2018版高中数学第三章直线与方程3.13.1.1倾斜角与斜率学案新人教A版.docx

3.1.1倾斜角与斜率目标定位1.理解直线的倾斜角的定义，掌握直线倾斜角的范围.2.理解直线的斜率，掌握过两点的直线的斜率公式.能利用斜率解决具体问题.3.掌握直线斜率和倾斜角之间的关系：ktan .自 主 预 习1.直线的倾斜角(1)定义：一条直线l与x轴相交，我们取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.一条直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)取值范围：0180.2.直线的斜率定义倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，记为k，即ktan_.取值范围当0时，k0；当00；当90180时，k0；当90时，斜率不存在.3.斜率公式直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k(其中x1x2).即 时 自 测1.判断题(1)所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率.()(2)直线的倾斜角为，则此直线的斜率为tan .()(3)直线的斜率为tan ，则此直线的倾斜角为.()(4)一条直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线的斜率k.()提示(2)当90时，直线的斜率不存在.(3)当0180时，才是此直线的倾斜角.(4)当x1x2时，k，当x1x2时，k不存在.2.下图中能表示直线l的倾斜角的是()A. B. C. D.解析结合直线l的倾斜角的概念可知可以，选A.答案A3.已知直线l的倾斜角为30，则直线l的斜率为()A. B. C.1 D.解析由题意可知，ktan 30.答案A4.过点P1(3，1)和P2(4，2)的直线的斜率k_.解析k3.答案3类型一直线的倾斜角【例1】 设直线l过坐标原点，它的倾斜角为，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A.45B.135C.135D.当0135时，倾斜角为45；当135180时，倾斜角为135解析根据题意，画出图形，如图所示：因为0180，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意.通过画图(如图所示)可知：当0135，l1的倾斜角为45；当135180时，l1的倾斜角为45180135.故选D.答案D规律方法1.解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答.2.求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.【训练1】 一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为(090)，则其倾斜角为()A. B.180C.180或90 D.90或90解析如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90.故选D.答案D类型二直线的斜率【例2】 已知直线l过P(2，1)，且与以A(4，2)，B(1，3)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围.解根据题中的条件可画出图形，如图所示，又可得直线PA的斜率kPA，直线PB的斜率kPB，结合图形可知当直线l由PB变化到与y轴平行的位置时，它的倾斜角逐渐增大到90，故斜率的取值范围为，当直线l由与y轴平行的位置变化到PA位置时，它的倾斜角由90增大到PA的倾斜角，故斜率的变化范围是.综上可知，直线l的斜率的取值范围是.规律方法(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式ktan (90)解决(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k(x1x2)求解.(3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解.【训练2】 已知两点A(3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点.(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角的取值范围.解如图所示，由题意可知kPA1，kPB1.(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k1，或k1.(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45，PA的倾斜角是135，所以的取值范围是45135.类型三斜率公式的应用(互动探究)【例3】 已知实数x，y满足y2x8，且2x3，求的最大值和最小值.思路探究探究点一y2x8，且2x3与的几何意义是什么？提示y2x8，且2x3表示一线段AB，其中A(2，4)，B(3，2)；表示点(x，y)与点(0，0)连线的斜率.探究点二解决此题的一般思路是什么？提示这类题的一般解法是借助图形，用运动变化的观点看问题.注意倾斜角为90的“跨越”.解如图所示，由于点(x，y)满足关系式2xy8，且2x3，可知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为A(2，4)，B(3，2).由于的几何意义是直线OP的斜率，且kOA2，kOB，所以可求得的最大值为2，最小值为.规律方法若所求最值或范围的式子可化为的形式，则联想其几何意义，利用图形数形结合来求解.【训练3】 已知实数x，y满足yx2x2(1x1)，试求的最大值和最小值.解由的几何意义可知，它表示经过定点P(2，3)与曲线段AB上任一点(x，y)的直线的斜率k，由图可知kPAkkPB，由已知可得A(1，2)，B(1，4).则kPA，kPB7.k7，的最大值为7，最小值为.课堂小结1.倾斜角是一个几何概念，它直观地描述并表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度.2.直线的斜率和倾斜角都反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：直线情况平行于x轴垂直于x轴的大小00909090180k的范围0k0不存在k0k的增减情况k随的增大而增大k随的增大而增大3.运用两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)求直线斜率k应注意的问题：(1)斜率公式与P1，P2两点的位置无关，而与两点横、纵坐标之差的顺序有关(即x2x1，y2y1中x2与y2对应，x1与y1对应).(2)运用斜率公式的前提条件是“x1x2”，也就是直线不与x轴垂直，而当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90，斜率不存在.1.直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是()A.090 B.90180C.90180 D.0180解析直线倾斜角的取值范围是0180，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角范围是90180.答案C2.若过两点A(4，y)，B(2，3)的直线的倾斜角为45.则y()A. B. C.1 D.1解析tan 45kAB，即1，所以y1.答案C3.如图所示，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3之间的大小关系为_.解析设l1，l2，l3的倾斜角分别为1，2，3，则由图可知032901tan 30，tan 10，故k1k3k2.答案k1k3k24.已知点B在坐标轴上，点A(3，4)，kAB2，求点B的坐标.解若点B在x轴上，则设点B的坐标为(x，0).由题意知2.解得x1，即B(1，0)；若点B在y轴上，则设点B的坐标为(0，y).由题意知2.解得y2，即B(0，2).点B的坐标为(1，0)或(0，2).基 础 过 关1.若A、B两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角和斜率分别是()A.45，1 B.135，1C.90，不存在 D.180，不存在解析由于A、B两点的横坐标相等，所以直线与x轴垂直，倾斜角为90，斜率不存在.故选C.答案C2.直线l的斜率为k，倾斜角为，若1k1，则的范围是()A. B.C. D.解析当1k0时，则；当0k1时，则.答案B3.直线l过原点(0，0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角的取值范围是()A.090 B.90180C.90180或0 D.90135解析倾斜角的取值范围为0180，直线过原点且不过第三象限，切勿忽略x轴和y轴.答案C4.如果过点P(2，m)和Q(m，4)的直线的斜率等于1，则m_.解析由斜率公式知1，解得m1.答案15.一条光线从A(3，2)发出，到x轴上的M点后，经x轴反射通过点B(1，6)，则反射光线所在直线的斜率为_.解析如图所示，作A点关于x轴的对称点A，所以点A在直线MB上.由对称性可知A(3，2)，所以光线MB所在直线的斜率为kAB2.故反射光线所在直线的斜率为2.答案26.求经过下列两点的直线的斜率，并根据斜率指出其倾斜角.(1)(3，0)，(2，)；(2)(1，2)，(5，2)；(3)(3，4)，(2，9)；(4)(3，0)，(3，).解(1)直线的斜率ktan 60，此直线的斜率为，倾斜角为60.(2)直线的斜率k0，此直线的斜率为0，倾斜角为0.(3)直线的斜率k1tan 135，此直线的斜率为1，倾斜角为135.(4)因为两点横坐标都为3，故直线斜率不存在，倾斜角为90.7.已知A(1，1)，B(3，5)，C(a，7)，D(1，b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a、b的值.解由题意可知kAB2，kAC，kAD，所以k2，解得a4，b3，所以直线的斜率k2，a4，b3.能 力 提 升8.斜率为2的直线经过点A(3，5)、B(a，7)、C(1，b)三点，则a、b的值为()A.a4，b0 B.a4，b3C.a4，b3 D.a4，b3解析由题意，得，即解得a4，b3.答案C9.已知点A(2，3)，B(3，2)，若直线l过点P(1，1)与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是()A.k2或k B.k2C.k D.k2解析直线PA的斜率kPA2，直线PB的斜率kPB，结合图象，如图所示，可知直线l的斜率k的取值范围是k2或k.故选A.答案A10.若经过点P(1a，1a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为_.解析k且直线的倾斜角为钝角，0，解得2a1.答案(2，1)11.已知A(1，1)，B(1，1)，C(2，1)，(1)求直线AB和AC的斜率；(2)若点D在线段AB(包括端点)上移动时，求直线CD的斜率的变化范围.解(1)由斜率公式得kAB0，kAC.(2)如图所示.kBC.设直线CD的斜率为k，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA