高中数学竞赛指导(第三讲).docx

第三讲 导数与函数性质、最值赛点直击1. 导数(1) f(x)lim(x0)lim(h0)lim(xx0)(2) 反函数的导数，设yf(x)在区间I上可导且导数不为0，则其反函数xg(y)在y的取值域上可导，且有： g(y), 即: (3) 复合函数的导数，设ug(x)在区间I上可导，yf(u)在对应值域A上可导，则在区间I上有：fg(x)f(u)g(x)(4) 导数的几何意义.函数f(x)在点x0的导数f(x0)是曲线在点(x0,f(x0)处切线的斜率，所以曲线yf(x)在点P(x0,y0)处的切线方程是: yy0f(x0)(xx0).求导数，可以利用导数定义、导数的四则运算、反函数导数与复合函数导数而求得.2. 导数与函数性质(1)若函数yf(x)在区间I上可导，则yf(x)在区间I上连续.(2)若函数f(x)在(a, b)内可导，则f(x)在(a, b)严格递增（递减）的充要条件是：对一切x(a, b)，有f(x)0（或f(x)0）在(a, b)内的任何子区间上f(x)0.3. 拉格朗日中值定理如果函数f(x), 在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，则在开区间(a,b)内至少存在一点，使得f().利用导数的定义、四则运算及求导法则，可以求函数的导数.利用函数的导数可以研究函数的性质与图像（单调性、连续性、凹凸性等）4. 有关定义(1)设f(x)在x0的邻域I有定义，xI若f(x0)f(x)，则称x0是的极小值点，f(x0)是f(x)在I上的极小值若f(x0)f(x)，则称x0是的极大值点，f(x0)是f(x)在I上的极大值(2)设f(x)在x0处可导且f(x0)0，则称x0是f(x)在I上的驻点5.极值 定理一（极值的必要条件）若函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，则f(x0)0. 定理二（极值的第一充分条件）设f(x)在x0处连续，在x0邻域(x0,x0)内可导. 若当x(x0,x0)时，f(x)0,当x(x0,x0)时，f(x)0,则f(x)在x0处取得极小值 若当x(x0,x0)时，f(x)0,当x(x0,x0)时，f(x)0,则f(x)在x0处取得极大值 定理三（极值的第二充分条件）设f(x)在x0的某邻域(x0,x0)内一阶可导，在xx0处二阶可导，且f(x0)0, f”(x0)0. 若f”(x0)0，则f(x)在x0处取得极小值. 若f”(x0)0，则f(x)在x0处取得极大值.6. 最大值与最小值若函数f(x)在闭区间a,b上连续，则f(x)在a,b有最大值与最小值.这给出了函数在闭区间上存在最大（小）值的充分条件.利用导数、函数的极值定理可以讨论函数的极值赛题解析【例一】 设a0，求函数f(x)(xa)(x(0,+ )的单调区间. 解：f(x)(x0).当a0,x0时, f(x)0x(2a4)xa0, f(x)0x(2a4)xa0, 当a1时，对所有x0，有x(2a4)xa0,即f(x)0，此时f(x)在(0,+)内单调递增. 当a1时，对x1，有x(2a4)xa0,即f(x)0，此时f(x)在(0,1)内单调递增，在(1,+)内单调递增又知函数f(x)在x1处连续，因此，函数f(x)在(0,+)内单调递增 当0a1时，令f(x)0，即x(2a4)xa0解得x2a2或x2a2因此，函数f(x)在区间(0, 2a2)内单调递增，在区间(2a2,+)内也单调递增.令f(x)0，即x(2a4)xa0，解得 2a2x2a2因此，函数f(x)在区间(2a2,2a2)内单调递减【例二】 某商店从生产厂家以每件20元购进一批商品.若该商品零售价定位p元，则销售量Q（单位：件）与零售价p（单位：元）有如下关系： Q8300170pp .问该商品零售价定为多少时毛利润L最大，并求出毛利润.(毛利润销售收入进货支出) 解：设毛利润为L(p)，由题意知: L(p)pQ20QQ(p20) (8300170pp)(p20) p150p11700p166000, 所以，L(p)3p300p11700 L(p)0,得：p30或p130(舍去) 此时，L(30)23000. 因为在p30附近的左侧L(p)0，右侧L(p) 0，所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23000元.【例三】 已知函数f(x)axbx3x在x1处取得极值.(1)讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值；(2)过点A(0,16)作曲线yf(x)的切线，求此切线方程.解：(1) f(x)3ax2bx3,依题意，f(1)f(1)0,即： 3a2b30， 3a2b30.解得：a1, b0. f(x)x3x, f(x)3x33(x1)(x1).令f(x)0 ，得：x1,x1若x(,1)(1,+) ,则f(x)0，故f(x)在(,1)上是增函数，f(x)在(1,+)上是增函数.若x(1,1)，则f(x)0，故f(x)在(1,1)上是减函数.所以，f(1)2是极大值；f(1)2是极小值.（2）曲线方程为yx3x，点A(0,16)不在曲线上设切点为M(x0,y0)，则点M的坐标满足y0x3x0因f(x0)3(x1)，故切线的方程为 yy03(x1)(xx0)注意到点A(0,16)在切线上，有 16(x3x0)3(x1)(0x0)化简得x8，解得x02.所以，切点为M(2,2)，切线方程为9xy160.【例四】对于给定的两个x1,x2，以及由 f(x)ax4bxc (a,b,cR, a0)给出的函数f:RR，已知f(0)f(x1)1,f(x2)0，求系数a,b,c解：由题意得： f(0)c1, f(x1)axbxc1, f(x2)4ax2bx20解之得： c1, b2ax ax(x2x)0由于数x1与a都不为0，所以x1x2 .若x1x2，则函数: f(x)ax42axx21满足题中条件.若x1x2，则满足题中的条件的函数不存在.综上所述，如果x1x2，那么三组数(a,b,c)(a, 2ax,1)，其中a是非零的任意数.如果x1x2，那么(a,b,c)不存在.【例五】设连续函数f:0,10,1在区间(0,1)中可导，且f(0)0,f(1)1，证明：存在a,b(0,1)，ab ,使得: f(a)f(b)1 【分析】题中的函数满足拉格朗日中值定理的条件，考虑作辅助函数g(x)f(x)x1后应用中值定理. 证明：设函数: g(x)f(x)x1 .因为f(x)在0,1上连续，所以g(x)也连续，且g(0)1,g(1)1，从而存在c(0,1)，使得f(c)1c，即，在区间0,c与c,1上，根据拉格朗日中值定理，存在a(0,c)与b(c,1)，使得: f(a), f(b),即： f(a)f(b)1 .【例六】设0ba，求证：. 【分析】考虑函数f(x)与g(x)的单调性，利用函数单调性证明. 证明：设f(x)，则 f(x)0, x(0,)得f(x)在(0,)是减函数.由 0ba得 ,即 ,又设 g(x) , 则 g(x)0 , x(0,),得g(x)在(0,)上严格单调递增.由 0ba ,得 ,即 ,故 .【例七】已知当时，不等式 xcosx(x1)(1x)sin0恒成立，试求的取值范围. 【分析】由f(x)xcosx(1x)(1x)sin在0,1上是连续函数，必有最小值，所以只要求出使最小值大于0时的. 解：设f(x)xcosx(1x)(1x)sin，则 f(x)2x(cossin1)(12sin).当f(x)0时， x.所以的最小值只能在0,1或处取得，则有: f(0)0, f(1)0, f()0 .即： sin0, cos0，sin2,解得：2k2k(k).【例八】求点(0,1)到曲线yxx的最短距离. 【分析】建立点(0,1)到曲线yxx的距离d与横坐标x的目标函数，然后求其最值. 解：设点(0,1)到曲线yxx上任意一点(x,y)的距离为d，则: d.要d最小，只要d最小，所以目标函数为 f(x)dx(xx1), xR .由 f(x)2x2(xx1)(2x1) 2(x1)(2x1),得f(x)0时，有x1和x.又f”(x)12(xx), f”()90,则当x1时, f(x)0；当x1时，f(x)0,故x1不是f(x)的极值点，从而只有x是f(x)的极小值点. 又lim f(x)+ (x)，因此,dmin().【例九】求0abcd时， f(a,b,c,d) 的最小值. 【分析】从特殊情况入手，当abcd1时，f(a,b,c,d)1,再应用导数证明f(a,b,c,d)1. 解：当abcd1时，f(a,b,c,d)1 下面证明： f(a,b,c,d)1令bax,cay,daz，由0abcd，得1xyz.这时所证的关系式化为:aax(ax)ay(ay)az(az)a(ax)a(ay)ax(az)ayaaz .式等价于: xyyzzxyxzy .又令yxs, zxt，由xyz，得1st，又x1，则ys, 代入得: xxsyxtxtxyz(xt)xs .上式两边约去xxsyxtxt之后，不等式化为: yt1t . 当y1，则x1,s, yt11tt11，不等式成立.当t1，则由yt1y0111，得不等式成立当y1,t1，则在不等式两端都取次幂，得等价不等式: yt (1st, sy) 为证明式，下面分两种情况： （1） yt, 则1时，函数f1()是增函数这是因为 f1(),所以 ()得f ()10（其中10，参看“导数与函数性质”）因此， yf(y)f(t)tt（2） 设yt，则当1时，函数f2()是递减函数.事实上，由f()10，得yf2(y)yf2(t)ytt综上所述，不等式成立，故f(a,b,c,d)1成立，从而得所求原函数的最小值为1.巩固练习1. 求下列函数的导数： (1) f(x)xx ;(2) f(x) .2. 求下列方程所表示的曲线在x1处的切线方程： xysin(x1)y 3.3. 求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：(1)yx55x45x31, x1,2;(2)y2tanxtanx , x0,);(3)yx , x(0,+).4. 设f(x)axbxx在x11和x22处都取得极值，试求a与b的值，并指出这时f(x)在x1与x2处是取得极大值还是极小值.5. 设f(x)nx(1x)n，其中n为正整数，试求：(1)f(x)在0x1上的最大值M；(2)limM (n)6. 证明下列不等式：(1)x(1x)x