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第9章 MATLAB符号计算 9.1 符号对象 9.2 符号微积分 9.3 级 数 9.4 符号方程求解,1建立符号变量和符号常量 MATLAB提供了两个建立符号对象的函数：sym和syms，两个函数的用法不同。 (1) sym函数 sym函数用来建立单个符号量，一般调用格式为： 符号量名=sym(符号字符串) 该函数可以建立一个符号量，符号字符串可以是常量、变量、函数或表达式。 应用sym函数还可以定义符号常量，使用符号常量进行代数运算时和数值常量进行的运算不同。下面的命令用于比较符号常量与数值常量在代数运算时的差别。,9.1 符号对象,9.1.1 建立符号对象,a=sym(a); b=sym(b); c=sym(c); x=1; y=2; z=-4; w=a2+b2+c2 h=x2+y2+z2,比较符号常量和数值常量的差别,a=sym(4); b=sym(5); c=sym(7); d=sym(pi); x=4; y=5; z=7; r=pi w=cos(a2+b2+c2)+sin(d/4) h=cos(x2+y2+z2)+sin(r/4),若要计算w的值使用,eval(w),(2) syms函数,函数sym一次只能定义一个符号变量，使用不方便。MATLAB提供了另一个函数syms，一次可以定义多个符号变量。syms函数的一般调用格式为： syms 符号变量名1 符号变量名2 符号变量名n 用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符串分界符()，变量间用空格而不要用逗号分隔。,syms x y z h x2+(y+z)2-h,2建立符号表达式,含有符号对象的表达式称为符号表达式。建立符号表达式有以下3种方法：,(1)利用单引号来生成符号表达式。,y=1/sqrt(2*x),(2)用sym函数建立符号表达式。,f=sym(2*x2-5*y2-3*x*y-7),(3) 使用已经定义的符号变量组成符号表达式。,syms x y f=2*x2-5*y2-3*x*y-7,9.1.2 符号表达式运算,1符号表达式的四则运算,符号表达式的加、减、乘、除、幂运算可以由通常的“+”、“-”、“*”、“/”、“”来实现。,2符号表达式的提取分子和分母运算,如果符号表达式是一个有理分式或可以展开为有理分式，可利用numden函数来提取符号表达式中的分子或分母。其一般调用格式为： n,d=numden(s) 该函数提取符号表达式s的分子和分母，分别将它们存放在n与d中。,syms x y n,d = numden(x/y + y/x),3符号表达式的因式分解与展开,MATLAB提供了符号表达式的因式分解与展开的函数，函数的调用格式为：,factor(s)：对符号表达式s分解因式。 expand(s)：对符号表达式s进行展开。 collect(s)：对符号表达式s合并同类项。 collect(s,v)：对符号表达式s按变量v合并同类项。,A=a3-b3；factor(A),s=(3*x2-4*x*y-5)*(5*y2+3*y-4*x+2) expand(s),collect(s) collect(s,y),factor(sym(420),4符号表达式的化简,MATLAB提供的对符号表达式化简的函数有：,simplify(s)：应用函数规则对s进行化简。,simple(s)：调用MATLAB的其他函数对表达式进行综合化简，并显示化简过程。,simplify(log(2*(x2-1)*y/(y*x+y),simple(log(2*(x2-1)*y/(y*x+y),pretty(s)：美化表达式形式。,5符号表达式与数值表达式之间的转换,利用函数sym可以将数值表达式变换成它的符号表达式,函数numeric或eval可以将符号表达式变换成数值表达式。,sym(0.333)， ans =333/1000,如：f=1/2*sqrt(2)， numeric(f) 或 eval(f),9.1.3 符号表达式中变量的确定,MATLAB中的符号可以表示符号变量和符号常量。findsym可以帮助用户查找一个符号表达式中的的符号变量。该函数的调用格式为： findsym(s,n) 函数返回符号表达式s中的n个符号变量，若没有指定n，则返回s中的全部符号变量。,syms x y z a b d f=3*x*y+4*a*z+d*y+b findsym(f) findsym(f,1) findsym(f,3),符号变量排序为：x y z a b c d ,符号矩阵也是一种符号表达式，所以前面介绍的符号表达式运算都可以在矩阵意义下进行。但应注意这些函数作用于符号矩阵时，是分别作用于矩阵的每一个元素。 由于符号矩阵是一个矩阵，所以符号矩阵还能进行有关矩阵的运算。MATLAB还有一些专用于符号矩阵的函数，这些函数作用于单个的数据无意义。例如 transpose(s)：返回s矩阵的转置矩阵。 determ(s)：返回s矩阵的行列式值。 其实，曾介绍过的许多应用于数值矩阵的函数，如diag、triu、tril、inv、det、rank、eig等，也可直接应用于符号矩阵。,9.1.4 符号矩阵,syms a c1 t a = 980; c1 =3 y = exp(-a*t)*c1 subs(y,a,c1,a,c1) subs(cos(a)+sin(b),a,b,sym(alpha),2),9.1.5 变量替换函数,Subs(f) subs(f,new,old),subs(exp(a*t),a,-magic(2),subs(x*y,x,y,0 1;-1 0,1 -1;-2 1),9.2 符号微积分,9.2.1 符号极限,limit函数的调用格式为： (1) limit(f,x,a)：求符号函数f(x)的极限值。即计算当变量x趋近于常数a时，f(x)函数的极限值。 (2) limit(f,a)：求符号函数f(x)的极限值。由于没有指定符号函数f(x)的自变量，则使用该格式时，符号函数f(x)的变量为函数findsym(f)确定的默认自变量，即变量x趋近于a。,(3) limit(f)：求符号函数f(x)的极限值。符号函数f(x)的变量为函数findsym(f)确定的默认变量；没有指定变量的目标值时，系统默认变量趋近于0，即a=0的情况。,(4) limit(f,x,a,right)：求符号函数f的极限值。right表示变量x从右边趋近于a。 (5) limit(f,x,a,left)：求符号函数f的极限值。left表示变量x从左边趋近于a。,syms a t x y=sin(a*t)/t limit(y,t,0) limit(y,0) ezplot(h),h=exp(-1/x) limit(h,x,0) limit(h,x,0,left) limit(h,x,0,right),左右极限,求下列极限。 极限1： syms a m x; f=(x*(exp(sin(x)+1)-2*(exp(tan(x)-1)/(x+a); limit(f,x,a) 极限2： syms x t; limit(1+2*t/x)(3*x),x,inf),极限3： syms x; f=x*(sqrt(x2+1)-x); limit(f,x,inf,left) 极限4： syms x; f=(sqrt(x)-sqrt(2)-sqrt(x-2)/sqrt(x*x-4); limit(f,x,2,right),9.2.2 符号导数,diff函数用于对符号表达式求导数。该函数的一般调用格式为： diff(s)：没有指定变量和导数阶数，则系统按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求一阶导数。 diff(s,v)：以v为自变量，对符号表达式s求一阶导数。 diff(s,n)：按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求n阶导数，n为正整数。 diff(s,v,n)：以v为自变量，对符号表达式s求n阶导数。,例9-2 求下列函数的导数。,x = sym(x); t = sym(t); diff(sin(x2) diff(t6,6),syms x y; f=sin(x2)*cos(cos(y2) diff(f,y,2),9.2.3 符号积分,符号积分由函数int来实现。该函数的一般调用格式为： int(s)：没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分。 int(s,v)：以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分。 int(s,v,a,b)：求定积分运算。a,b分别表示定积分的下限和上限。该函数求被积函数在区间a,b上的定积分。a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf)。当函数f关于变量x在闭区间a,b上可积时，函数返回一个定积分结果。当a,b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。当a,b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。,9.2.4 积分变换,常见的积分变换有傅立叶变换、拉普拉斯变换和Z变换。 1傅立叶(Fourier)变换 在MATLAB中，进行傅立叶变换的函数是： fourier(f,x,t)：求函数f(x)的傅立叶像函数F(t)。 ifourier(F,t,x)：求傅立叶像函数F(t)的原函数f(x)。 例9-4 求函数y=exp(-x*x)的傅立叶变换及其逆变换。,2拉普拉斯(Laplace)变换 在MATLAB中，进行拉普拉斯变换的函数是： laplace(fx,x,t)：求函数f(x)的拉普拉斯像函数F(t)。 ilaplace(Fw,t,x)：求拉普拉斯像函数F(t)的原函数f(x)。 例9-5 计算y=x3的拉普拉斯变换及其逆变换。,funtool,9.3 级 数,9.3.1 级数符号求和 求无穷级数的和需要符号表达式求和函数symsum，其调用格式为： symsum(s,v,n,m) 其中s表示一个级数的通项，是一个符号表达式。v是求和变量，v省略时使用系统的默认变量。n和m是求和的开始项和末项,syms n; symsum(n,1,100) symsum(1/n,1,100) symsum(1/n2,1,100) symsum(1/n2,1,inf),9.3.2 函数的泰勒级数,MATLAB提供了taylor函数将函数展开为幂级数，其调用格式为： taylor(f,v,n,a) 该函数将函数f按变量v展开为泰勒级数，展开到第n项(即变量v的n-1次幂)为止，n的缺省值为6。v的缺省值与diff函数相同。参数a指定将函数f在自变量v=a处展开，a的缺省值是0。,例9-8 求函数在指定点的泰勒级数展开式。,syms a x taylor(sin(a*x),x,0,6),taylortool,9.4 符号方程求解,9.4.1 符号代数方程求解 在MATLAB中，求解用符号表达式表示的代数方程可由函数solve实现，其调用格式为： solve(s)：求解符号表达式s的代数方程，求解变量为默认变量。 solve(s,v)：求解符号表达式s的代数方程，求解变量为v。 solve(s1,s2,sn,v1,v2,vn)：求解符号表达式s1,s2,sn组成的代数方程组，求解变量分别v1,v2,vn。,例9-9 解下列方程。,solve(tan(2*y)=sin(y),y),在解不唯一的情况下，返回多个值 若不能求符号解，则返回可变精度解,x,y = solve(x2+x*y+y =3,x2- 4*x+3=0),u,v=solve(a*u2+v2=0,u-v=1),将a看着参数,S = solve(a*u2 + v2=0,u - v = 1,a,u),将v看着参数,x,y = solve(sin(x+y)-exp(x)*y =0,x2-y=2),无解析解,9.4.2 符号常微分方程求解,在MATLAB中，用大写字母D表示导数。例如，Dy表示y，D2y表示y，Dy(0)=5表示y(0)=5。D3y+D2y+Dy-x+5=0表示微分方程y+y+y-x+5=0。符号常微分方程求解可以通过函数dsolve来实现，其调用格式为： dsolve(e,c,v) 该函数求解常微分方程e在初值条件c下的特解。参数v描述方程中的自变量，省略时按缺省原则处理，若没有给出初值条件c，则求方程的通解。 dsolve在求常微分方程组时的调用格式为： dsolve(e1,e2,en,c1,cn,v1,vn) 该函