高等数学A期末总复习.doc

第页 共5页淮 海 工 学 院14 15学年 第 二 学期 高等数学A（2） 期末总复习一、 选择题（每题4分）1. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标为-（B）（A） （B） （C） （D）注1：在该题中，试求点分别关于轴与轴的对称点坐标？注2：在该题中，试求点分别关于三个坐标平面的对称点坐标？2，则-（C）（A） （B） （C） （D）注：二元初等函数求偏导数值，将另一变量的附值先代入，在对该变量求导.如： 求.又如：求.3. 各偏导存在是该函数可微的-（B）（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件（C）充分且必要条件 （D）既不充分也不必要条件注1：连续是该函数可微的必要非充分条件.注2：各偏导连续是该函数可微的充分非必要条件.4二次积分的另一种积分次序为-（B）（A） （B） （C） （D） 注：在直角坐标系下，交换二次积分的积分次序，需熟练描绘积分区域的图形，并将其表示成另一种积分区域.如： 的另一种积分次序为-（C）（A） （B） （C） （D）5-（D）（A） （B） （C） （D） 注：第一种曲线积分的计算需利用与对称奇偶性来完成.如：设为椭圆，其周长为，则-（D）（A） （B） （C） （D） 6当时，级数是-（A）（A）条件收敛 （B）绝对收敛 （C）发散 （D）敛散性与值有关注1：若绝对收敛，则也绝对收敛.注2：若绝对收敛，条件收敛，则仅条件收敛.注3：在本题中，若为任意实数，则仍条件收敛.注4：若为任意实数，则仍条件收敛.7幂级数的收敛半径为-（C）（A） （B） （C） （D）注：幂级数的收敛半径为.8设是以为周期的周期函数，其在上的解析式为，若记的傅里叶级数为，则-（C）（A） （B） （C） （D）注：以为周期的满足狄利克雷收敛条件，若为的第一类间断点，则的傅里叶级数.如：在该题中，.二、计算题（每题7分）1. 设，其中可微，求以及.解：-3-2.-2注：设， 其中可微，求（1）；（2）.解：（1），则，故；（2）因，则.2，其中是由直线及曲线所围成的闭区域.解：-4.-3注：设平面区域D是由曲线所围成，求【简解】原式3取为的顺时针方向，用格林公式求.解：原式-2.-5注：用格林公式求时，若含分母，利用将分母变为常数，再用格林公式进行计算，注意的逆（顺）时针方向.如：设是的逆时针边界曲线，则.4设空间闭区域，是的整个边界曲面的外侧，用高斯公式计算解: -1是半径为、高为的圆柱体 -1 原式=-2 -3注：第二种曲线积分的计算需利用高斯公式与来完成，注意内外侧.如：设空间闭区域，是的整个边界曲面的内侧，用高斯公式计算得 .三、计算题（8分）设，（1）求在点处的梯度；（2）求空间曲面在点处的切平面的方程.解： ，-3则-2（2）所求曲面在处的法向量-1则切平面方程为，即，-2四、证明题（本大题分）当时，求证：.证明： -2 ，1且 1-4 ， .-2注：令 ，可由待定系数法求出.五、计算题（本题8分）若为某二元函数的全微分， 求常数，并求解: -1-1由题意知，则；-2 -1-2-1注：与积分路径无关，且，一般取为原点.如：证明：在整个平面内是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数简要解答: 因，则命题得证；又如：对计算题五，若与积分路径无关,仅与的起点与终点有关，求常数，并求出简要解答: 由题意知，则；六、计算题（本题8分）求上的连续函数，使解：设，则-2因关于轴对称，关于为奇函数，则有-2故-2-2注：求上的连续函数，使（）七、应用题（本题8分）现将一根长为的硬质金属细杆截为三段，组装成一个三角形构件,问怎样截法可使该三角形构件的面积最大? (提示：设三边为，记，则)解: 设细杆截为三段的长分别为 ， 则-1则其组装的三角形构件面积-1我们需求在条件下的最大值，-1 由 解出 -1 其化为 的普通极值问题，-1由 -2得在 时只有一个解，-1但由问题知，最大值存在，而判别点唯一，-1得时三角形面积最大-1八、微分方程复习题1、的通解为-（ B ）（A） （B） （C） （D）注1：一阶可分离变量微分方程的解法为.对选择题1，则选（ B ）.如：求的通解.2、是下列哪个微分方程的通解-（ A ）（A） （B） （C） （D）注1：的特征方程为，不要求；若特征方程有两个不同实根，原方程通解为；若特征方程有两个相同实根，原方程通解为.对选择题2，因为该微分方程的两个特解，则为其特征方程有两个不同实根，其特征方程为，故选（A）如：的通解为；通解为，则微分方程为.又如：的通解为；通解为，则微分方程为.3、 微分方程的一个特解可设为-（C）（A） （B） （C） （D）注1：的特解可设为，当为其相应特征方程的非特征根，单根，重根时，分别取.注2：的特解可设为，当为其相应特征方程的非特征根，单根，重根时，分别取.对选择题3，因为其相应特征方程的重根，取，其特解可设为；的特解可设为.4、解微分方程注1：的通解