第1章习题解答部分.pdf

晶体结构题解 1 第一章 晶 体 结 构 1. ( 黄 1.7； ) 写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中，最近邻和次近邻的原子 数若立方边长为 a，写出最近邻和次近邻的原子间距. 解： 晶胞体积晶胞含原子原胞体积最近原子数次近原子数 最近距离 次近距离 sc a3 1 a3 6 12 a a2 bcc a3 2 a3/2 8 6 2/3a a fcc a3 4 a3/4 12 6 2/2a a 2. 补充题补充题：对由两种原子构成的配位数是 4 的复式格子，求小原子半径r与大原子 半径R之比的下限 解：配位数为 4， A 为正四面体结构 如图，四个大球的球心 为正四面体的四个顶点 A、B、 p C、D；小球球心为正四面体的 o 中心0 ；它们都相切 D RABAP= 2 1 E rRAO+= B C R r AP AO +=1 225. 01 30sec4 2 30sec4 2 )30cos/(4 2 )()( 2 2 22222 = = = = R r RR R BEAB R AE AB AP AO Q 即配位数为 4， 225. 041. 0 R r 或利用正方体利用正方体, 晶体结构题解 2 225. 015 . 1 2 2 2 2 2 3 = = R r 3. ( 黄1.8； )画出体心立方和面心立方晶格结构的金属在 (100) , (110) , (111) 面上的 原子排列. 提示：本题为轴矢系统中的Miller指数，画出平面点阵的平行四边形晶 胞 解：设体心立方和面心立方晶胞的晶胞常数为a，则所求晶面平面点阵的二维晶 胞如下： ( 1 0 0 ) ( 1 1 0 ) ( 1 1 1 ) bcc a 2 a 60 o a 2 a 2 a fcc a a a 2 a 2/a 引申讲解 一.问题： 1.只在立体图上标出晶面（可能对，但不好） 2.只给出平面点阵，无连线、尺度及角度标注（可能对，但不好） 二.原则：尽量理解别人的意思；尽量给别人表示清楚：简明、准确、无歧义 三.本题：设a；分别画二维晶胞；标明尺度；非90o之角最好表示 4. ( 黄1.9； )指出立方晶格（111）面与（100）面，（111）面与（110）面交线的 晶向. 晶体结构题解 3 提示：最好画图说明 解：如右图所示， （111）面即为EBG面；（100）面 为ABCD面或EFGH面；（110）面 即ABGH面； （111）面与（100）面的交线，可 为EG线，晶向指数为1 , 1 , 0； （111）面与（110）面的交线，可 为BG线，晶向指数为0 , 1 , 1； 5. (黄1.3； 方3 )试证面心立方的倒格子是体心立方； 体心立方的倒格子是面心立方 证明：(1) fcc 的基矢 )( 2 ,)( 2 ,)( 2 321 ji a aki a akj a a rr r rr r rr r +=+=+= 原胞体积 3 4 1 a= 相应倒格子基矢 )( 2)(2 32 1 kji a aa b rrr rr r + = = )( 2 2 kji a b rrrr + = )( 2 3 kji a b rrrr + = 所以面心立方的倒格子是体心立方格子 (2) bcc 的基矢 )( 2 ,)( 2 ,)( 2 321 kji a akji a akji a a rrr r rrr r rrr r +=+=+= 原胞体积 3 2 1 a= 相应倒格子基矢 )( 2)(2 32 1 kj a aa b rr rr r + = = )( 2 2 ki a b rrr + = )( 2 3 ji a b rrr + = 所以体心立方的倒格子是面心立方格子 6. ( 黄1.4； ) 证明：倒格子原胞的体积为 c v/)2( 3 ，其中 c v为正格子原胞的体积 Z E H A D F G Y B C X 晶体结构题解 4 证：倒格子原胞的体积记为 c v，由公式CBABCACBA rrrrrrrrr )()()(= cc c c v aaaaaaaaaa v aaaaaa v bbbv 3 2113121332 3 3 211332 3 3 321 )2( )()()( 8 )()()( 8 )(* = = = rrrrrrrrrr rrrrrr rrr 解法二 用到一个公式：)()(CBACBA rrrrrr = ， 则有推论： )()( )()()()()( cbdadbca dcbcdbadcbadcba r rr r rr rr r r r r rr r r r r r r r r r = = 本题： 3 23323322 323211321321 )2()()(2 )()()()(* = = babababa bbaababbbaaavv cc r r r r r r r r rr rr r r rrr rrr 本题易犯的错误及纠正： 1. a r 1 无定义！= aba b r v r r 1 2. 2 a a ba b r r v r r ，如ji ba b ia jib rr r r r r r rrr += = += , 而 i a a r r r = 2 3. )()( 32 2 11321 aaaaaaa rrrrrrr 7.补充题补充题：有一简单格子，基矢选成)(5 . 133 321 kjiajaia rrr r r r r r +=、其中 kji rrr 、为笛卡尔坐标系中的单位矢量证明这种晶格是哪种 Bravais 格子？并计算 其晶胞体积 解：可选轴矢kaaacjabiaa r rrrr s v rr rr 32,3,3 21321 =；构成立方体；又 由 3 a r 可知在体心有格点；且题中所给原胞的体积5 .13)( 321 =aaa rrr ；新选晶胞的体 积27)(=cba r r r ，故这种晶格必是 bcc 格子 晶胞体积3327 晶体结构题解 5 8.补充题补充题：六角晶系的基矢： kccj a i abj a i aa r r rrrrr r =+=+=, 22 3 , 22 3 求其倒格子基矢. 解：六角晶系的平行六面体晶胞即原胞，正格子原胞体积： )3()3( 4 ) 22 3 () 22 3 ()( 2 ijji ca kcj a i a j a i a cba rrvrrrrrr r r r +=+= ca2 2 3 = 倒格子基矢： ) 3 3 ( 2 ) 22 3 ( 3 4 )( 2 * 2 ji a kcj a i a ca cba vr rrr r r r + =+ = = ) 3 3 ( 2 ) 22 3 ( 3 4 )( 2 * 2 ji a j a i a kc ca acb vrrr r rr r + =+ = = )33( 3 ) 22 3 () 22 3 ( 3 4 )( 2 * 2 kk c j a i a j a i a ca bac rrrrrrr rr + =+ = = k c r = 2 仍为六角晶胞格子. 9.补充题补充题 求晶格常数为 a 的面心立方和体心立方晶体晶面族)( 321 hhh的面间距 解：(1) fcc 的倒格子基矢： )( 2 1 kji a b rrrr + = )( 2 2 kji a b rrrr + = )( 2 3 kji a b rrrr + = 则)()()( 2 321231132332211 khhhjhhhihhh a bhbhbhKh rrrrrrr + =+= )(2)( 3 2 )()()( 2 323121 2 3 2 2 2 1 2 321 2 231 2 132 hhhhhhhhh a hhhhhhhhh a Kh + = + = r )(2)( 3 2 323121 2 3 2 2 2 1 hhhhhhhhh a K d h h + = = r (2) bcc的倒格子基矢： 晶体结构题解 6 )( 2 1 kj a b rrr + = )( 2 2 ki a b rrr + = )( 2 3 ji a b rrr + = 则)()()( 2 213132332211 khhjhhihh a bhbhbhKh rrrrrrr + =+= 323121 2 3 2 2 2 1 2 21 2 31 2 32 8 )()()( 2 hhhhhhhhh a hhhhhh a Kh+ =+ = r )(2 2 323121 2 3 2 2 2 1 hhhhhhhhh a K d h h + = = r 10.补充题补充题 试找出体心立方和面心立方结构中，格点最密的面和最密的线 解：(1)bcc )(2 2 323121 2 3 2 2 2 1 hhhhhhhhh a K d h h + = = r 格点最密的面为1,0,0及1,-1,0，而最密的线为1,0,0 (2)fcc )(2)( 3 2 323121 2 3 2 2 2 1 hhhhhhhhh a K d h h + = = r 格点最密的面为1,0,0及1,1,1，而最密的线为1,0,0 11.补充题补充题 对于面心立方晶体，已知晶面族的密勒指数为(hkl)，求对应的原胞坐标系 中的面指数( 321 hhh)，若已知( 321 hhh)，求对应的(hkl). 解： k a cj a bi a akacj abi aa r r rrr r r r rrr r = = = 2 *, 2 *, 2 *;, 基矢和倒格子基矢： )( 2 ,)( 2 ,)( 2 321 ji a aki a akj a a rr r rr r rr r +=+=+= ； )( 2)(2 32 1 kji a aa b rrr rr r + = = )( 2 2 kji a b rrrr + = )( 2 3 kji a b rrrr + = 2 *k lj ki h a c lbkahKhkl rrr r r r r + =+= )()()( 2 321231132332211 khhhjhhhihhh a bhbhbhKh rrrrrrr + =+= )(hklQ和)( 321 hhh表示同一晶面族， hkl K r h K r 设 hhkl K p K rr 2 =，可解得 晶体结构题解 7 )(),(),( 1 )( 321 khlhlk p hhh+ = (1) 因 (hkl)皆为整数，( 321 hhh)为互质整数，故 p 为整数. 再设 hklh KpK rr =，则 )(),(),( 1 )( 321231132 hhhhhhhhh p hkl+= (2) 理由同上，p为整数. 由两次所设知2, 2 = =ppK pp K hklhkl rr (1)式和(2)式并保证 (hkl)及( 321 hhh)都是互质整数，取 = = 2 1 p p 或 = = 1 2 p p 即为所求 12.补充题补充题 ( 方8 )如X射线沿简立方瑷胞的OZ轴负方向入射，求证：当 a l kl = + 2 22 和 22 22 cos kl kl + = 时，一级衍射线在YZ平面内，其中是衍射光与OZ轴的夹角 证明： Z Y X a (h,k,l) 对简立方 d a hkl hk l = + 222 (1) 设X射线由OZ轴的负方向入射，根据布拉格反射条件 2dn hk lsin = (2)