2016届云南省玉溪一中高三下第一次月考数学试卷理科解析版.doc

2015-2016学年云南省玉溪一中高三（下）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）（2007陕西）已知全集U=1，2，3，4，5，集合A=xZ|x3|2，则集合uA等于（）A1，2，3，4B2，3，4C1，5D5Z2（5分）（2016春习水县校级期中）欧拉公式eix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（5分）（2015秋丰城市校级期末）“k=1”是“直线l：y=kx+2k1在坐标轴上截距相等”的（）条件A充分必要B充分不必要C必要不充分D既不充分也不必要4（5分）（2014河北模拟）在等差数列an中，a9=a12+6，则数列an的前11项和S11=（）A24B48C66D1325（5分）（2016贵阳二模）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）ABCD6（5分）（2016春雅安校级月考）定积分cos（2x+）dx的值为（）A1B1C0D27（5分）（2015秋南安市校级期中）已知等于（）ABCD8（5分）（2013枣庄二模）已知函数，则函数y=f（x）的大致图象为（）ABCD9（5分）（2016春玉溪校级月考）已知点P（x，y）的坐标满足条件记的最大值为a，的最小值为b，则a+b=（）A4B5CD10（5分）（2014安庆三模）某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同的报考方法种数共有（）A144种B150种C196种D256种11（5分）（2016商丘二模）抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足AFB=120过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）AB1CD212（5分）（2016河南校级二模）已知函数g（x）=ax2（xe，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A1，+2B1，e22C+2，e22De22，+）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）（2015张家港市校级模拟）如图是一个算法流程图，则输出S的值是_14（5分）（2016春玉溪校级月考）已知的展开式中x3项的系数为_15（5分）（2016春玉溪校级月考）半径为1的球面上有四个点A，B，C，D，球心为点O，AB过点O，CA=CB，DA=DB，DC=1，则三棱锥ABCD的体积为_16（5分）（2014阜阳校级一模）设O点在ABC内部，且有，则ABC的面积与AOC的面积的比为_三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（12分）（2016新余三模）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2（bc）2=（2）bc，sinAsinB=cos2，（1）求角B的大小；（2）若等差数列an的公差不为零，且a1cos2B=1，且a2、a4、a8成等比数列，求的前n项和Sn18（12分）（2015陕西）某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路通畅状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：T（分钟）25303540频数（次）20304010（）求T的分布列与数学期望ET；（）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率19（12分）（2014保定一模）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB侧面BB1C1C，AB=BC=1，BB1=2，BCC1=（1）求证：C1B平面ABC；（2）设=（01），且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角的大小为30，试求的值20（12分）（2016南昌校级二模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，右焦点F（1，0）（）求椭圆C的方程；（）点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2+y2=b2相切于点M，且OPOQ，求点Q的纵坐标t的值21（12分）（2015汕头模拟）已知函数f（x）=（2a）lnx+2ax（a0）（）当a=0时，求f（x）的极值；（）当a0时，讨论f（x）的单调性；（）若对任意的a（3，2），x1，x21，3，恒有（m+ln3）a2ln3|f（x1）f（x2）|成立，求实数m的取值范围选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）（2016南昌校级二模）在极坐标系中，已知圆C的圆心，半径r=3（1）求圆C的极坐标方程；（2）若点Q在圆C上运动，P在OQ的延长线上，且|OQ|：|QP|=3：2，求动点P的轨迹方程选修4-5：不等式选讲23（2016南昌校级二模）已知函数f（x）=|2x1|，xR，（1）解不等式f（x）x+1；（2）若对于x，yR，有求证：f（x）12015-2016学年云南省玉溪一中高三（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）（2007陕西）已知全集U=1，2，3，4，5，集合A=xZ|x3|2，则集合uA等于（）A1，2，3，4B2，3，4C1，5D5Z【分析】由题意U=1，2，3，4，5，集合A=xZ|x3|2，解出集合A，然后根据交集的定义和运算法则进行计算【解答】解：U=1，2，3，4，5，集合A=xZ|x3|2，A=2，3，4，CuA=1，5，故选C【点评】此题主要考查一元二次不等式的解法及集合的交集及补集运算，一元二次不等式的解法及集合间的交、并、补运算是高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分2（5分）（2016春习水县校级期中）欧拉公式eix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】e2i=cos2+isin2，根据2，即可判断出【解答】解：e2i=cos2+isin2，2，cos2（1，0），sin2（0，1），e2i表示的复数在复平面中位于第二象限故选：B【点评】本题考查了复数的欧拉公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3（5分）（2015秋丰城市校级期末）“k=1”是“直线l：y=kx+2k1在坐标轴上截距相等”的（）条件A充分必要B充分不必要C必要不充分D既不充分也不必要【分析】根据直线截距的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：当k=1时，直线l：y=kx+2k1=x3，即，满足在坐标轴上截距相等，即充分性成立，当2k1=0，即k=时，直线方程为y=，在坐标轴上截距都为0，满足相等，但k=1不成立，即必要性不成立，故“k=1”是“直线l：y=kx+2k1在坐标轴上截距相等”的充分不必要条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线截距的定义是解决本题的关键4（5分）（2014河北模拟）在等差数列an中，a9=a12+6，则数列an的前11项和S11=（）A24B48C66D132【分析】根据数列an为等差数列，a9=，可求得a6，利用等差数列的性质即可求得数列an的前11项和S11【解答】解：列an为等差数列，设其公差为d，a9=，a1+8d=（a1+11d）+6，a1+5d=12，即a6=12数列an的前11项和S11=a1+a2+a11=（a1+a11）+（a2+a10）+（a5+a7）+a6=11a6=132故选D【点评】本题考查数列的求和，着重考查等差数列的通项公式，求得a6的值是关键，考查综合应用等差数列的性质解决问题的能力，属于中档题5（5分）（2016贵阳二模）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）ABCD【分析】根据三视图的特点，知道左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角都右上角的线，得到结果【解答】解：被截去的四棱锥的三条可见棱中，在两条为长方体的两条对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面（长方形）的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有D符合故选D【点评】本题考查空间图形的三视图，考查侧视图的做法，本题是一个基础题，考查的内容比较简单，可能出现的错误是对角线的方向可能出错6（5分）（2016春雅安校级月考）定积分cos（2x+）dx的值为（）A1B1C0D2【分析】根据cos（2x+）dx=sin（2x+），计算求得结果【解答】解：cos（2x+）dx=sin（2x+）=（sinsin）=0，故选：C【点评】本题主要考查定积分的运算，属于基础题7（5分）（2015秋南安市校级期中）已知等于（）ABCD【分析】利用平方关系化弦为切，代入tan=2求值【解答】解：tan=2，=故选：A【点评】本题考查同角三角函数基本关系式的应用，关键是化弦为切，是基础题8（5分）（2013枣庄二模）已知函数，则函数y=f（x）的大致图象为（）ABCD【分析】写出分段函数，分段求导后利用导函数的符号或导函数的零点判断函数f（x）的图象的形状【解答】解：=，当x0时，=令g（x）=2x31+ln（x），由，得，当x（，）时，g（x）0，当x（，0）时，g（x）0所以g（x）有极大值为=又x20，所以f（x）的极大值小于0所以函数f（x）在（，0）上为减函数当x0时，=令h（x）=2x31+lnx，所以h（x）在（0，+）上为增函数，而h（1）=10，h（）=又x20，所以函数f（x）在（0，+）上有一个零点，则原函数有一个极值点综上函数f（x）的图象为B中的形状故选B【点评】本题考查了对数函数的图象和性质，考查了利用导函数的符号判断原函数的单调性，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题9（5分）（2016春玉溪校级月考）已知点P（x，y）的坐标满足条件记的最大值为a，的最小值为b，则a+b=（）A4B5CD【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用斜率和距离的几何意义进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则A（0，2），C（1，0），设k=，z=，则k的几何意义为区域内的点到定点D（2，0）的斜率，z的几何意义是区域内的点到点E（0，）的距离的平方，由图象知AD的斜率最大，CE的距离最小，则a=k=1，b=z=1+3=4，则a+b=1+4=5，故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据直线斜率和两点间的距离公式，结合数形结合是解决本题的关键10（5分）（2014安庆三模）某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同的报考方法种数共有（）A144种B150种C196种D256种【分析】由题设条件知，可以把学生分成两类：311，221，所以共有种报考方法【解答】解，把学生分成两类：311，221，根据分组公式共有=150种报考方法，故选B【点评】本题考查分类加法计数原理，解题时要认真审题，注意平均分组和不平均分组的合理运用11（5分）（2016商丘二模）抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足AFB=120过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）AB1CD2【分析】设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b由余弦定理得，|AB|2=a2+b22abcos120=a2+b2+ab配方得，|AB|2=（a+b）2ab，又ab（） 2，（a+b）2ab（a+b）2（a+b）2=（a+b）2得到|AB|（a+b）所以=，即的最大值为故选：A【点评】本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题12（5分）（2016河南校级二模）已知函数g（x）=ax2（xe，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A1，+2B1，e22C+2，e22De22，+）【分析】由已知，得到方程ax2=2lnxa=2lnxx2在上有解，构造函数f（x）=2lnxx2，求出它的值域，得到a的范围即可【解答】解：由已知，得到方程ax2=2lnxa=2lnxx2在上有解设f（x）=2lnxx2，求导得：f（x）=2x=，xe，f（x）=0在x=1有唯一的极值点，f（）=2，f（e）=2e2，f（x）极大值=f（1）=1，且知f（e）f（），故方程a=2lnxx2在上有解等价于2e2a1从而a的取值范围为1，e22故选B【点评】本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知转化为方程ax2=2lnxa=2lnxx2在上有解二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）（2015张家港市校级模拟）如图是一个算法流程图，则输出S的值是35【分析】执行算法流程，写出每次循环得到的S，k的值，当k=7时满足条件k5，输出S的值35【解答】解：执行算法流程，有S=0，k=1不满足条件k5，S=1，k=3，不满足条件k5，S=10，k=5，不满足条件k5，S=35，k=7，满足条件k5，输出S的值35故答案为：35【点评】本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题14（5分）（2016春玉溪校级月考）已知的展开式中x3项的系数为5【分析】把（1+x）5 按照二项式定理展开，可得（1）（1+x）5展开式中含x3项的系数【解答】解：=（1）（+x+x2+x3+x4+x5），所以展开式中含x3的项的系数为：=105=5故答案为：5【点评】本题主要考查了二项式定理的应用问题，解题时应利用二项展开式的通项公式，是基础题目15（5分）（2016春玉溪校级月考）半径为1的球面上有四个点A，B，C，D，球心为点O，AB过点O，CA=CB，DA=DB，DC=1，则三棱锥ABCD的体积为【分析】连结OC，OD，则可证AB平面OCD，且OCD为等边三角形，故而VABCD=2VAOCD，代入体积公式计算即可【解答】解：CA=CB，DA=DB，O为AB的中点，ABOC，ABOD，AB平面OCD，又OC=OD=CD=1，SOCD=，VABCD=2VAOCD=2SOCDOA=故答案为：【点评】本题考查了球与内接几何体的关系，属于中档题16（5分）（2014阜阳校级一模）设O点在ABC内部，且有，则ABC的面积与AOC的面积的比为3【分析】根据，变形得，利用向量加法的平行四边形法则可得2 =4 ，从而确定点O的位置，进而求得ABC 的面积与AOC 的面积的比【解答】解：分别取AC、BC的中点D、E，即2 =4 ，O是DE的一个三等分点，=3，故答案为：3【点评】此题是个基础题考查向量在几何中的应用，以及向量加法的平行四边形法则和向量共线定理等基础知识，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（12分）（2016新余三模）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2（bc）2=（2）bc，sinAsinB=cos2，（1）求角B的大小；（2）若等差数列an的公差不为零，且a1cos2B=1，且a2、a4、a8成等比数列，求的前n项和Sn【分析】（1）由a2（bc）2=（2）bc，化简后利用余弦定理可求cosA，又0A，解得A，由sinAsinB=cos2，可得sinB=1+cosC，又C为钝角，解得cos（C+）=1，从而可求C，进而求得B的值（2）设an的公差为d，由已知得a1=2，且（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d）解得d=2an=2n由=即可用裂项法求和【解答】解：（1）由a2（bc）2=（2）bc，可得：a，所以cosA=，又0A，A=，由sinAsinB=cos2，可得sinB=，sinB=1+cosC，cosC0，则C为钝角B+C=，则sin（C）=1+cosC，cos（C+）=1，解得C=，B=（6分）（2）设an的公差为d，由已知得a1=，且a24=a2a8（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d）又d0，d=2an=2n（9分）=Sn=（1）+（）+（）=1=（12分）【点评】本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了等差数列，等比数列的性质和裂项法求和的方法，属于中档题18（12分）（2015陕西）某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路通畅状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：T（分钟）25303540频数（次）20304010（）求T的分布列与数学期望ET；（）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率【分析】（）求T的分布列即求出相应时间的频率，频率=频数样本容量，数学期望ET=250.2+300.3+350.4+400.1=32（分钟）；（）设T1，T2分别表示往、返所需时间，事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”，先求出P（）=P（T1=35，T2=40）+P（T1=40，T2=35）+P（T1=40，T2=40）=0.09，即P（A）=1P（）=0.91【解答】解（）由统计结果可得T的频率分布为T（分钟）25303540频率0.20.30.40.1以频率估计概率得T的分布列为T25303540P0.20.30.40.1从而数学期望ET=250.2+300.3+350.4+400.1=32（分钟）（）设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与T的分布列相同，设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”P（）=P（T1+T270）=P（T1=35，T2=40）+P（T1=40，T2=35）+P（T1=40，T2=40）=0.40.1+0.10.4+0.10.1=0.09故P（A）=1P（）=0.91故答案为：（）分布列如上表，数学期望ET=32（分钟）（）0.91【点评】本题考查了频率=频数样本容量，数学期望，对学生的理解事情的能力有一定的要求，属于中档题19（12分）（2014保定一模）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB侧面BB1C1C，AB=BC=1，BB1=2，BCC1=（1）求证：C1B平面ABC；（2）设=（01），且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角的大小为30，试求的值【分析】（1）由已知条件推导出ABBC1，BCBC1，由此能证明C1B平面ABC（2）以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系利用向量法能求出的值【解答】（1）证明：AB侧面BB1C1C，BC1侧面BB1C1C，ABBC1，在BCC1中，BC=1，CC1=BB1=2，BCC1=，由余弦定理得：B=BC2+C2BCCC1cosBCC1=12+22212cos=3，BC1=，3 分BC2+B=C，BCBC1，BCAB=B，C1B平面ABC（5分）（2）解：由（1）知，BC，BA，BC1两两垂直，以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系则，（7分），则设平面AB1E的法向量为，则，令，则，（10分）AB侧面BB1C1C，=（0，1，0）是平面BEB1的一个法向量，|cos|=|=，两边平方并化简得225+3=0，=1或（舍去）（12分）的值是1【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查满足条件的实数值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用20（12分）（2016南昌校级二模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，右焦点F（1，0）（）求椭圆C的方程；（）点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2+y2=b2相切于点M，且OPOQ，求点Q的纵坐标t的值【分析】（）运用椭圆的离心率公式和焦点坐标，可得c=1，a=2，求得B，进而得到椭圆方程；（）讨论当PM垂直于x轴时，求得P，Q的坐标，运用数量积为0，可得t；当PM不垂直于x轴时，设P（x0，y0），PQ：yy0=k（xx0），运用直线和圆相切的条件：d=r，结合向量垂直的条件：数量积为0，化简整理，即可得到所求值【解答】解：（）由题意可得e=，c=1，解得a=2，b=，可得椭圆方程为+=1；（）当PM垂直于x轴时，可得P（，），Q（，t），由OPOQ，即有=3+t=0，解得t=2；当PM不垂直于x轴时，设P（x0，y0），PQ：yy0=k（xx0），即为kxykx0+y0=0，由PQ于圆O：x2+y2=3相切，可得=，平方可得（kx0y0）2=3（1+k2），即2kx0y0=k2x02+y023k23，又Q（，t），由OPOQ，即有=x0+ty0=0，解得t=，则t2=12，解得t=综上可得，t=【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式，考查直线和圆相切的条件：d=r，以及向量数量积的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题21（12分）（2015汕头模拟）已知函数f（x）=（2a）lnx+2ax（a0）（）当a=0时，求f（x）的极值；（）当a0时，讨论f（x）的单调性；（）若对任意的a（3，2），x1，x21，3，恒有（m+ln3）a2ln3|f（x1）f（x2）|成立，求实数m的取值范围【分析】（）当a=0时，f（x）=2lnx+，求导，令f（x）=0，解方程，分析导数的变化情况，确定函数的极值；（）当a0时，求导，对导数因式分解，比较两根的大小，确定函数f（x）单调区间；（）若对任意a（3，2）及x1，x21，3，恒有（m+ln3）a2ln3|f（x1）f（x2）|成立，求函数f（x）的最大值和最小值，解不等式，可求实数m的取值范围【解答】解：（）依题意知f（x）的定义域为（0，+），当a=0时，f（x）=2lnx+，f（x）=，令f（x）=0，解得x=，当0x时，f（x）0；当x时，f（x）0又f（）=2ln=22ln2f（x）的极小值为22ln2，无极大值（）f（x）=+2a=，当a2时，令f（x）0 得 0x或x，令f（x）0 得x；当2a0时，得，令f（x）0 得 0x或x，令f（x）0 得x；当a=2时，f（x）=0，综上所述，当a2时f（x），的递减区间为（0，）和（，+），递增区间为（，）；当a=