概率论2频率与概率.ppt

,二、概率的统计定义,一 、频率,第二节 频率与概率,三、概率的公理化定义,研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率.,概率是随机事件 发生可能性大小 的度量,事件发生的可能性 越大，概率就 越大！,一、频率的定义,频率有什么规律？,可见, 在大量重复的试验中,随机事件出现的频率具有稳定性.即通常所说的统计规律性.,随机事件A出现的频率 会稳定地在某个固定的,二、概率的定义,提示：可用归纳法证明,右端共有 项.,例3 (订报问题) 在某城市中，共发行三种报纸A，B，,C，订购A，B，C的用户占用分别为45%，35%，30%，,同时订购A，B的占10%，同时订购A，C的占8%，同,时订购B，C的占5%，同时订购A，B，C的占3%，试,求下列事件的概率：,(1) 只订购A的,(2) 只订购A，B的,(3) 只订购一种报纸的,(4) 只订购两种报纸的,(5) 至少订购一种报纸的,(6) 不订购任何报纸的,解 设A，B，C分别表示“用户订购A，B，C 报纸”,(1),(2),(3),两两互不相容的,(4),两两互不相容,(5),(6),例4 证明,证,例5,，求,解,例6,，求,解,从定义出发求概率是不切实际的，下面将针对,特殊类型的概率求事件的概率。,三、小结,频率的定义 概率的公理化定义及概率的性质,事件在一次试验中是否发生具有随机性，它发生的可能性大小是其本身所固有的性质，概率是度量某事件发生可能性大小的一种数量指标.它介于0与1之间.,作业2,9页 2、3、4,概率的相关知识回顾,1、概率的直观含义是事件发生的可能性,数学定义的实质是什么?,2、求概率的常用计算公式,概率是以“事件”为自变量的函数,第三节 等可能概型,一、等可能概型的定义,二、计算公式,三、计算方法,1.定义：具有以下两个条件的随机试验称为等可能概型，,有限性 试验的样本空间中的元素只有有限个；,等可能性 每个基本事件的发生的可能性相同。,例：E1抛硬币,观察哪面朝上,2.计算公式：,等可能概型也称为古典概型。,E2投一颗骰子，观察出现的点数, 若事件A包含k个基本事件，即,则有,例1 投两枚骰子，事件A“点数之和为3”，求,解 法一：出现点数之和的可能数值, 不是等可能的,法二：,36个,例2 投两枚骰子，点数之和为奇数的概率。,解 令A点数之和为奇数,法一，,36个,18个,法二，所有可能结果(奇,奇)，(奇,偶)，(偶,奇)，(偶,偶),A=(奇,偶)，(偶,奇), 说明样本空间的选取可以不同，但必须保证等可能。,3.方法：,构造A和S的样本点(当样本空间S的元素,较少时，先一一列出S和A中的元素，直,用排列组合方法求A和S的样本点个数,预备知识,. 加法原理：完成一项工作m类方法，第i类方法有,种方法。,.乘法原理：完成一项工作有m个步骤，第i步有,，则完成该项工作一共有：,种方法。,种方法（i=1,2,m),.排列：,从n个元素中取出r个元素，按一定顺序排成一列，,进行排列，共有,种方法。,次排成一列，称为可重复排列，一共有,. 组合,从n个元素中无放回取出r个元素，不考虑其顺序，,组合数为,或,例：袋中有三个球，标号1,2,3，任取两次, 无放回，考虑顺序,12,13,21,23,31,32,无放回，不考虑顺序,12,13,23, 有放回，考虑顺序,11,12,13,21,22,23,31,32,33,例3 6只不同球(4白2红)，从袋中依次取两球，观察其,(1) “取到的两只球都是白球”,(2) “取到的两只球颜色相同”,(3) “取到的两只球中至少有一个是白球”,解 a.,(1),(2),求下列事件的概率：,若直接考虑：,(1),(2),(3),b.无放回,(考虑先后顺序),思考：如果不考虑顺序呢？,例4.,某教研室共有11 名教师, 其中男教师7 人, 现,在要选 3 名优秀教师, 问其中至少有一女教师概率,解,(方法一),设 A = “ 3 名优秀教师中至少有一名女教师”,= “ 3 名优秀教师中恰有 名女教师”,则,方法二 设 A = “ 3 名优秀教师全是男教师”,注：在使用排列组合时，分子分母要保持一致。,例5 袋中有a 只白球，b 只红球，从袋中按 不放回与放回两种方式取m个球（ ), 求其中恰有 k 个 （ ）白球的概率,解 （1）不放回情形,E1: 不考虑顺序， 一次取 m 个球,记下颜色,1:,记事件 A 为m个球中有k个白球，则,因此,称超几 何分布,（2）放回情形,E2: 球编号, 任取一球, 记下颜色, 放回去,重复 m 次,2:,记 B 为取出的 m 个球中有 k 个白球, 则,称二项分布,（1）某指定的 k 个盒子中各有一球；,（4）恰有 k 个盒子中各有一球；,（3）某指定的一个盒子没有球；,（2）某指定的一个盒子恰有 m 个球( ),（5）至少有两个球在同一盒子中；,（6）每个盒子至多有一个球.,解,设(1)-(6)的各事件分别为,则,例4的“分房模型”可应用于很多类似场合,信封,信,钥匙,门锁,女舞伴,生日,人,男舞伴,例7(生日问题) 设每个人的生日在一年365天中的任一,(1) 他们的生日各不相同的概率为多少？,(2) n个人中至少有两个人生日相同的概率为多少？,解 (1) 设 A= “n个人的生日各不相同”,(2) 设 B = “n个人中至少有两个人生日相同”,当 n 等于64时，在64人的班级中，B发生的概率,接近于1，即 B几乎 总是会出现。,作业3,14页 2、4、5,第四节 条件概率,一 条件概率,二 乘法公式,三 全概率公式,第一章,四 贝叶斯公式,在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.,一、条件概率,1. 条件概率的概念,如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B).,一般地 P(A|B) P(A),(1) 抽中的是k的概率;,(2) 若已知抽中的是红桃,问抽中的是k的概率。,解：,A 抽中的是红桃, B 抽中的是k,(1),(2),上述式子具有普遍性吗?,在古典概型中,2、定义：,设 A，B为两事件，且,则称,为事件A发生条件下事件B发生的条件概率。,若事件A已发生,则为使B也发生，试验结果必须是既在 B中又在A中的样本点，即此点必属于AB.由于我们已经知道A已发生,故A变成了新的样本空间.,则,(2).,性质：条件概率类似满足概率的6条性质。,非负性,规范性,可列可加性,2) 从加入条件后改变了的情况去算,3. 条件概率的计算,1) 用定义计算:,P(B)0,P(A|B）=,B发生后的缩减 样本空间所含样 本点总数,在缩减样本空 间中A所含样 本点个数,例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?,解法1,解法2,解 设A=掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出6点,应用定义,在B发生后的缩减样本 空间中计算,例2 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4.问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？,解 设A=能活20年以上，B=能活25年以上,依题意，P(A)=0.8, P(B)=0.4,所求为P(B|A).,条件概率P(A|B)与P(A)的区别,每一个随机试验都是在一定条件下进行的 ,设A是随机试验的一个事件，则P(A)是在该试验条件下事件A发生的可能性大小.,P(A)与P(A |B)的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.,而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“B发” 这个条件时A发生的可能性大小,即P(A|B)仍是概率.,由条件概率的定义：,即 若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2),而 P(AB)=P(BA),二、 乘法公式,若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB).,将A、B的位置对调，有,故 P(A)0 , 则 P(AB)=P(A)P(B|A) (3),若 P(A)0,则P(BA)=P(A)P(B|A),(2)和(3)式都称为乘法公式, 利用 它们可计算两个事件同时发生的概率,乘法公式应用举例,一个罐子中包含b个白球和r个红球. 随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c 个与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行四次 ，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.,（波里亚罐子模型）,于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球. ”,随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球.,解 设 Wi=第i次取出是白球, i=1,2,3,4,Rj=第j次取出是红球， j=1,2,3,4,用乘法公式容易求出,当 c 0 时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率. 这是一个传染病模型. 每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.,=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3),P(W1W2R3R4),一场精彩的足球赛将要举行, 5个 球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.,5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没写. 将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取.,后抽比先抽的确实吃亏吗？,到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?,“大家不必争先恐后，你们一个一个 按次序来，谁抽到入场券的机会都 一样大.”,我们用Ai表示“第i个人抽到入场券” i1,2,3,4,5.,显然，P(A1)=1/5，P( )4/5,第1个人抽到入场券的概率是1/5.,也就是说，,则 表示“第i个人未抽到入场券”,因为若第2个人抽到 了入场券，第1个人 肯定没抽到.,也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，,由于,由乘法公式,P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5,计算得：,这就是有关抽签顺序问题的正确解答.,同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到. 因此,(4/5)(3/4)(1/3)=1/5,继续做下去就会发现, 每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5.,抽签不必争先恐后.,也就是说，,设一个班中30名学生采用抓阄的办法分一张电影,票,问各人获得此票的机会是否均等？,例3、,同理,第i个人要抓到此票,他前面