山西省太原市中考数学知识点聚焦第十三章图形的初步认识.docx

专题五 空间图形与几何初步第十三章 图形的初步认识考情分析高频考点考查频率所占分值1.正方体的表面开展图36分2.两条直线相交问题3.两点之间，线段最短4.尺规作图作一条线段等于已知线段5.角的和、差、倍、分6.角的互余、互补7.垂线的性质8.平行线的判定和性质9.对顶角知能图谱第28讲 几何图形知识能力解读知能解读（一）几何图形长方体、圆柱、球、长（正）方形、圆、线段、点等，以及小学学习过的三角形、四边形等，都是从形形色色的物体外形中得出的，它们都是几何图形.几何图形是数学研究的主要对象之一.点拨（1）几何图形只关注物体的形状、大小和位置.（2）几何图形都是从实际物体中抽象出来的，与实物有一定的差距，只是形式而已.知能解读（二）立体图形（1）定义：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形.（2）常见的立体图形：知能解读（三）平面图形有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分都在同一平面内，它们都是平面图形.点拨虽然立体图形和平面图形是两类不同的几何图形，但它们是互相联系的.立体图形中某些部分是平面图形，例如长方体的侧面是长方形.知能解读（四）立体图形的展开图有些立体图形是由一些平面图形围成，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形.这样的平面图形称为相应立体图形的展开图.几种常见立体图形的展开图如下表：名称正方体长方体无棱柱圆柱圆锥立体图形展开图（举例）点拨（1）不是所有的立体图形都可以展开，如球体就不能展开.（2）对于同一个立体图形，按不同的方式展开，可以得到不同的平面图形.知能解读（五）点、线、面、体（1）体：几何体液简称体.面：包围着体的是面.面有平的面和曲的面两种.线：面和面相交的地方形成线.线有直线和曲线之分.点：线与线相交的地方是点.（2）点动成线，线动成面，面动成体.点拨几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素.方法技巧归纳方法技巧（一）根据立体图形的概念识别立体图形要准确地识别立体图形，首先应对照基本图形把握其根本特征.点拨首先区分是柱体还是椎体，然后再看底面是圆还是多边形.方法技巧（二）立体图形展开的识别由立体图形的展开图可以识别出立体图形的形状，具体方法是：展开图中有圆，一般考虑圆柱或圆锥；展开图中有三角形，一般考虑圆柱或圆锥；展开图中有三角形，一般考虑棱柱或棱锥；展开图中只有长方形或正方形，一般考虑棱柱.点拨（1）对简单立体图形的展开图进行识记；（2）对柱体和椎体的展开图的特征进行比较.方法技巧（三）由平面图形旋转成立图形的识别识别由平面图形旋转成的立体图形时，首先要弄清楚旋转轴.同一个平面图形，旋转轴不同，得到的立体图形也不同，可以实际操作一下，然后想象图形.方法技巧（四）整体表面展开图的应用正方体的表面展开图有多种，正方体中相对面的确定等知识是常考内容，正方体表面展开图，正方体表面展开图有以下几个特点：（1）正方体的表面展开图中，一条直线上的小正方形不会超过四个；（2）正方体的表面展开图中不会有“田”与“凹”字型；（3）相间的两个小正方形（中间隔着一个小正方形）是正方体的两个对面“ ”型两端处的小正方形是正方体的对面；（4）中间隔着两个小正方形或拐角型的三个面的正方体的邻面.正方体的表面展开图共有11种，如图所示.点拨在正方体的展开图中，相邻的两个正方形是正方体中相邻的两个，当正方体相对的两个面在展开图中的同行或同列时，中间隔一个正方形.易混易错辨析易混易错辨析1.对正方体表面展开图掌握不好致错.2.棱柱与棱锥.区别：棱柱属于柱体，它的上下两个底面是两个相同的多边形；而凌锥属于椎体，它只有一个底面，且是多边形.3.圆柱和棱柱区别：圆柱和棱柱都属于柱体，但圆柱的地面是圆，侧面是曲面；而棱柱的底面是多边形，侧面是平面.4.圆锥和棱锥区别：圆锥和棱锥都属于椎体，但圆锥的底面是圆，侧面是曲面；而棱锥的地面是多边形，侧面是平面.易混易错（一）对例题图形的分类没有理清而致错易混易错（二）对几何体的表面展开图只注意到面的个数，忽视能否还原为原来的几何体致错中考试题研究中考命题规律本将内容在中考中主要考查立体图形的识别及其平面展开图，通常以选择题和填空题的形式出现，有利于考查空间想象能力和动手操作能力.中考试题（一）识别几何体的表面展开图中考试题（二）识别正方体相对面上的文字中考试题（三）识别正方体的表面展开图第29讲 直线、射线与线段知识能力解读知能解读（1）基本事实：经过两点有一条直线，并且知能有一条直线.简单说成：两点确定一条直线.（2）直线的表示方法：可以用一个小写资本来表示，如图所示的直线可记作“直线”；也可以用这条直线上的两个点来表示，如图所示的直线也可以记作“直线”或“直线”，其中为直线上的任意两个点.（3）点与直线的关系：点在直线上，也可以说成直线经过点（如图所示）；点不在直线上，也可以说成直线不过经点，或点在直线外（如图所示）. （4）交点：当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点.如直线与直线相交于点，如图所示.点拨（1）直线无粗细、没有端点、向两方无限延伸，不能度量.（2）直线基本事实中的“有且只有”有两层含义，“有”说明存在一条直线，即确定有一条；“只有”说明这条直线是“唯一”的.（3）两条不重合的直线最多有一个交点条直线相交最多有个交点.（4）平面上的两条直线，有相交和不相交两种位置关系.知能解读（二）射线与线段射线和线段都是直线的一部分.类似于直线的表示，我们可以用图所示的方式来表示线段（或线段），其中、点是线段的端点.用图所示的方式来表示射线，其中点是射线的端点.点拨（1）线段有长短（可以度量），但线段没有方向，表示线段的两个大写字母没有顺序.（2）表示射线时，一定要把表示端点的字母写在前面.（3）端点不同，所表示的射线不同；端点相同，延伸方向不同，所表示的射线也不同；只有端点相同，并且延伸方向也相同时，才是同一条射线.知能解读（三）直线、射线、线段的区别与联系直线、射线、线段之间的区别与联系见下表： 名称类别直线射线线段区别图例概念线段向两个方向无限延伸，得到直线线段向一个方向无限延伸，就形成了射线拔河时，拉直的绳子给远处的观众一条线段的形象表示方法直线或直线射线（注：必须在的前面）或射线线段或线段端点个数012延伸性向两个方向无限延伸向一个方向无限延伸有限长长度不能度量不能度量能度量联系射线、线段都是直线的一部分，线段向一个方向无限延伸就得到射线，向两个方向无限延伸就得到直线知能解读（四）关于线段都的基本事实两点的所有连线中，线段最短.简单说成：两点之间，线段最短.知能解读（五）两个重要概念（1）两点的距离：连接两点间的线段的长度，叫作这两点的距离.注意：距离线段的长度，不能仅说成线段，线段是一个几何图形.（2）线段的中点：如图所示，点把线段分成相等的两条线段与，点叫作线段的中点.点拨常用以下式子表示点是线段的中点：；.知能解读（六）线段的画法及线段长短的比较（1）线段的画线：用刻度尺测量后再画图；借助直尺和圆规作图.例：如图所示，作一条线段，使其等于已知线段.作法：先做一条射线；用圆规量取已知线段；在射线上以为圆心截取，则线段为所求线段，如图所示.这是第一个基本作图，应熟练掌握.（2）线段长短的比较.叠合法：先把两条线段放在同一条直线上，让其一端重合，再看另一端的位置，从而确定两条线段的长短，这是从“形”的方面来进行比较.度量法：利用刻度尺，量出，每条线段的长度，再根据度量的结果确定两条线段的长短，这是从“数”的方面来进行比较，线段的长短关系和它们的长度大小关系是一致的.方法技巧归纳方法技巧（一）直线、射线、线段的识别及表示方法识别时应根据它们各自的特征，“无始无终”的是直线，“有始有终”的是线段，“有始无终”的是射线.表示时注意射线端点必须在前.注意数射线的关键是找准端点，表示时端点要写在前面.方法技巧（二）关于直线和线段基本事实的应用关于直线的基本事实：两点确定的一条直线；关于直线的基本事实；两点之间，线段最短.这两条基本事实在实际生活中有广泛的应用，应注意识别.点拨本题是两个基本事实在生活中的应用，要注意学会将生活中的问题转化成数学问题，利用数学原理来解释.方法技巧（三）规律探究技巧在识别平面内直线分平面部分数，直线的交点个数，探究线段、射线或直线条数时，一般先从较简单的情形入手，通过发现其中的规律，然后加以总结.点拨（1）事实上，直线之间的交点个数越多，直线将平面分成部分就越多.（2）从简单情形入手，探索、发现、总结规律是常用的数学方法.方法技巧（四）线段的有关计算技巧求线段长度时，如果直接求解有困难，可采取设未知数建立方程的方法进行.点拨列方程进行机损是常用的方法，应注意掌握.点拨依据线段中点的定义和所分的两条线段相等，再根据线段和、差、倍、分关系求线段的长.在解答此类问题时，既要结合图形分析已知线段和所求线段的位置关系，又要体会比较简捷的解题方法.易混易错辨析易混易错知识1.直线、射线、线段的表示法.区别：直线、射线和线段都可以用两个大写字母表示，但是它们的要求是不一样的，表示直线和线段的两个大写字母没有先后顺序，但表示射线的两个大写字母中端字母必须在前面.2.线段外一点和直线外一点易混淆.区别：线段外一点有两种情况，一是点在线段所在的直线上但在线段的两个端点的外部；二是点在线段所在直线的外部.而直线外一点只有一种情况，就是点在直线外.易混易错（一）不能把握直线、射线、线段的根本特征而致误易混易错（二）点的位置不确定，造成漏解易混易错（三）出现数重或漏数错误中考试题研究中考命题规律本讲内容在中考中主要考查两点确定一条直线及两点之间，线段最短的性质，线段的和、差级线段的中点等概念，对两点之间的距离也常涉及，常以填空题、选择题的形式出现，有时也计算题或探究题的形式出现.中考试题（一）运用之前的基本事实中考试题（二）运用线段的基本事实中考试题（三）利用线段的中点计算第30 讲 角知识能力解读知识解读（一）角的概念及表示方法1角的概念（1）有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.（2）角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.（3）射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面其余部分称为角的外部.注意角的大小只与开口大小有关，而与角的边的长短无关，因为角的两边是射线.2角的表示方法角可用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示，具体的有四种表示方法：（1）用数字表示单独的一个角，如图所示的等；（2）用小写的希腊字母表示单独的一个角，如图所示的等；（3）用一个大写英文字母表示一个独立的角（在一个顶点处只有一个角），如图1-30-1所示的等；（4）用三个大写英文字母能表示出任一个角，如图所示的等，注意顶点字母必须写在中间.知能解读（二）角的比较（1）度量法：如图所示，用量角器量得，所以. （2）叠合法：如图所示，把一个角放到另一个角上，使它们的顶点重合，器重的一边也重合，并使这两个角的另一边都在重合的同侧，其大小关系就明显了，由图可知，.注意（1）角可以度量，可以比较大小，也可以参与运算.（2）用叠合法比较角的大小注意三点；角的顶点重合；角的一边重合；另一边落在重合边的同侧.:知能解读（三）角的画法方法1：画一个角等于已知角，可用量角器先测定已知角的度数，再用量角器画与已知角相等的角.方法2：用圆规和直尺画一个角等于已知角.例如：如图所示，已知. 求作：，使.作法：（1）以为圆心，以任意长为半径作弧，交于点;（2）作射线，以为圆心，长为半径作弧，交于点；（3）以为圆心，长为半径作弧，交弧于点；（4）过点作射线，则即为所求.注意方法2用圆规、直尺画角是基本作图，也在中考命题范围之内.知能解读（四）角的和、差、倍、分（1）角的和、差 如图所示，如图将与的顶点重合，再将的一边与的一边重合，并使两个角的另一边分别在重合边的两侧，它们不重合的两边组成，这时就说是与的和，记作.此时是与的差，记作；是与的差，记作.（2）角的倍、分 如图所示，用上述方法将两个拼在一起得到，这时就说是的2倍，记作或是的，记作.类似地，将三个拼在一起得到时，.知能解读（五）角平分线一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线.常用以下三类数学式子表示角的平分线：如图所示，；.注意角平分线是一条射线，而不是一条直线或线段.角平分线把一个角分成两个相等的角.知能解读（六）角的度量单位及换算我们常用量角器度量角，度、分、秒是常用的角的度量单位.把一个周角360等分，每一份就是1度的角，把1度的角60等分，每一份就是1分的角，把1分的角60等分，每一份就是1秒的角.1度记作，1分记作，1秒记作.，.即：；.点拨（1）度、分、秒之间是60进制，这和计量时间的单位时、分、秒是一样的.（2）使用量角器时，注意量角器的零刻度的读数的旋转方向，即选择内刻度、外刻度的读数.（3）以、度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制.此外，还有其他度量角的单位制，如以弧度为基本度量单位的弧度制.知能解读（七）互为余角和互为补角（1）如图两个角的和是，那么这两个角互为余角，其中一个角是另一个角的余数.锐角的余角为.（2）如果两个角的和是，那么这两个角互为补角，其中一个角是另一个角的补角.角的补角是.（3）互余、互补的性质；同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等.注意（1）余角和补角是关于两个角的关系的概念，不能单独说哪一个角是余角或补角.（2）两个角互余或互补只是两个角的和为或，与位置无关.（3）两个角互余，则这两个角一定都是锐角.两个角互补，这两个角可能都是直角.也可能一个角是锐角，另一个角为钝角.知能解读（八）用角度表示方向方位角是从正北或正南方向到目标方向所成的小于九十度的角.例：如图所示，方向可表示为北偏西方法技巧归纳方法技巧（一）角的识别和表示法角的识别关键是找角的顶点，再找角的两边，在表示角时，注意一个大写字母只能表示一个独立角，三个大写字母可以表示任意的角，而且要把表示顶点的字母写在中间.点拨（3）中关键词是“只能”（即不能用另外的表示方法）二字，因此在找角时要按照要求去做.方法技巧（二）利用角平分线的定义求角的度数的方法角的平分线提供了角的相等或倍分关系，把这些关系与已知角联系起来，可以求出相关角的度数.在有关角的度数的计算题中，有些题目设有给出图形，当画出符合题意的图形不唯一时，要注意分情况进行讨论.点拨根据解题的需要，角平分线的定义既可以写作两角相等的形式，也可以写作一个角是另一个角2倍的形式，还可以写作一个角是另外一个半的形式，应灵活选择.同时在计算中应注意“整体代入思想”的运用.方法技巧（三）度、分、秒的换算把度换算成度、分、秒时要乘进率，而把度、分、秒转化为度时，要除以进率，换算时要逐级进行，不可越级转化.点拨将的形式化为度、分、秒的形式时，先取度整数后的剩余部分成60，再取乘积整数后的剩余部分乘60，最后以度、分、秒的形式写出来；将度、分、秒的形式化成度的形式的方法是.方法技巧（四）余角和补角的有关计算根据余角和补角的定义，锐角的.个别复杂些的问题，可列方程求解.点拨本题求角度可以利用方程求解，可以直接设未知数，也可以间接设未知数.点拨在计算有关余角、补角或与角度有关的问题时，多数用列方程的方法求解.方法技巧（五）钟表上的角度问题我们知道，时钟（如图所示）是测量时间的工具，时间的长与短、多与少都可以通过指针的指向来判断.在几何中，机械时钟的指针还给了我们角的直观形象.在时钟的表盘上，分针每分钟转，时针每小时转，每分钟转.知道这些关系，就可轻松解决时钟问题了.点拨钟表中时针与分针的夹角问题可转化为行程与角的应用题，采用方程的思想来解决，使复杂的问题变得直观，易于解决.易混易错辨析易混易错只是1.互余、互补概念混淆.互余、互补是指两个角之间的一种关系，若三个角的和等于（或），不能说这三个角互余（或互补）.2.角的换算单位与数的换算单位混淆.区别：角的换算单位之间的进率是60，而数的换算单位之间的进率是10.易混易错（一）对角的概念理解不清而致错易混易错（二）考虑问题不全面致错中考试题研究中考命题规律本讲知识在中考中重点考查角的分类，角的大小比较及有关计算，互余、互补等知识，利用角平分线以及角的和差进行角的计算，常以填空题、选择题的形式出现，今年来又出现了对角的个数的规律探究方面的考查.中考试题（一）角的运算中考试题（二）余角、补角的识别中考试题（三）余角、补角的有关计算中考试题（四）方位角的识别第31讲 相交线、平行线知识能力解读知能解读（一）邻补角、对顶角的概念1邻补角如图所示，和有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线（与互补），具有这种关系的两个角，互为邻补角.2对顶角定义：如图所示，和有一个公共顶点，并且的两边分别是的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角.性质：对顶角相等.注意对顶角的特征：对顶角由两条直线相交形成，同时形成两对对顶角；成对顶角的两个角有公共的顶点；一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线.知能解读（二）垂线的定义、性质1垂线的定义如图所示，直线与相交于点，当时，我们说直线与直线互相垂直，记作.垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂直线.它们的交点叫作垂足.2垂线的性质（1）基本事实：在同一平面内，过一点有且只有条直线与已知直线垂直.注意（1）应用以上性质必须强调“在同一平面内”，否则，在空间里，经过直线上一点与已知直线垂直的直线有无数条；（2）“过一点”中的一点可以是直线外一点，也可以是直线上一点；（3）“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性.（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中的垂线段最短.简单说成：垂线段最短.注意垂线与垂线段都具有垂直已知直线的特征，但垂线是一条直线，不能度量，而垂线段是一条线段，可以度量，它是垂线的一部分.知能解读（三）点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作到直线的距离.注意距离是一个数量，而不是一个线段，所以点到直线的距离强调的是垂线段的长度.区分两点间的距离与点到直线的距离，如下表：两点间的距离点到直线的距离定义连接两点的线段的长度从直线外一点到这条之心啊的垂线段的长度性质两点之间，线段最短垂线段最短知能解读（四）同位角、内错角、同旁内角的概念如图所示，直线被第三条直线所截，构成八个角，简称“三线八角”.（1）同位角：与，与，与，与，它们分别在直线的同一方，且在直线的同侧，具有这种位置关系的一对角叫作同位角.（2）内错角：与，与，它们都在直线之间，并且分别在直线两侧，具有这种位置关系的一对角叫作内错角.（3）同旁内角：与，与，它们都在直线之间，又在直线的同一旁，具有这种位置关系的一对角叫作同旁内角.注意（1）这三类角指的都是位置关系，而不是大小关系.（2）这三类角没有公共顶点，都是成对出现的.知能解读（五）平行线的概念及平行公理1平行线的概念在同一平面内，直线与不相交时，我们说线与互相平行，记作.注意（1）平行线无论怎样延伸也不相交.（2）今后遇到线段、射线平行时，指线段、射线所在的直线平行.（3）在同一平面内两条直线的位置关系只有两种：相交和平行.2平行公理及推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.注意（1）以上结论所的是经过“直线外一点”，若经过直线上的一点作已知直线的平行线，就与已知直线重合了.（2）“有且只有”指出了过直线外一点作这条直线的平行线的“存在性”和“唯一性”.推论：如图两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.也就是说：如果，那么（如图所示）.知能解读（六）平行线的判定（1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行.知能解读（七）平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等；（2）两直线平行，内错角相等；（3）两直线平行，同旁内角互补.知能解读（八）平行线间的距离（1）如果两条直线平行，那么其中一条直线上每个点到另一条直线的距离都相等.这个距离，叫作这两条平行线之间的距离.注意（1）对于平面内角的两条直线，只有平行线才有距离，两条相交直线不存在距离.（2）求两条平行线之间距离的方法：在两条平行线中的任意一条上取任意一点作另一条直线的垂线段，垂线段的长度是这两条平行线之间的距离，实际上是把求两条平行线间的距离转化为求一点到一条直线的距离.（3）区分“垂线段”与“距离”，前者是形，后者是量，垂线段的长度是距离.方法技巧归纳方法技巧（一）对顶角的识别方法识别对顶角应把握两个条件：一是有公共顶点；二是角的两边互为反向延长线.一般来说，两条直线相交，一定有对顶角产生.点拨对顶角的定义应注意四点：（1）对顶角由两条直线相交而成；（2）同时形成的有两对对顶角；（3）成对顶角的两个角有公共顶点；（4）一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线.方法技巧（二）垂直的定义及性质的应用进行有关角的计算时，一遇到垂直就应联想到相交所成的四个角都是.点拨解决与垂直有关的问题时，通常利用互余、互补关系，对顶角及同等角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等等条件来求解.方法技巧（三）同位角、内错角、同旁内角的识别要准确地识别这三类角，首先应对照基本图形，根据定义把握其位置特点，在遇到实际问题时要找出哪两条直线被哪一条直线所截，对于一些复杂图形有时还需要把图形分开来识别.识别方法如下：角的名称位置特征基本图形图形结构特征截线