高中数学全程复习方略2.1.2.2 椭圆方程及性质的应用(共63张PPT).ppt

第2课时 椭圆方程及性质的应用,1.进一步熟练掌握椭圆的标准方程和几何性质. 2.掌握直线和椭圆的位置关系的判断方法，能利用直线和椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦等问题.,1.本课的重点是直线和椭圆的位置关系. 2.本课的难点是与椭圆相关的综合问题.,直线与椭圆的位置关系及判定,2,1,0,两,一,无,=,1.能否像判断直线和圆的位置关系那样，利用椭圆的中心到直线的距离判断直线和椭圆的位置关系？ 提示:不能.因为椭圆不是圆,中心到椭圆上点的距离不全相等.,2.如果直线把椭圆分成面积相等的两部分，则直线一定经过椭圆的_. 【解析】由椭圆为中心对称图形可知，直线一定过椭圆的中心. 答案：中心,3.直线 和椭圆x2+4y2=20的交点坐标是_. 【解析】由 得x2+2x-8=0， 解得x=2或x=-4，将其分别代入直线方程得交点坐标为（2,2） 和（-4，-1）. 答案：（2,2）和（-4，-1）,直线与椭圆的位置关系及判定方法的理解 (1)直线与椭圆有相交、相切和相离三种情况,其位置关系的几何特征分别是直线与椭圆有两个交点、有且只有一个交点、无公共点,并且二者互为充要条件.,(2)判断直线与椭圆的位置关系可使用代数法，即通过方程研究，先将直线方程与椭圆的方程联立,消去一个未知数y(或x),得到关于x(或y)的一个一元二次方程.由于该一元二次方程有无实数解、有几个实数解与方程组的解的个数相对应,故利用一元二次方程根的判别式,根据0，0还是=0即可判断方程组解的个数，从而得出直线与椭圆的交点情况.,直线与椭圆位置关系的判定 【技法点拨】 判断直线与椭圆位置关系的步骤,【典例训练】 1.直线 与椭圆x2+4y2=2 的位置关系是_. 2.若直线ykx1与焦点在x轴上的椭圆 总有公共 点，求m的取值范围,【解析】1.联立方程组得 消去y,整理得5x2-4x-1=0（）， =(-4)2-45(-1)=360， 即方程（）有两个实数根，所以方程组有两组解，即直线和 椭圆相交. 答案：相交,2.方法一：由 消去y，整理得 (m5k2)x210kx5(1m)0， 100k220(m5k2)(1m)20m(5k2m1) 直线与椭圆总有公共点， 0对任意kR都成立 m0，5k21m恒成立，1m0，即m1. 又椭圆的焦点在x轴上，0m5， 1m5.,方法二：直线ykx1过定点M(0,1)， 要使直线与该椭圆总有公共点，则点M(0,1)必在椭圆内或椭 圆上， 由此得 解得1m5.,【想一想】（1）解决直线和椭圆位置关系的问题中联立方程组消元时有何运算技巧？ （2）求解2题m的范围时容易出现什么错误？ 提示：（1）判断直线和椭圆的位置关系时，联立直线方程和椭圆方程组成的方程组消元是必有的步骤，在运算时先将椭圆的方程化成整式形式（即各项都是整式），再代入消元，会使运算变得简捷不易出错.,（2）求解第2题m的范围时，容易忽略椭圆方程对m范围的限制而得出m1的错误结论.,【变式训练】对不同的实数值m，讨论直线yxm与椭圆 的位置关系 【解析】联立方程组得 将代入得 整理得5x28mx4m240, (8m)245(4m24)16(5m2),当0，即 时，方程有两个不同的实数根， 代入可得到两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交； 当0，即 或 时，方程有两个相等的实数 根，代入可得到一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切； 当0，即 或 时，方程没有实数根，直线 与椭圆相离,弦长问题 【技法点拨】 直线和椭圆相交所得弦长的两种求法 方法一：求出直线和椭圆的两个交点坐标，利用两点间距离公式求弦长；,方法二：利用弦长公式 设直线方程为y=kx+m，椭圆方程为 或 直线与椭圆的两个交点为A（x1,y1）, B(x2,y2),则 或 其中k 表示弦所 在直线的斜率，x1,x2,y1,y2表示弦的端点坐标，由根与系数的 关系求得x1+x2,x1x2与y1+y2,y1y2的值.,【典例训练】 1.椭圆 被过右焦点且垂直于x轴的直线所截得的弦长 为_. 2.（2011四川高考改编）椭圆有两顶点A(-1，0)，B(1，0)， 过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C，D两点，当|CD| 时，求直线l的方程.,【解析】1.椭圆右焦点坐标为 过右焦点且与x轴垂直的 直线与椭圆的两交点为 所以所求的弦长为1. 答案：1,2.解题流程：,联立 方程,弦长公式,【互动探究】在2题条件不变的情况下，试求ACD的面积. 【解题指南】先根据弦长公式求出直线l的方程，再利用点到直线的距离公式求出已知顶点A到直线的距离，即得到CD边上的高，进而求出ACD的面积.,【解析】由2题的解析知,l的方程为 或 当直线方程为 即 时，点A(-1，0)到直 线的距离为 当直线方程为 即 时，点A(-1，0)到直 线的距离为,【思考】第1题能用弦长公式求解吗？弦长公式适用于哪些情形? 提示：（1）第1题不能用弦长公式求弦长，过右焦点与x轴垂直的直线的斜率不存在. （2）当直线和椭圆相交且直线的斜率存在时，才能用弦长公式求弦长；当直线斜率不存在时，弦长用|y1-y2|来计算.,中点弦问题 【技法点拨】 解决椭圆中点弦问题的两种方法 （1）根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；,（2）点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐 标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关 系，具体如下： 已知A（x1,y1),B(x2,y2)是椭圆 （a b0）上的两个不同的点，M（x0,y0）是线段AB的中点，则 由-，得 变形得 即,【典例训练】 1.如果椭圆 的弦被点（4，2）平分，那么这条弦所 在直线的方程为( ) （A）x-2y=0 （B）x+2y- 4=0 （C）2x+3y-12=0 （D）x+2y-8=0 2.已知中心在原点，一个焦点为 的椭圆被直线l:y=3x-2 截得的弦的中点横坐标为 求此椭圆的方程.,【解析】1.选D.椭圆方程可化为9x2+36y2=324.设弦两端点为A(x1,y1），B（x2,y2)，由题得 由 作差得，,将 代入上式，得 即 所以弦所在的直线方程为 即x+2y-8=0. 2.设所求椭圆的方程为 弦两端点为(x1，y1),(x2,y2), c2=a2-b2=50 由 及y=3x-2得(a2+9b2)x2-12b2x+b2(4-a2)=0,由已知 即 所以a2=3b2 由得a2=75,b2=25, 所以椭圆的方程为,【归纳】在解决与弦中点有关的问题时运用的运算方法. 提示:利用根与系数的关系或点差法解决与弦有关的问题时，都是将弦端点的坐标设出来，把这些坐标用整体代入的方法表示出直线的斜率或中点坐标，而不把端点坐标求出来，在运算时要运用这些设而不求、整体代换的技巧.,【变式训练】已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的两焦点 间的距离为 若椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标 是 求椭圆的方程. 【解析】设椭圆方程为mx2+ny2=1(0mn)， 弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2). 由题意得,由 可得(m+n)x2+2nx+n-1=0，x1+x2= 即n=2m 即 由解得 所以椭圆的方程为 即,椭圆中的最值问题 【技法点拨】 解决与椭圆有关的最值问题常用的方法有以下几种 （1）利用定义转化为几何问题处理; （2）利用数与形的结合,挖掘数学表达式的几何特征,进而求解;,（3）利用函数最值的探求方法,将其转化为函数的最值问题来处理,此时,应注意椭圆中x,y 的取值范围,常常是化为闭区间上的二次函数的最值来求解.,【典例训练】 1.设x,y满足 的最大值为_. 2.若P（x,y）满足 求 的最大值和最小 值 【解析】1.由题知 所以 又x-2,2,当x=-2时，k有最大值9. 答案：9,2. 表示点P与点（4，3）连线的斜率， 则 如图，设过点Q（4,3）的直线 方程为y=k(x-4)+3， 即y=kx+3-4k. 由,消去y得，（1+4k2）x2+8k(3-4k)x+4(3-4k)2-4=0. 令=0， 解得 即 又 的最大值为 最小值为,【规范解答】运用“设而不求”法研究直线和椭圆位 置关系问题 【典例】 (12分)(2012本溪高二检测)已知椭圆方程为 过点A(-a,0),B(0,b)的直线倾斜角为 原点到该直线的距离为,（1）求椭圆的方程； （2）斜率大于零的直线过D(-1,0)与椭圆分别交于点E，F，若 求直线EF的方程； （3）对于D(-1,0)，是否存在实数k，使得直线y=kx+2分别交 椭圆于点P，Q，且|DP|=|DQ|，若存在，求出k的值，若不存 在，请说明理由.,【解题指导】,【规范解答】（1）由 得 b=1，所以椭圆的方程是 2分 （2）设EF：x=my-1(m0)代入 得(m2+3)y2-2my- 2=0. 设E（x1,y1），F(x2,y2).由 得y1=-2y2,4分 由 得 m=1,m=-1（舍去）， 直线EF的方程为x=y-1，即x-y+1=0.7分,（3）记P(x1,y1),Q(x2,y2).将y=kx+2代入 得(3k2+1)x2+12kx+9=0(*),x1,x2是此方程的两个相异实根. 设PQ的中点为M，则 由|DP|=|DQ|，得DMPQ， 3k2-4k+1=0,得k=1或 10分 但 均使方程（*）没有两相异实根， 满足条件的k不存在.12分,【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：（注：此处的见规范解答过程）,【规范训练】（12分）已知椭圆C1的中心在原点，焦点在y轴 上，离心率为 且经过点 （1）求椭圆C1的方程； （2）已知椭圆C2的长轴和短轴都分别是椭圆C1的长轴和短轴的 m倍(m1) ，中心在原点，焦点在y轴上.过点C(-1,0)的直线l 与椭圆C2交于A，B两个不同的点，若 求OAB的面积 取得最大值时的直线的方程.,【解题设问】联立直线方程和椭圆方程消元时，消掉x还是y？ x. 【规范答题】(1)设椭圆C1的方程为 因为 所以4a2=9b2. 又因为椭圆过点 所以 解得b2=4,a2=9, 故椭圆C1的方程为 6分,（2）设椭圆C2的方程为 7分 m1，点C（-1，0）在椭圆内部,直线l与椭圆必有两个不 同的交点. 当直线l垂直于x轴时， （不是零向量），不合条件. 故设直线l为y=k(x+1)（A，B，O三点不共线，故k0）,8分 由 得 9分,而点C（-1，0）, （-1-x1,-y1)=2(x2+1,y2)， y1=-2y2，10分 原点O到直线l的距离 由弦长公式得,于是，OAB的面积 其中，上式取等号的条件是 即 时，OAB的面 积取得最大值. 所以直线的方程为 12分,1.椭圆 的右焦点到直线 的距离是( ) （A） （B） （C）1 （D） 【解析】选B.椭圆的右焦点为F(1,0)，由点到直线的距离公式 得,2.直线yxm与椭圆 有两个公共点，则m的取值范 围是( ) （A）(5,5) （B）(12,12) （C）(13,13) （D）(15,15) 【解析】选C.联立直线与椭圆方程，由判别式0，可得 13m13.,3.椭圆mx2+ny2=1与直线y=1-x交于M，N两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为 则 的值是( ) （A） （B） （C） （D） 【解析】选A. 设M（x1,y1）,N(x2,y2)， 由 消去y得, （m+n）x2-2nx+n-1=0.,线段MN中点的横坐标为 纵坐标为 过