2018_2019学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式知识归纳与达标验收（含解析）新人教A版.docx

第一讲 不等式和绝对值不等式考情分析从近两年的高考试题来看，绝对值不等式主要考查解法及简单的应用，题目难度中档偏下，着重考查学生的分类讨论思想及应用能力解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，化成不含绝对值的不等式，其一是依据绝对值的意义；其二是先令每一个绝对值等于零，找到分界点，通过讨论每一区间内的代数式的符号去掉绝对值真题体验1(2017全国卷)已知函数f(x)|x1|x2|. (1)求不等式f(x)1的解集；(2)若不等式f(x)x2xm的解集非空，求m的取值范围解：(1)f(x)当x1时，f(x)1无解；当1x2时，由f(x)1，得2x11，解得1x2；当x2时，由f(x)1，解得x2.所以f(x)1的解集为x|x1(2)由f(x)x2xm，得m|x1|x2|x2x.而|x1|x2|x2x|x|1|x|2x2|x|2，且当x时，|x1|x2|x2x.故m的取值范围为.2(2017全国卷)已知函数f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|.(1)当a1时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1,1，求a的取值范围解：(1)当a1时，不等式f(x)g(x)等价于x2x|x1|x1|40.当x1时，式化为x23x40，无解；当1x1时，式化为x2x20，从而1x1；当x1时，式化为x2x40，从而1x.所以f(x)g(x)的解集为.(2)当x1,1时，g(x)2.所以f(x)g(x)的解集包含1,1，等价于当x1,1时，f(x)2.又f(x)在1,1的最小值必为f(1)与f(1)之一，所以f(1)2且f(1)2，得1a1.所以a的取值范围为1,13(2016全国卷)已知函数f(x)|x1|2x3|.(1)画出yf(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|1的解集解：(1)由题意得f(x)故yf(x)的图象如图所示(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，当f(x)1时，可得x1或x3；当f(x)1时，可得x或x5.故f(x)1的解集为x|1x3，f(x)1的解集为.4(2015全国卷)已知函数f(x)|x1|2|xa|，a0.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)1化为|x1|2|x1|10.当x1时，不等式化为x40，无解；当1x0，解得x0，解得1x1的解集为.(2)由题设可得f(x)所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a1,0)，C(a，a1)，ABC的面积为(a1)2.由题设得(a1)26，故a2.所以a的取值范围为(2，)不等式的基本性质利用不等式的性质判断不等式或有关结论是否成立，或利用不等式性质，进行数值或代数式大小的比较，常用到分类讨论的思想例1“acbd”是“ab且cd”的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析易得ab且cd时必有acbd.若acbd时，不一定有ab且cd，如a4，c1，bd2时，acbd，但cd，故选A.答案A基本不等式的应用利用基本不等式求最值问题一般有两种类型：和为定值时， 积有最大值；积为定值时，和有最小值，在具体应用基本不等式解题时， 一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”例2若正数a，b满足ab2，则的最小值是()A1 B.C9 D16解析(52)，当且仅当，即a，b时取等号，故选B.答案B例3设a，b，c均为正数，且abc1，证明：(1)abbcca；(2)1.证明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.含绝对值的不等式的解法1.公式法|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)；|f(x)|g(x)g(x)f(x)|g(x)|f(x)2g(x)2.3零点分段法解含有两个以上绝对值符号的不等式时，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间上的符号，转化为不含绝对值的不等式去解例4解下列关于x的不等式：(1)|xx22|x23x4；(2)|x1|x3|；(3)|x22|x|2|1；(4)|x2|2x5|2x.解(1)法一：原不等式等价于xx22x23x4或xx22(x23x4)，解得1x3，原不等式的解集为x|x3法二：|xx22|x2x2|x2x2(x2x20)，原不等式等价于x2x2x23x4x3.原不等式的解集为x|x3(2)|x1|x3|，两边平方得(x1)2(x3)2，8x8，x1，原不等式的解集为x|x1(3)x2|x|2，原不等式化为1|x|22|x|21，即1|x|3.原不等式解集为3，1 1，3(4)当x2x，解得x7，x2x，解得x.x2时，原不等式变形为x22x52x，解得x，原不等式无解综上可得，原不等式的解集为.不等式的恒成立问题对于不等式恒成立求参数范围问题，常见类型及其解法如下：(1)分离参数法运用“f(x)af(x)maxa，f(x)af(x)mina”可解决恒成立中的参数范围问题(2)更换主元法不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法(3)数形结合法在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可直观地解决问题例5已知函数f(x)|2x1|x2a|.(1)当a1时，求f(x)3的解集；(2)当 x1,2时，f(x)3恒成立，求实数a的取值范围解(1)当a1时，由f(x)3，可得|2x1|x2|3，或或解求得0x；解求得xbc，则一定成立的不等式是()Aa|c|b|c| BabacCa|c|b|c| D.解析：选C当c0时，A不成立；当ab，C成立2小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则()Aav BvC.v Dv解析：选A设甲、乙两地的距离为S，则从甲地到乙地所需时间为，从乙地到甲地所需时间为，又因为ab，所以全程的平均速度为va，即avc.abac.4若0，则下列结论不正确的是()Aa2b2 Bab2 D|a|b|ab|解析：选D法一(特殊值法)：令a1，b2，代入A、B、C、D，知D不正确法二：由0，得baab，aba2，故A、B正确又由1，0，且，得2，故C正确对于D，由ba0|a|b|.即|a|b|1)的最小值为()A3 B3C4 D4解析：选Bx1x10，ylog2log2log2(26)log283，当且仅当x1，即x2时取等号6若6a10，b2a，cab，则c的取值范围是()A(9,30) B0,18C0,30 D(15,30)解析：选A因为b2a，所以ab3a.又因为6a9,3a30.所以9ab3a30.即9c30.7已知|xa|b的解集为x|2x4，则实数a等于()A1 B2C3 D4解析：选C由|xa|b得，abxab，由已知得解得8设xy|xy| B|xy|x|y|C|xy|xy| D| xy|x|y|解析：选Cxy0，x，y异号不妨取x1，y1验证即可9不等式|xlog3x|0或至少有一者为零时取等号，当 |ab|a|b|时，ab0，xlog3x0，log3x0，故0x1.10若函数f(x)|x1|2xa|的最小值为3，则实数a的值为()A5或8 B1或5C1或4 D4或8解析：选D当a2时，f(x)如图1可知，当x时，f(x)minf13，可得a8；当a0)的最小值为_解析：f(x)3x39，当且仅当，即x2时取等号答案：912设函数f(x)|2x1|x3，则f(2)_，若f(x)5，则x的取值范围是_解析：f(2)|2(2)1|(2)36.|2x1|x35|2x1|2xx22x12x解得1x1.答案：61,113定义运算xy若|m1|m|m1|，则m的取值范围是_解析：依题意，有|m1|m，所以mm1m，所以m.答案：14已知x22y21，则x2y41的最大值是_解析：x22y21，x2y2y21.又x2y41x2y2y21，x2y2y23，x2y411.即x2y41.x2y41的最大值是.答案：三、解答题(本大题共4小题，满分50分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分12分)解不等式：|x|2.解：原不等式因为x22或或x2，或x22x5或x2x5.所以原不等式组等价于x0，y0，证明：(1xy2)(1x2y)9xy.证明：因为x0，y0，所以1xy230，1x2y30，故(1xy2)(1x2y)339xy.17(本小题满分12分)已知函数f(x)|xa|3x，其中a0.(1)当a1时，求不等式f(x)3x2的解集；(2)若不等式f(x)0的解集为x|x1，求a的值解：(1)当a1时，f(x)3x2可化为|x1|2.由此可得x3或x1.故不等式f(x)3x2的解集为x|x3或x1(2)由f(x)0得|xa|3x0.此不等式可化为或即或结合a0，解得x，即不等式f(x)0的解集为.不等式f(x)0的解集为x|x1，1，故a2.18(本小题满