宝安中学2013-2014高二理科数学“王子杯”竞赛题.doc

2013-2014宝安中学高二年级理科数学第一届 “王子杯”数学竞赛试题命题：许世清 审题：周晓兰 蔡毅 陈少晗本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷为1-8题，共40分，第卷为9-17题，共80分。全卷共计120分。考试时间为90分钟。注意事项：1、答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题纸上。2、第卷、第卷均完成在答题纸上。3、考试结束，监考人员将答题纸收回。 第卷 （本卷共计40 分）一选择题：（每小题只有一个选项，每小题5分，共计40分）1.命题“”的逆否命题是A 若或则 B若且则C 若则或 D若则且2.等比数列中，已知，则=A 1 B 2 C 3 D 43条件，条件，则的A、充要条件 B、既不充分也不必要条件 C、必要不充分条件 D、充分不必要条件4.在ABC中，已知,那么ABC一定是 A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D正三角形 5.设双曲线以椭圆的长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲线的渐近线的斜率为 A. B. C. D. 6某工厂的年产值第二年比第一年的增长率为p1,第三年比第二年的增长率是p2，而这两年中的年平均增长率为p，在p1+p2为定值的情况下，p的最大值是 A.B. C. D.7.椭圆的准线方程是A B C D 8.已知，且，则的最小值为A、 B、 C、 D、第卷 （本卷共计80分）二、填空题：（每小题5分，共计20分）9.在等差数列中，公差1，8，则 10.若直线l过抛物线(a0)的焦点，并且与y轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a=_11.对于问题：“已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式”，给出了如下一种解法：解析：由的解集为，得的解集为， 即关于的不等式的解集为.参考上述解法，若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ；12.已知方程表示的曲线是抛物线，则实数k的值等于 三、解答题：（每题12分，共计60分）13. 在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a+b=5，c=，且（1）求角C的大小；（2）求ABC的面积.14若不等式(1a)x24x60的解集是x|3x1(1)解不等式2x2(2a)xa0；(2)b为何值时，命题“（a2）x2bx3b0”的是假命题？15.定义在上对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围。16. 设函数，对于正数数列，其前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）是否存在等比数列，使得对一切正整数都成立？若存在，请求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由.17.已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且（1）求动点的轨迹的方程；xy0FPQ（2）已知圆过定点，圆心在轨迹上运动，且圆与轴交于、两点，设，求的最大值答案：选择题BDDB CBAC填空题：9.45 10. 11. 12. 解答题：13. 解：A+B+C=180 由 1分 3分 整理，得 4分 解得： 5分 C=60 6分（2）由余弦定理得：c2=a2+b22abcosC，即7=a2+b22ab 7分=253ab 10分 12分14. 【解】 (1)由根与系数的关系解得：a3.3分所以不等式变为：2x2x30，解集为： (， 1)（， ）.6分 (2)由题意知：不等式x2bx3b0恒成立，8分变形得，设，11分所以当且仅当即时，故.12分15. 解：要使原不等式恒成立，只要恒成立2分由恒成立得5分由恒成立8分故所求a的取值范围是12分16. 解：（1）由， ， 得 ， 即 ， 3分即 ，即 ， ，即数列是公差为2的等差数列，5分由得，解得，因此 ，数列的通项公式为. 7分（2）假设存在等比数列，使得对一切正整数都有 当时，有 ，得 ， 由得， 11分又满足条件，因此，存在等比数列，使得对一切正整数都成立. 12分17. （1）解：设，则， 即，即，所以动点的轨迹的方程 4分（2）解：