线性方程组与线性几何.doc

肂荿薁羅膄薄蒇羄芆莇袆羃肆蚃螂羂膈蒅蚈羁芀蚁薄羁莃蒄袂羀肂芆螈聿膅蒂蚄肈芇芅薀肇羇蒀薆肆腿芃袅肆芁蕿螁肅莄莁蚇肄肃薇薃肃膆莀袁膂芈薅螇膁莀莈蚃膀肀薃虿螇节蒆薅螆莄蚂袄螅肄蒄螀螄膆蚀蚆螃艿蒃薂袃莁芆袁袂肁蒁螇袁膃芄螃袀莅蕿虿衿肅莂薅袈膇薈袃袇芀莀蝿袇莂薆蚅羆肂荿薁羅膄薄蒇羄芆莇袆羃肆蚃螂羂膈蒅蚈羁芀蚁薄羁莃蒄袂羀肂芆螈聿膅蒂蚄肈芇芅薀肇羇蒀薆肆腿芃袅肆芁蕿螁肅莄莁蚇肄肃薇薃肃膆莀袁膂芈薅螇膁莀莈蚃膀肀薃虿螇节蒆薅螆莄蚂袄螅肄蒄螀螄膆蚀蚆螃艿蒃薂袃莁芆袁袂肁蒁螇袁膃芄螃袀莅蕿虿衿肅莂薅袈膇薈袃袇芀莀蝿袇莂薆蚅羆肂荿薁羅膄薄蒇羄芆莇袆羃肆蚃螂羂膈蒅蚈羁芀蚁薄羁莃蒄袂羀肂芆螈聿膅蒂蚄肈芇芅薀肇羇蒀薆肆腿芃袅肆芁蕿螁肅莄莁蚇肄肃薇薃肃膆莀袁膂芈薅螇膁莀莈蚃膀肀薃虿螇节蒆薅螆莄蚂袄螅肄蒄螀螄膆蚀蚆螃艿蒃薂袃莁芆袁袂肁蒁螇袁膃芄螃袀莅蕿虿衿肅莂薅袈膇薈袃袇芀莀蝿袇莂薆蚅羆肂荿薁羅膄薄蒇羄芆莇袆羃肆蚃螂羂膈蒅蚈羁芀蚁薄羁莃蒄袂羀肂芆螈聿膅蒂蚄 第六章 线性方程组与线性几何重要知识点1 基本概念：奇次线性方程组的基础解系、一般解；非奇次线性方程组一般解。2 定理：设。若，则。3 奇次线性方程组基础解系的求法（见P194-195）.4 定理：对于非奇次线性方程组，下列命题等价： （1）有解； （2）； （3）。5 定理：非奇次线性方程组有唯一解的列数。6 定理：设奇次线性方程组的一个基础解系为。若非奇次线性方程组有解，设是的任意一个解，则其一般解为 其中是任意常数。常见题型及常见解法1 求奇次线性方程组的基础解系。 解法1：高斯消元法（如节6.1例1，习题1、2等） 解法2：利用定理2（如习题3、4、5，补充题1、2等）2 关于矩阵秩的证明。 解法：利用上述定理2、4等（如节6.1例2、3，习题6、7、8、9、10、13等）。3 关于非奇次线性方程组的一般解的求解及证明。解法：利用定理6（如节6.2例，习题11、12）。4 关于非奇次线性方程组解的存在性的证明。解法：利用定理4（如补充题6、8等）。习题1（2）解：由题意得方程组的系数矩阵 。 利用初等行变换可化为 。 选为自由未知量，取和，得基础解系 。 所以方程组的一般解为 ，其中为任意常数。2解：若要使方程组有非零解，即使方程组有非零解。因为 。所以。 对进行初等行变换可得：若，则 ；若，则 。 因为有非零解，所以秩。所以或。 若，此时选为自由未知量，取，和，得基础解系 。 所以方程组的一般解为 ，其中为任意常数。 若，此时选为自由未知量，（下略，与上类似。）3解：因为，所以设，则有。令。则对于欧氏空间有，且 。 （利用P183例3的方法）因为行列式 ，所以令则是的一组基。利用Schmidt正交化过程将之正交化得到的一组单位正交基（具体略）。显然。令即得。4证明：取的自然基。由题意得。所以。 此命题的线性映射形式为：设，如果任给中的向量，有，则。5证明：因为，所以。所以齐次线性方程组的任意个线性无关的解都构成的一组基，从而都是此线性方程组的基础解系。6证明：因为方程组与同解，从而。所以。7证明：（1）当时可逆，所以。所以可逆，所以。 当时不可逆，所以。令，则。因为，所以秩秩。又因为当时，所以秩。 当时的任意阶子式，所以。 （2）当时可逆，所以。所以，所以。 当时，不可逆，所以。8证明：若，则。令。由上题知，秩秩，所以的任意两列成比例，即中任意两行对应元素的代数余子式成比例。考虑的行向量，可知中任意两列对应元素的代数余子式成比例。9证明：因为,所以。所以的列向量都属于。所以，所以 。 设，则，所以，即是直和。所以，所以，所以。所以。10与上题类似，略。11按P198例1求解，略。（注意步骤）12解：（1）因为当时增广矩阵；当时，。若方程组有唯一解，则，则有且。然后按按P198例1求解，略。若方程组有无穷多解，则。当时，不可能同时为零，所以此时有或。所以只有当时方程组有无穷多解。然后按按P198例1求解，略。若方程组无解，则有，所以。所以只有当时方程组无解。（2）略。13证明：充分性：若，则对任意的，有，所以。所以方程组有唯一解。 必要性：若，则可通过初等行变换变为。所以可取使得通过同样的初等行变换变为，这时有，从而方程组无解。这与非齐次方程组对任意的有解矛盾。所以14证明：此线性方程组的增广矩阵 。 所以该方程组有解。然后按按P198例1求解，略。15证明：（1）因为线性方程组有解且，所以。所以。 （2）如果，则。又因为，所以，所以。所以此时线性方程组有解。补充题1 解：设。因为，所以。所以。因为，所以。因为，所以线性无关。所以是的一组基。所以是线性方程组的一个基础解系。2 证明：因为，所以。所以，即。因为可逆，所以与相抵。所以。因为，所以。所以，即的行向量组也是的一个基础解系。3 证明：如果，则有。所以也可逆且，从而有。所以。4 证明：要证，只需证。 假设存在，则有。不妨设使得。因为，所以。所以。所以，所以，这与是对角绝对优势矩阵矛盾。所以。5 证明：必要性：因为线性相关，所以存在一个向量可以由其他向量线性表示。不妨设可以被线性表示。因为欧氏空间的内积是线性的，所以Gram矩阵的第一列可以由其他列线性表示，即Gram矩阵的列向量线性相关。所以Gram矩阵的行列式等于零。充分性：（反证法）假设线性无关。则是子空间的一组基。因为Gram矩阵的行列式等于零，所以Gram矩阵的列向量组线性相关。所以存在不全为零的数使得，即。所以。因为是子空间的一组基，所以。因为线性无关，所以全为零。此为矛盾。所以线性相关。6 证明：（1）设是的任意一个解，即。因为有解，设。所以。所以的任意一个解都满足方程。（2）充分性：因为方程组无解，所以。所以，所以，即。所以方程组有解。必要性：如果方程组有解，则，即。所以。所以方程组无解。7 不要求。8 证明：因为，所以。所以一定有解。若，则，所以可逆。所以有唯一解（注意没有可逆）。此时，即是幂等的对称矩阵。不要求。 莇蚆蚄羀蒇莆袀袆蒆蒈蚂膄蒅薁袈膀蒄螃蚁肆蒃蒃羆羂蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒁螀螇肃薀葿羃罿膆薂螆袅膅蚄羁芃膅蒃袄腿膄薆聿肅膃蚈袂羁膂螀蚅芀膁蒀袀膆芀薂蚃肂艿蚅衿羈艿莄蚂羄芈薇羇芃芇虿螀腿芆螁羅肅芅蒁螈羀芄薃羄袆莃蚆螆膅莃莅羂肁莂蒇螅肇莁蚀肀羃莀螂袃节荿蒂蚆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀蒇莆袀袆蒆蒈蚂膄蒅薁袈膀蒄螃蚁肆蒃蒃羆羂蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒁螀螇肃薀葿羃罿膆薂螆袅膅蚄羁芃膅蒃袄腿膄薆聿肅膃蚈袂羁膂螀蚅芀膁蒀袀膆芀薂蚃肂艿蚅衿羈艿莄蚂羄芈薇羇芃芇虿螀腿芆螁羅肅芅蒁螈羀芄薃羄袆莃蚆螆膅莃莅羂肁莂蒇螅肇莁蚀肀羃莀螂袃节荿蒂蚆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀蒇莆袀袆蒆蒈蚂膄蒅薁袈膀蒄螃蚁