数学分析中有关概念的几何意义1.doc

密 级 公 开 本科生毕业（学位）论文数学分析中有关概念定理的几何意义(2009051323)指导教师姓名：刘文武职 称：教授单 位：数学系专 业 名 称：数学与应用数学论文提交日期：论文答辩日期：学位授予单位：黔南民族师范学院答辩委员会主席:论 文 评 阅 人:摘要 数学是一门注重逻辑思维能力培养,连续性很强的学科。初等数学的主要研究对象是常量,而高等数学的主要研究对象是变量,即函数关系。高等数学相对于初等数学更加抽象。高等数学数学分析中相关概念定理的理解，常常表现出抽象难理解的特点，若能将其刻画出相关的几何模型，进而具体化，也就说数学概念具有几何意义。则数学分析中相关概念的理解将更直观，形象和易理解，同时进一步将介绍几何意义在提出理解高等数学的概念，定理方面的应用以及怎样利用概念定理的几何意义分析解决一些具体问题。summary Mathematics is a pay attention to logical thinking ability training, continuity strong discipline. The main research object of elementary mathematics is constant, and the higher mathematics the main research object is variable, namely function relation. The higher mathematics relative to the elementary mathematics more abstract. The higher mathematics mathematical analysis in the understanding of the related concepts, often show abstract difficult to understand characteristics, if can the characterizes relevant geometric model, and mastering, also said math concepts with geometric meaning. The mathematical analysis of the understanding of the related concepts will be more intuitive, the image and understanding, and further introduces geometric meaning is put forward in understanding the concept of higher mathematics, theorem of application and how to make use of the concept of the theorem of geometrical meaning analysis to solve some specific problems.关键词 数学分析 几何意义 数学概念 模型目录摘要.I关键词.I目录1引言2第一章 什么是几何意义.3 1.1 什么是几何意义.3 1.2 数学概念的模型性.41.3 几种常见数学概念的几何意义.5第二章 数学概念的几何意义的应用.8 2.1 理解概念、定理方面的应用.82.2借助几何意义解决具体问题.92.3 利用几何意义解题.112.4 理解数学概念应注意的建议.15参考文献.16致谢.16引言数学分析中诸多概念都具有几何意义，如函数y=f（x）在x0的几何意义为“曲线y=f（x）在点（x0，f（x0）的切线的斜率”；罗尔定理的几何意义为“在每一点都可导的一段连续曲线上，如果两端点高度相等，则至少存在一条水平切线”；当f（x）0，x在区间【a，b】时,定积分的几何意义为“由直线x=a，x=b，曲线y=f（x）及x轴所围成的曲边梯形的面积”；二重积分、三重积分、拉格朗日定理等等概念和定理都有几何意义或者数学模型。由于数学分析中相关概念和定理的理解往往比较抽象难懂，为了更好的理解和应用概念定理，如果能概念定理的代数定义与几何定义结合起来，也就是通常说的数学模型，那么我们对概念定理的理解应用将更加透彻，且能熟练运用，也能将相关概念定理的几何意义应用到实际问题，如解决证明题、计算题，另一方面若能更好的掌握相关概念的几何意义，作为数学专业的学生，我们的数学素养会得到更好的提高，逻辑思维能力将更上一个新台阶，也为以后的进一步深造打下扎实的基础。因此，理解并熟练应用数学概念的几何意义，不仅能提高我们的逻辑思维能力，空间想象能力，而且能为计算机，科学等领域的发展带来诸多好处。第一章 什么是数学概念几何意义1.1 什么是数学概念的几何意义所谓几何意义，就是代数式在几何图形中表达的意义。具体的说，就是代数和几何两种不同的系统存在着结构上的共同性，即两种系统是同构的，当我们用几何语言来叙述这种结构时即道出了相应代数式的几何意义。对于这些代数学中的概念，我们能从几何中找到与其同构的概念，以便能更形象地解释代数概念所反应的关系；而论文一些概念则是代数学中独有的，在几何中找不到相同的结构，它们就没有几何意义。我们知道，数学概念是从具体问题中抽象出来的，这里的具体问题包括科学和工程中遇到的一些实际问题，也包括数学自身的一些问题，比如导数概念是我们从物理中求变速直线运动的瞬时速度和几何中求平面曲线在某一点的切线的斜率等问题中抽象出来的一个数学模型；二重积分的概念则是从物理中求一个密度不均匀的平面薄片的质量和几何中求一个曲顶柱体的体积等问题中抽象出来的数学模型。这两个概念的产生都与几何问题有关，而实际上当我们抽象出概念之后再用它来解释先前的几何问题时，就指明了概念的几何意义，所以数学概念和它的几何意义之间往往有一种抽象和具体的相对关系。概念产生于几何问题，但它较几何问题抽象、概括性强，从而有更广的普遍性，所揭示的不仅仅是某个几何现象。何况很多概念的产生与几何问题是没有直接关系的，如三重积分，当我们求一个密度不均匀的空间立体的质量或者其他一些物理问题时，最后归结为求一个相似的和式结构的极限，从而抽象出三重积分的概念。虽然特殊的三重积分 在几何上表示一个空间立体的体积, 但是一般的三重积分是 没有几何意义的. 1.2 数学概念的模型性笔者认为，很多同学在寻求三重积分、线积分和面积分等概念的几何意义时，对数学概念模型性的意识是很淡薄的。数学不同于物理、化学、生物这些自然学科，它的研究对象不是现实生活中可以看见或者触摸的东西，而是按照某种特定的目的摈弃了这些事物的物质属性之后剩下的数量关系和空间形式，我们可称之为结构或者模型，作为数学知识大厦基石的数学概念当然具有这个性质。数学概念是我们对一类事物的共同属性进行抽象的结果，模型性是它抽象性的一种外在表现形式，比如自然数概念就是一个众所周知的数学模型，纵观人类历史，它是我们的祖先在对物体进行计数的活动中产生的，而我们学习自然数也经历了一个类似的过程，先是从不同的事物中抽象出它们在数目上的共同点，形成数的概念，然后在具体事物的辅助下学习自然数的加减运算，再后来我们掌握了自然数的一些性质，脱离了具体事物也可以进行加减甚至乘除运算，所能解决的也越来越来多。现在当我们对自然数运用自如的时候，有多少人还会想到苹果、梨这样的原型呢？当我们从原型中抽象出数学概念后，就要建立相关的理论，包括在此基础上引入新的抽象度更高的概念、研究它的性质及其与其他概念之间的联系等。这样在我们的思维里它变得越来越自由，好像离原型越来越远，实际上却是能更好地揭示其本质，能解决越来越多的问题。如导数概念，我们为求平面曲线切线的斜率、变速直线运动的瞬时速度等这样的问题而引人它，而在我们定义了导数、研究了导数的性质和运算以后，不仅能解决这些问题，而且能解决现实中大量的有关变化率的问题。所以说数学概念是从一类事物中抽象出来的模型，而学生在学习数学概念时往往对此没有明确的认识，常常过多地拘泥于它的原型，进而造成学习的困难。1.3 几种常见数学概念的几何意义一 、导数的几何意义x如图所示,PN = dx,NM =y,NT = PN tan=f(x)dx,所以dy =NT。函数y =f(x)的微分dy的几何意义就是函数y =f(x)在点P处的切线的纵坐标在相应x处的增量。如果y =f(x)在点x0处的导数f(x0)0,且x很小时,有ydy =f(x0)x这个式子也可改写为y =f(x0+x) -f(x0)f(x0)x (1)或f(x0+x)f(x0) +f(x0)x (2)2、 定积分的几何意义如图所示x表示由曲线y =f(x),直线x=a,x=b及x轴所围成的平面图形的面积的代数和,即利用定积分的几何意义与图形的特点往往能将问题快速便捷的解决。三 、绝对值的几何意义绝对值的几何意义: x表示数轴上点x到原点的距离绝对值离不开对其几何意义的探讨,为进一步使学生对其几何意义有较深的认识,感受“数”与“形”之间的联系,下例说明例1当x-2+ x+3取最小值时,求x的范围。并求其最小值。解: x-2+ x+3|表示数轴上数x与2、-3两个点之间的距离之和,如图所示:观察易知:x的范围是: -3x2,其最小值是5.四、复数的几何意义对应平面向量的模|z|，即复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。即以原点为圆心，半径为|z|的圆除以上的数学概念，还有微分、偏微分等等都能抽象出一定的数学模型，即其几何意义。第2章 数学概念的几何意义的应用2.1理解概念、定理方面的应用数学分析的课堂教学中，往往需要引入新的概念，解决新问题。怎样引入一个新概念使学生更容易理解、掌握，这是教师在备课时要考虑的。数学分析中的概念如极限、导数、积分等大都具有明显的几何意义。在提出新概念时，可以从这些较易被理解接受的几何背景、几何意义出发，引导学生对概念的理解。如讲解定积分的概念时，可以首先指出来求一个平面图形的面积可以转变为求两个曲边梯形面积的计算方法，平面图形面积的计算就得到了解决，因此就把注意力集中到寻找曲边梯形面积的计算方法上来，通过讲解曲边梯形面积的计算方法（分割、求和、取极限）得到一个和式极限，进而抽象出定积分的定义。对于有些定义也可以用它的几何意义引出，如Lagrange中值定理的几何意义：在一条连续光滑的曲线上存在与曲线端点连线平行的切线，从图形上来看这是显然的事实，在讲解时可以先画出图形，然后从图形总结出定理的条件和结论。这样给学生在恼里形成一个具体的几何模型，借助几何模型抽象出概念、定理，使学生更能加深对这些概念、定理的认识和理解.与从几何模型引出概念的方式相反, 教师在课堂上也可以用其它的方法( 包括直接的方法) 提出新概念, 然后利用学生已有知识来理解新概念, 其中一个有效的方法就是在提出概念后, 通过讲解其几何意义强化对概念的理解。如数列极限的 E- N 定义, 在一般的教科书上给出一个具体的数列极限，如Yn=1+1/n（n趋于无穷大），通过分析 Yn趋于1的过程，总结其本质特征, 用这个本质特征作为Yn趋于1的定义，由此引出一般数列极限的 E- N 定义: 对于任意给定的不管多么小的正数E，总可以找到自然数 N, 当时 n N, 有 | yn- a|E则称当 n 趋于无穷时数列 yn以 a 为极限。看完该定义后学生难以理解, 感到很茫然, 这时可以引导学生用形象的几何语言描述它, 得到数列极限的几何意义, 用这个几何意义强化对E-N定义的理解。类似的方式可以帮助学生对定理的条件、结论的记忆和理解。一些定理( 如最大最小值定理、介值定理等) 的证明较麻烦, 许多教材没有给出逻辑证明, 此时可以用它的几何意义作说明, 使学生对定理有一个明确的理解和认识。2.2借助几何意义解决具体问题由于几何模型具体、直观, 因此在证明命题时, 往往通过分析其几何模型的一些特征更容易找到证明命题的方法。如对于 Rolle 定理: 设 f( x) 在 a, b 上连续, 在( a, b) 内可导, 且f( a) = f( b) , 则在( a, b)内至少存在一点N, 使得 f（N）=0.为了证明该定理, 可根据给出的条件画出图形, 显然在曲线的最高点或最底点处的切线平行于 x 轴,因此只要证明f( x) 在使函数取得最大值或最小值的点处的导数为零即可。又如牛顿- 莱布尼滋定理 1是微积分学的基础, 正确理解和熟练掌握该定理是学好高等数学的关键之一, 是教学的重点内容。在大部分的高等数学教材中, 从变速直线运动的路程问题得到, 由此推广到一般的情形: 设 f ( x) 在 a, b 上连续, 若为了证明这个定理, 一般的教材直接引入函数 去作证明, 学生经常会提出如何想到要引入这个函数, 其实可以从定积分的几何意义来考虑。已知的几何意义是在 a, b 上以曲线y= f( x) 为曲边的曲边梯形的面积, F( b ) - F( a) 是 f ( x) 的原函数 F( x) 在区间 a, b 上的增量, 因此要将曲边梯形的面积的表示成某个函数的增量的形式，则意味着是两块图形的面积, 从而函数 也是图形的面积, 考虑特殊的情况，若则，由此可推知是在是在 a, x 上以曲线 y= f( x) 为曲边的曲边梯形的面积, 因此然后证明 是 f( x) 的原函数, 结合 f( x) 的任意两个原函数之间只相差一个常数就可以得到定理的证明。再考察下面的例子。例1设f（x）0，试证明不等式 图1 不等式的几何解释因为f（x）0， 所以 f( x ) 是凹的, 画出不等式中左边、中间以及右边式子所表示的几何图形得到图 1, 可以看出曲边梯形 FAEBG 的面积处于两个梯形 CDGF 和 ABGF 的面积之间, 由此得到, 需证明AB 弧处于弦 和切线 CD 之间, 即其中这可由 f( x) 在 c 处的一阶泰勒展式以及 f( x) 是凹的得到, 最后在上述不等式各边取 a, b 上的定积分就可以得到所要证明的不等式。2.3 利用几何意义解题对一些题目, 有时可以利用其中蕴涵的几何意义快速得到答案。例2 函数y= | sinx| 在x= 处的导数为A.0 B.1 C.-1 D.不存在答案是( D) , 这可以从图 2 得到, 因为曲线在点(, 0) 处无切线。例 3 设 f( x) 在( a, b) 内满足则则对例 2、例 3 是利用了与导数有关的几何意义得到问题的解, 下面考察利用积分的几何意义解题。例4 星形线围成的面积图4解设星形线围成平面图形面积为S,则: 例5图5 通过对利用传统思想解题与利用几何意义解题的对比,形成一定的反差。让学生感受“数形”结合之美,体验到利用几何意义解题的魅力。激发学习的积极性,树立起学好高等数学的信心,从而为学好专业与未来就业打下良好的基础。2.4 理解数学概念应注意的建议鉴于学生学习数学概念时思维的抽象层次较低, 对概念的模型性意识淡漠的情况, 我们在教学中应该注意以下几点: 一、在介绍新概念之前, 将本章要讲的全部内容作个简单的介绍, 以使学生明确将要学习的概念产生的背景及其地位和作用; 二、留给学生足够的时间经历一个完整的抽象过程, 不要过早地给概念下定义, 否则在感知尚不充分的情况下接受定义会造成理解不深刻, 以致反复解释, 反会增加教学时间, 教学效果也欠佳; 三、概念获得之后, 应及时予以应用, 将概念的典型范例与形式定义有机地结合起来, 使学生充分感知到数学概念的模型性, 如获得定积分的概念后, 立即要求学生将一些实际问题归结为求一个定积分; 四、概念获得后, 为加深理解、提高抽象水平