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报,例,例1.4,解,而,故,例1.5,解,所以,例1.6,甲、乙两高射炮手，各自单独击中敌机的概,率分别为0.8和0.6，两人同时击中敌机的概率为0.48，求敌机被击中的概率。,解,设A表示“甲击中敌机”，B表示“乙击中敌机”，,C表示“敌机被击中”。则,若某实验E满足 1.有限性：样本空间Se1, e 2 , , e n ; 2.等可能性： P(e1)=P(e2)=P(en). 则称E为古典概型也叫等可能概型。,1.2.3 概率的古典定义,设事件A中所含样本点个数为N(A) ，以N(S)记样本空间S中样本点总数，则有,P(A)具有如下性质,(1) 0 P(A) 1； (2) P(S)1； P( )=0 (3) AB，则 P( A B ) P(A) P(B),古典概型中的概率:,例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少? 解:设A-至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩,N(S)=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT,N(A)=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,例1.7 一个5位数字的号码锁，每位上有0到9共10个数码。若不知该锁号码，问开一次就能把该锁打开的概率是多少？,T表示某个孩子是女孩。,解,完成一次开锁就是一次实验，其结果是一个5位号码，所以基本事件总数为105，,设A为“开一次所就把所打开”，则由于只有一个,5位号码能打开锁，故A仅包含一个基本事件， 所以,1、抽球问题 例1:设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红一白的概率。 解:设A-取到一红一白,答:取到一红一白的概率为3/5,一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是,例1.8 一批产品共200件，其中恰有6件废品，求： （1）这批产品的废品率； （2）任取3件，至多有1件废品的概率。,解,（1）设A为事件“任取一件为废品”，这批产品 的废品率就是任取一件时取到废品的概率。,故 P(A)=6/200.,（2）设B为事件“任取3件，至多一件为废品”，B0=“任取3件，都不是废品”B1=“任取3件，恰有一件为废品”，,所以,例1.9 一个口袋中装有6只球，其中4只白球，2只红球。从袋中取球2次，每次随机地取1只，考虑两种取球方式：(a) 有放回地抽样；（b）无放回地抽样。试分别就上述两种情况求概率：,（1）取到的两只球均为白色的概率；,（2）取到的两只球颜色相同的概率；,（3）取到的两只球至少有1只白球的概率.,解,设A为事件“取到的两只球均为白色”，B为事件“取到的两只球均为红球”，C为事件“取到的两只球至少有1只白球” ，,设A为事件“取到的两只球均为白色”，B为事件“取到的两只球均为红球”，C为事件“取到的两只球至少有1只白球” ，,（a）放回抽样的情况,（b）不放回抽样的情况,在实际中，产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模型的目的在于是问题的数学意义更加突出，而不必过多的交代实际背景。,例1.10 （公平的抽签）盒中有彩券m+n张，其中m张有奖，n张无奖.现随机地一张一张地取出，试求第k张为有奖彩券的概率(1km+n)。,解,所以，,注意：结果与k无关，说明抽签对先后都是公平的。,2、分球入盒问题 例1.11：将3个球随机的放入3个盒子中去，问： （1）每盒恰有一球的概率是多少？ （2）空一盒的概率是多少？,解:设A:每盒恰有一球,B:空一盒,一般地，把n个球随机地分配到m个盒子中去(nm)，则每盒至多有一球的概率是：,某班级有n 个人(n365)， 问至少有两个人的生日在同一天 的概率有多大？,?,补例（练习1.3第四题）,分析:,解:,3.分组问题（略） 例3：30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求： （1）每组有一名运动员的概率； （2）3名运动员集中在一个组的概率。 解:设A:每组有一名运动员;B: 3名运动员集中在一组,一般地，把n个球随机地分成m组(nm),要求第 i 组恰 有ni个球(i=1,m)，共有分法：,4 随机取数问题（略）,例4 从1到200这200个自然数中任取一个, (1)求取到的数能被6整除的概率 (2)求取到的数能被8整除的概率 (3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率,解:N(S)=200,N(3)=200/24=8,N(1)=200/6=33,N(2)=200/8=25,(1),(2),(3)的概率分别为:33/200,1/8,1/25,1.2.4 概率的几何定义,如果试验具有以下两个特点：,（1）每次试验的结果（即基本事件）具有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；,我们把具有这两个特点的试验模型称为几何概型,注意：这里所说的度量，是指直线段或曲线段的长度，曲面的面积，空间立体的体积。,定义1.5 设样本空间S所对应的区域仍