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文档简介

第45讲椭圆解密考纲对椭圆的定义、标准方程及几何性质的考查,以选择题或填空题的形式出现一、选择题1已知焦点在y轴上的椭圆 1的长轴长为8,则m(C)A4B8C16D18解析椭圆的焦点在y轴上,则ma2.由长轴长2a8得a4,所以m16.故选C2椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率等于,且它的一个顶点为(0,2),则椭圆C的标准方程为(D)A1B1C1D1解析根据题意,可知b2,结合离心率等于,可知a216,所以椭圆方程为1.故选D3已知ABC的顶点B,C在椭圆y21上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则ABC的周长是(C)A2B6C4D12解析如图,设椭圆的另外一个焦点为F,则ABC的周长为|AB|AC|BC|(|AB|BF|)(|AC|CF|)4a4.4已知椭圆1的离心率为,则k的值为(D)A21B21C或21D或21解析当94k0,即4k5时,a3,c29(4k)5k,解得k.当94k,即kb0)的左焦点为F,若F关于直线xy0的对称点A是椭圆C上的点,则椭圆C的离心率为(D)ABCD1解析设F(c,0)关于直线xy0的对称点为A(m,n),则解得m,nc,代入椭圆方程可得1化简可得e48e240,解得e1(舍去)或e1.故选D二、填空题7设椭圆1(m0,n0)的右焦点为(2,0),离心率为,则此椭圆的方程为_1_.解析椭圆的右焦点为(2,0),m2n24,e,m2,代入m2n24,得n24,椭圆方程为1.8已知P为椭圆1上的一点,M,N分别为圆(x3)2y21和圆(x3)2y24上的点,则|PM|PN|的最小值为_7_.解析由椭圆方程知a5,b4,c3.两圆的圆心分别为椭圆的左右焦点F1,F2,设两圆半径分别为r1,r2,则r11,r22.所以|PM|min|PF1|r1|PF1|1,|PN|min|PF2|r2|PF2|2,故|PM|PN|的最小值为|PF1|PF2|32a37.9椭圆1(a为定值,且a)的左焦点为F,直线xm与椭圆相交于点A,B.若FAB的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是_.解析设椭圆的右焦点为F,如图,由椭圆定义知,|AF|AF|BF|BF|2a.又FAB的周长为|AF|BF|AB|AF|BF|AF|BF|4a,当且仅当AB过右焦点F时等号成立此时4a12,则a3.故椭圆方程为1,所以c2,所以e.三、解答题10如图,椭圆C:1(ab0)的右焦点为F,右顶点、上顶点分别为A,B,且|AB|BF|.(1)求椭圆C的离心率;(2)若斜率为2的直线l过点(0,2),且l交椭圆C于P,Q两点,OPOQ,求直线l的方程及椭圆C的方程解析(1)|AB|BF|,a,即4a24b25a2,即4a24(a2c2)5a2,e.(2)由(1)知a24b2,椭圆C:1.设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线l的方程为y22(x0),即2xy20.由消去y,得x24(2x2)24b20,即17x232x164b20.3221617(b24)0,解得b.x1x2,x1x2.OPOQ,0,即x1x2y1y20,x1x2(2x12)(2x22)0,5x1x24(x1x2)40.从而40,解得b1,满足b.椭圆C的方程为y21.11设椭圆E的方程为1(ab0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|2|MA|,直线OM的斜率为.(1)求椭圆E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0,b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为,求椭圆E的方程解析(1)由题设条件知,点M的坐标为.又kOM,所以,所以ab,c2b,故e.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线AB的方程1,点N的坐标为.设点N关于直线AB的对称点S的坐标为,则线段NS的中点T的坐标为.又点T在直线AB上,且kNSkAB1,从而有解得所以a3,故椭圆E的方程为1.12如图,已知椭圆M:1(ab0)的左、右焦点分别为F1(2,0),F2(2,0)在椭圆M中有一内接三角形ABC,其顶点C的坐标为(,1),AB所在直线的斜率为.(1)求椭圆M的方程;(2)当ABC的面积最大时,求直线AB的方程解析(1)由椭圆的定义知2a,所以a26,所以b2a2c22.所以椭圆M的方程为1.(2)由题意设直线AB的方程为yxm.由消去y,得2x22mx3m260.因为直线AB与椭圆M交于不同的两点A,B,且点C不在直线AB上,所以解得2m2且m0.设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1x2m,x1x2,y1x1m

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