2019年高中数学第8章统计与概率8.2概率8.2.2条件概率讲义（含解析）湘教版.docx

82.2条件概率读教材填要点1条件概率设A，B是事件，且P(A)0，以后总是用P(B|A)表示在已知A发生的条件下B发生的条件概率，简称条件概率2条件概率的计算公式如果P(A)0，则P(B|A).3条件概率的性质P(B|A)0,1如果B与C为两个互斥事件，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A)小问题大思维1P(B|A)P(AB)吗？提示：事件(B|A)是指在事件A发生的条件下，事件B发生，而事件AB是指事件A与事件B同时发生，故P(B|A)P(AB)2P(B|A)和P(A|B)相同吗？提示：P(B|A)是指在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，而P(A|B)是指在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，因此P(B|A)和P(A|B)不同条件概率的计算例1在5道题中有3道理科题和2道文科题如果不放回地依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率解设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的基本事件总数为A20.事件A所含基本事件的总数为AA12.故P(A).(2)因为事件AB含A6个基本事件所以P(AB).(3)法一：由(1)、(2)可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为P(B|A).法二：因为事件AB含6个基本事件，事件A含12个基本事件，所以P(B|A).条件概率的计算方法有两种：(1)利用定义计算，先分别计算概率P(AB)和P(A)，然后代入公式P(B|A).(2)利用缩小样本空间计算(局限在古典概型内)，即将原来的样本空间缩小为已知的事件A，原来的事件B缩小为AB，利用古典概型计算概率：P(B|A).1抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”(1)求P(A)，P(B)，P(AB)；(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，问两颗骰子的点数之和大于8的概率为多少？解：(1)设x为掷红骰子得的点数，y为掷蓝骰子得的点数，则所有可能的事件为(x，y)，建立一一对应的关系，由题意作图如图显然：P(A)，P(B)，P(AB).(2)法一：P(B|A).法二：P(B|A).条件概率的应用例2在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率解法一：设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第二个球为黑球”为事件C，则P(A)，P(AB)，P(AC).P(B|A)，P(C|A).P(BC|A)P(B|A)P(C|A).所求的条件概率为.法二：n(A)1C9，n(BC|A)CC5，P(BC|A).所求的条件概率为.利用公式P(BC|A)P(B|A)P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”2在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中5道题就获得优秀，已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率解：设事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，而另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生考试中获得优秀”，则A、B、C两两互斥，且DABC，EAB，由古典概型的概率公式及加法公式可知P(D)P(ABC)P(A)P(B)P(C)，P(AD)P(A)，P(BD)P(B)，P(E|D)P(AB|D)P(A|D)P(B|D).故所求的概率为.解题高手妙解题盒子里装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球，玻璃球中有2个是红球，4个是蓝球；木质球中有3个是红球，7个是蓝球现从中任取一个(假设每个球被取到是等可能的)是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？尝试 巧思本题数据较多，关系有点复杂，可采用列表方法理顺关系，这样不仅过程简单，同时还能快捷地找出计算条件概率时所需的相关事件的概率妙解设事件A：“任取一个球，是玻璃球”；事件B：“任取一球，是蓝球”由题中数据可列表如下：红球蓝球小计玻璃球246木质球3710小计51116由表知，P(B)，P(AB)，故所求事件的概率为P(A|B).1若P(A)，P(B|A)，则P(AB)等于()A.B.C. D.解析：选B利用条件概率的乘法公式求解P(AB)P(A)P(B|A).2用“0”“1”“2”组成的三位数码组中，若用A表示“第二位数字为0”的事件，用B表示“第一位数字为0”的事件，则P(A|B)()A.B.C.D.解析：选BP(B)，P(AB)，P(A|B)，故选B.3从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于()A. B.C. D.解析：选BP(A)，P(AB)，由条件概率的计算公式得P(B|A).4若P(A)，P(B)，P(AB)，则P(A|B)_，P(B|A)_.解析：P(A|B)，P(B|A).答案：5.如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则(1)P(A)_；(2)P(B|A)_.解析：圆的面积是，正方形的面积是2，扇形的面积是，根据几何概型的概率计算公式得P(A)，根据条件概率的公式得P(B|A).答案：(1)(2)6某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人全班平均分成4个小组，其中第一组有共青团员4人从该班任选一人作学生代表(1)求选到的是第一组的学生的概率；(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率解：设事件A表示“选到第一组学生”，事件B表示“选到共青团员”(1)由题意，P(A).(2)法一：要求的是在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A|B)不难理解，在事件B发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提)，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择因此，P(A|B).法二：P(B)，P(AB)，P(A|B).一、选择题1设P(A|B)P(B|A)，P(A)，则P(B)等于()A.B.C. D.解析：选BP(AB)P(A)P(B|A)，由P(A|B)，得P(B)2.24张奖券中只有一张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取，若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是()A. B.C. D1解析：选B设第一名同学没有抽到中奖券为事件A，最后一名同学抽到中奖券为事件B，则P(B|A).3某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A0.8 B0.75C0.6 D0.45解析：选A根据条件概率公式P(B|A)，可得所求概率为0.8.4从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为()A. B.C. D.解析：选D设事件A表示“抽到2张都是假钞”，事件B为“2张中至少有一张假钞”，所以为P(A|B). 而P(AB)，P(B).P(A|B).二、填空题5有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取1粒，则这粒种子能长成幼苗的概率为_解析：记“种子发芽”为事件A，“种子长成幼苗”为事件AB(发芽，又成活)，出芽后的幼苗成活率为P(B|A)0.8，又P(A)0.9.故P(AB)P(B|A)P(A)0.72.答案：0.7266位同学参加百米短跑比赛，赛场共有6条跑道，已知甲同学排在第一跑道，则乙同学排在第二跑道的概率是_解析：甲排在第一跑道，其他同学共有A种排法，乙排在第二跑道共有A种排法，所以所求概率为.答案：7100件产品中有5件次品，不放回地抽取两次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率为_解析：设“第一次抽到次品”为事件A，“第二次抽到正品”为事件B，则P(A)，P(AB)，所以P(B|A).答案：8抛掷一枚骰子，观察出现的点数，记A出现的点数为奇数1,3,5，B出现的点数不超过31,2,3若已知出现的点数不超过3，则出现的点数是奇数的概率为_解析：由题意知n(B)3，n(AB)2，故在出现的点数不超过3的条件下，出现的点数是奇数的概率为P(A|B).答案：三、解答题9一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，每一次取后不放回若已知第一只是好的，求第二只也是好的概率解：令A第1只是好的，B第2只是好的，法一：n(A)CC，n(AB)CC，故P(B|A).法二：因事件A已发生(已知)，故我们只研究事件B发生便可，在A发生的条件下，盒中仅剩9只晶体管，其中5只好的，所以P(B|A).10一袋中装有6个黑球，4个白球如果不放回地依次取出2个球求：(1)第1次取到黑球的概率；(2)第1次和第2次都取到黑球的概率；(3)在第1次取到黑球的条件下，第2次又取到黑球