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文档简介

第二节 极限与连续,一、数列极限的定义与性质 二、函数的极限 三、函数的连续性,一、数列极限的定义与性质,如果按照某一法则，对每一个正整数，对应着一个确定的实数xn，xn按下标由小到大排列得一序列,就叫做无穷数列，简称数列，记做xn.数列中的每一个数叫做数列的项，第n项xn叫做数列的一般项（通项）.,数列极限的概念,如果数列xn，当n无限增大时，数列xn的取值无限接近常数a，就称a 是xn当n 时的极限，记作 如果数列没有极限，称数列是发散的,1. 收敛数列xn的极限是唯一的 2.收敛的数列一定有界，但有界的数列不一定收敛。 3.无界数列必定发散 4.收敛数列的极限有的可以达到，有的不能达到。例如，常数列可以达到它的极限。,收敛数列的性质,二、函数的极限,1）自变量趋于无穷大时函数的极限,2）自变量趋于有限值时函数的极限,3）左、右极限,函数极限的性质,函数极限的运算,1）无穷小、无穷大 无穷小的定义,无穷小与函数极限的关系,无穷小的运算性质,性质1 有限个无穷小的和也是无穷小 性质2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小 推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小,无穷大,无穷小的比较,2）极限的四则运算法则,3）两个准则,4）两个重要极限,连续函数的概念,1）增量的概念,三、函数的连续性,2）连续的定义,3）左连续、右连续的定义,函数的间断点,1.可去间断点,例,2.跳跃间断点,例,解,解,注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点.,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,特点,3.第二类间断点,例,解,例,解,注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.,连续函数的运算,初等函数的连续性,定义:,例如,闭区间连续函数性质,(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得最大值和最小值.,注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.,(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,证,几何解释:,证,由零点定理,推
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