2018年高中数学推理与证明2.1.2反证法学案新人教A版.docx

21.2反证法预习课本P8991，思考并完成下列问题(1)反证法的定义是什么？有什么特点？(2)利用反证法证题的关键是什么？步骤是什么？1反证法的定义及证题的关键点睛对反证法概念的理解(1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定”(2)反证法属“间接解题方法”2“反证法”和“证逆否命题”的区别与联系(1)联系：通过证明逆否命题成立来证明原命题成立和通过反证法说明原命题成立属于间接证明，都是很好的证明方法(2)区别：证明逆否命题实际上就是从结论的反面出发，推出条件的反面成立而反证法一般是假设结论的反面成立，然后通过推理导出矛盾1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)反证法属于间接证明问题的方法()(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理()(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾()答案：(1)(2)(3)2应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用()结论的否定即假设；原命题的条件；公理、定理、定义等；原命题的结论ABC D答案：C3如果两个实数之和为正数，则这两个数()A一个是正数，一个是负数B两个都是正数C至少有一个正数D两个都是负数答案：C4用反证法证明“如果ab，那么 ”，假设的内容应是_答案：用反证法证明否定性命题典例已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列求证：，不成等差数列证明假设，成等差数列，则2，即ac24b.a，b，c成等比数列，b2ac，即b，ac24，()20，即.从而abc，与a，b，c不成等差数列矛盾，故，不成等差数列1用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法2用反证法证明数学命题的步骤 活学活用已知f(x)ax(a1)，证明方程f(x)0没有负数根证明：假设x0是f(x)0的负数根，则x00且x01，且ax0，由0ax0101，解得x02，这与x00矛盾，所以假设不成立，故方程f(x)0没有负数根用反证法证明“至多”“至少”问题典例已知a1，求证三个方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一个方程有实数解证明假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0，即：这与已知a1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解一题多变1变条件，变设问将本题改为：已知下列三个方程x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0至少有一个方程有实数根，如何求实数a的取值范围？解：若方程没有一个有实根，则解得故三个方程至少有一个方程有实根，实数a的取值范围是.2变条件，变设问将本题条件改为三个方程中至多有2个方程有实数根，求实数a的取值范围解：假设三个方程都有实数根，则即解得即a.所以实数a的取值范围为实数R.3变条件，变设问已知a，b，c，dR，且abcd1，acbd1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数证明：假设a0，b0，c0，d0.abcd1，(ab)(cd)1，acbdbcad1.而acbdbcadacbd1，与上式矛盾，假设不成立，a，b，c，d中至少有一个是负数用反证法证明“至多”“至少”等问题的两个关注点(1)反设情况要全面，在使用反证法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的(2)常用题型：对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法 用反证法证明唯一性命题典例求证：两条相交直线有且只有一个交点证明假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不止一个交点若直线a，b无交点，则ab或a，b是异面直线，与已知矛盾若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾综上所述，两条相交直线有且只有一个交点巧用反证法证明唯一性命题(1)当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明(2)用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立(3)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性活学活用求证：过直线外一点只有一条直线与它平行证明：已知：直线ba，Aa，Ab，求证：直线b唯一假设过点A还有一条直线ba.根据平行公理，ba，bb，与bbA矛盾，假设不成立，原命题成立层级一学业水平达标1用反证法证明命题：“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；假设直线AC，BD是共面直线则正确的序号顺序为()ABC D解析：选B根据反证法的三个基本步骤“反设归谬结论”可知顺序应为.2用反证法证明命题“如果a，bN，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()Aa，b都能被5整除Ba，b都不能被5整除Ca，b不都能被5整除Da不能被5整除解析：选B“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”，故选B.3用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是()A三个内角中至少有一个钝角B三个内角中至少有两个钝角C三个内角都不是钝角D三个内角都不是钝角或至少有两个钝角解析：选B“至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”4已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为()A一定是异面直线 B一定是相交直线C不可能是平行直线 D不可能是相交直线解析：选C假设cb，而由ca，可得ab，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线，故应选C.5已知a，b，c，d为实数，且cd，则“ab”是“acbd”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选Bcd，cd，ab，ac与bd的大小无法比较可采用反证法，当acbd成立时，假设ab，cd，acbd，与题设矛盾，ab.综上可知，“ab”是“acbd”的必要不充分条件6否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设是_答案：自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数7命题“a，bR，若|a1|b1|0，则ab1”用反证法证明时应假设为_解析：“ab1”的反面是“a1或b1”，所以设为a1或b1.答案：a1或b18和两条异面直线AB，CD都相交的两条直线AC，BD的位置关系是_解析：假设AC与BD共面于平面，则A，C，B，D都在平面内，AB，CD，这与AB，CD异面相矛盾，故AC与BD异面答案：异面9求证：1，2不能为同一等差数列的三项证明：假设1，2是某一等差数列的三项，设这一等差数列的公差为d，则1md,2nd，其中m，n为两个正整数，由上面两式消去d，得n2m(nm)因为n2m为有理数，而(nm)为无理数，所以n2m(nm)，矛盾，因此假设不成立，即1，2不能为同一等差数列的三项10已知函数f(x)在R上是增函数，a，bR.(1)求证：如果ab0，那么f(a)f(b)f(a)f(b)；(2)判断(1)中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论解：(1)证明：当ab0时，ab且ba.f(x)在R上是增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a)，f(a)f(b)f(a)f(b)(2)(1)中命题的逆命题为“如果f(a)f(b)f(a)f(b)，那么ab0”，此命题成立用反证法证明如下：假设ab0，则ab，f(a)f(b)同理可得f(b)f(a)f(a)f(b)f(a)f(b)，这与f(a)f(b)f(a)f(b)矛盾，故假设不成立，ab0成立，即(1)中命题的逆命题成立层级二应试能力达标1用反证法证明命题“关于x的方程axb(a0)有且只有一个解”时，反设是关于x的方程axb(a0)()A无解B有两解C至少有两解 D无解或至少有两解解析：选D“唯一”的否定是“至少两解或无解”2下列四个命题中错误的是()A在ABC中，若A90，则B一定是锐角B.，不可能成等差数列C在ABC中，若abc，则C60D若n为整数且n2为偶数，则n是偶数解析：选C显然A、B、D命题均真，C项中若abc，则ABC，若C60，则A60，B60，ABC180与ABC180矛盾，故选C.3设a，b，c(，0)，则a，b，c()A都不大于2B都不小于2C至少有一个不大于2D至少有一个不小于2解析：选C假设都大于2，则abc6，但2(2)(2)6，矛盾4若ABC能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是()A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D不能确定解析：选B分ABC的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线AD(点D在BC上)，则ADBADC，若ADB为钝角，则ADC为锐角而ADCBAD，ADCABD，ABD与ACD不可能相似，与已知不符，只有当ADBADCBAC时，才符合题意5用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是_解析：至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3axb0没有实根”答案：方程x3axb0没有实根6完成反证法证题的全过程设a1，a2，a7是1,2，7的一个排列，求证：乘积p(a11)(a22)(a77)为偶数证明：假设p为奇数，则a11，a22，a77均为奇数因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数_0.但0奇数，这一矛盾说明p为偶数解析：据题目要求及解题步骤，a11，a22，a77均为奇数，(a11)(a22)(a77)也为奇数即(a1a2a7)(127)为奇数又a1，a2，a7是1,2，7的一个排列，a1a2a7127，故上式为0，所以奇数(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)0.答案：(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)7设x，y都是正数，且xy2，试用反证法证明：2和2中至少有一个成立证明：假设2和2都不成立，即2，2.又x，y都是正数，1x2y,1y2x.两式相加得到2(xy)2(xy)，xy2.与已知xy2矛盾，所以假设不成立，所以2和2中至少有一个成立8已知数列an满足：a1，anan10(n1)；数列bn满足：bnaa(n1)(1)求数列an，bn的通项公式；(2)证明：数列bn中的任意三项不可能成等差数列解：(1)由题意可知，1a(1a)令cn1a，则cn1cn.又c11a，则数列cn是首项为c