2020版高考数学一轮复习第7章立体几何第6讲空间向量及运算讲义理（含解析）.docx

第6讲空间向量及运算考纲解读1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置，了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义2.能应用空间两点间的距离公式，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，并能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直(重点、难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲一直是空间立体几何的基础，一般不单独命题预测2020年会与多面体相结合进行考查，题型为解答题，解题时利用空间向量法解决问题，试题难度不会太大，属中档题型.1空间两点间的距离公式、中点公式(1)距离公式设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB| .设点P(x，y，z)，则与坐标原点O之间的距离为|OP| .(2)中点公式设点P(x，y，z)为P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的中点，则.2空间向量的数量积ab|a|b|cosa，b3空间向量的坐标运算a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)(a，b均为非零向量)：1概念辨析(1)两向量夹角的范围与两异面直线所成的角的范围相同()(2)在向量的数量积运算中(ab)ca(bc)()(3)若a，b，c是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量()(4)对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若xyz(其中x，y，zR)，则P，A，B，C四点共面()答案(1)(2)(3)(4) 2小题热身(1)如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是()AabcBabcCabcDabc答案A解析由题意，根据向量运算的几何运算法则，()c(ba)abc.故选A.(2)若a，b，c为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是()Aa，ab，abBb，ab，abCc，ab，abDab，ab，a2b答案C解析A，B，D中三组向量都是共面向量，不能构成基底，c，ab，ab不共面可以构成基底(3)已知向量a(2，3,5)，b，且ab，则等于_答案解析因为ab，所以，所以.(4)已知a(1,2，2)，b(0,2,4)，则a，b夹角的余弦值为_答案解析cosa，b.题型 空间向量的线性运算如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设a，b，c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)；(3).解(1)P是C1D1的中点，aacacb.(2)N是BC的中点，abababc.(3)M是AA1的中点，aacbabc，又ca.abc.条件探究在举例说明条件下，若，2，试用a，b，c表示.解如图，连接AF，则.由已知四边形ABCD是平行四边形，故bc，ac.又(bc)，由已知2，所以c(ca)(a2c)，所以(bc)(a2c)(abc)用已知向量表示某一向量的注意事项(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键(2)要正确理解和运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义向量加法的多边形法则对空间向量仍然成立(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立提醒：灵活运用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知基向量表示出来 1如图所示，在四面体OABC中，a，b，c，D为BC的中点，E为AD的中点，则_(用a，b，c表示)答案abc解析因为D为BC的中点，所以()(bc)，又因为E为AD的中点，所以()abc.2如图所示，已知P为矩形ABCD所在平面外一点，PA平面ABCD，点M在线段PC上，点N在线段PD上，且PM2MC，PNND，若xyz，则xyz_.答案解析()()()，所以xyz.题型 共线向量与共面向量定理的应用1(2018郑州调研)已知a(2,1，3)，b(1,2,3)，c(7,6，)，若a，b，c三向量共面，则等于_答案9解析由题意知cxayb，即(7,6，)x(2,1，3)y(1,2,3)，解得9.2(2018唐山质检)如图所示，已知斜三棱柱ABCA1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足k，k(0k1)(1)向量是否与向量，共面？(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？解(1)k，k，kkk()k()kkk()(1k)k，由共面向量定理知向量与向量，共面(