山东省沂水一中12月份学情调查考试数学理试题.pdf

沂水一中 12 月份学情调查考试数学（理）试题 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷两部分。共 150 分，考试时间 120 分钟。 第第 I 卷（选择题卷（选择题共共 50 分）分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集0,1,2,3,4,5,6U ，集合2,4,5A ，1,3,4,6B ，则() u C AB为（） A.0,1,3,6B.0,2,4,6C.0,1,6D.1,3,6 2给出如下四个命题： 若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题； 命题“若ab，则221 ab ”的否命题为“若ab，则221 ab ” ； “ 2 ,11xx R”的否定是“ 2 ,11xx R” ； 在ABC中，“AB” 是 “sinsinAB” 的充要条件.其中不正确 的命题的个数是 （） A4B3C2D1 3. 下列四个几何体中，各几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是（） A.B.C.D. 4. 已知向量(1,2),mx (3,21),ny 若mn ，则 1 8() 16 xy 的最小值为（） A2B4C2 2D4 2 5. 已知双曲线 2 2 2 1 x y a (0)a 的一个焦点与抛物线 2 1 8 xy的焦点重合，则此双曲线的离 心率为（） A 3 3 2 B3C 2 3 3 D 4 3 3 6. 已知变量, x y满足约束条件28 23 yx xy xy ，则目标函数62zxy的最小值为（） A32B4C8D2 7. 已知数列, nn ab满足 11 3ab， 1 1 3 n nn n b aa b ，nN，若数列 n c满足 n na cb， 则 2013 c（） A. 2012 9B 2012 27C 2013 9D. 2013 27 8. 已知ABC的外接圆半径为 1，圆心为 O，且3450OAOBOC ，则OC AB 的值为 A 1 5 B 1 5 C 6 5 D 6 5 9. 在ABC 中， 内角 A， B， C 的对边分别是a，b，c， 若 22 245bcbc且 222 abcbc， 则ABC 的面积为（） A.3B. 3 2 C. 2 2 D.2 10.定 义 域 为R的 函 数 f x满 足 22f xf x， 当0,2x时 ， 2 3 2 ,0,1 , 1 ,1,2 , 2 x xx x f x x 则当4, 2x 时，函数 2 1 42 t f xt 恒成立，则实数t的取 值范围为（） A.23t B.13t C.14t D.24t 第第 II 卷（非选择题卷（非选择题共共 90 分）分） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 20 分 11、已知向量 a4,3 ,1,2 b，若向量kab与ab垂直，则k的值为_ 12.在平面直角坐标系xoy中，圆 C 的方程为 22 8150xyx，若直线2ykx上至少存 在一点，使得以该点为圆心，半径为 1 的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最小值是_ 13. 若函数 2 2 ( ) 1 x f x x 在点(2,(2)f处的切线为l， 则直线l与y轴的交点坐标为_. 14. 已 知 1 0 (2 ) x aex dx （e为 自 然 对 数 的 底 数 ） ， 函 数 ln,0 ( ) 2,0 x x x f x x ， 则 2 1 ( )(log) 6 f af_. 15. 对于函数lg|3|yx和sin 2 x y ( 410)x ，下列说法正确的是. （1）函数lg|3|yx的图像关于直线3x 对称； （2）sin 2 x y ( 410)x 的图像关于直线3x 对称； （3）两函数的图像一共有 10 个交点； （4）两函数图像的所有交点的横坐标之和等于 30； （5）两函数图像的所有交点的横坐标之和等于 24. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16.（本小题满分 12 分） 已知函数 2 1 ( )sin cos sincoscoscos()(0) 2 f xxxx，其图象过点 1 (, ). 3 4 （1）求的值； （2）将函数)(xfy 图象上各点向左平移 6 个单位长度，得到函数)(xgy 的图象，求函 数)(xg在 2 , 43 上的单调递增区间. 17 (本小题满分 12 分) 已知函数( ) |21|23| 3f xxxa （）当a0 时，写出不等式f（x）2 的解集； （）若不等式f（x） 2 a对一切实数x恒成立时，求实数a的取值范围。 18. （本小题满分 12 分）在等差数列 n a中， 3458 42,30aaaa. （1）求数列 n a的通项公式； （2）若数列 n b满足 2 ( 3) n a n b （R） ，则是否存在这样的实数使得 n b为等比 数列； （3）数列 n c满足 1 1 2, 1 , 2 n nn n n cT an 为奇数 ， 为偶数 为数列 n c的前 n 项和，求 2n T. 19. （本小题满分 12 分）如图 1， 在直角梯形ABCD中，90ADC，/ /CDAB， 4,2ABADCD，M为线段AB的中点. 将ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC， 得到几何体DABC，如图 2 所示. （1）求证:BC 平面ACD； （2）求二面角ACDM的余弦值. 20 （本小题满分 13 分） 已知中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 1 2 ，其中一个顶点是抛物线 x2=4 3y的焦点 （I）求椭圆 C 的标准方程； （） 是否存在过点 P （2， 1） 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A， B 满足PA 5 4 PB ， 若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明埋由 21.（本小题满分 14 分） 已知函数( )ln(1) 2 ex f xfx， 32 ( )( ) 2 xa g xf x x （其中aR） . （1）求( )f x的单调区间； （2）若函数( )g x在区间2,)上为增函数，求a的取值范围； （3）设函数 2 ( )4h xxmx，当1a 时，若存在 1 (0,1x ，对任意的 2 1,2x ，总有 12 ()()g xh x成立，求实数m的取值范围. 5 参考答案参考答案 一DCCCCBDA BB 11. 23 3 12. 4 3 13. 32 (0,) 25 ；14. 7；15.（2） （3） （4） ； 16. 解： （1） 11 cos21 ( )sin2 sincoscos 222 x f xx 11 sin2 sincos2 cos 22 xx 1 (sin2 sincos2 cos ) 2 xx 1 cos(2). 2 x3 分 又函数图象过点 1 (, ). 3 4 ，所以 11 cos(2) 423 ，即 21 cos(), 32 又0，所以. 3 6 分 （2）由（1）知 1 ( )cos(2) 23 f xx ，将函数( )yf x图象上各点向左平移 6 个单位长度 后，得到函数( )yg x的图象，可知 1 ( )cos2 2 g xx.9 分 因为 2 , 43 x ，所以 4 2, 23 x ，由20 2 x 和 4 2 3 x 知函数)(xg在 2 , 43 上的单调递增区间为,0 4 和 2 , 23 .12 分 17解： （）当a=0 时，求得 1 4 2 13 ( )42 22 3 4 2 x f xxx x （2 分） ( )21f xx（5 分）不等式的解集是1,)（6 分） （）|21|23| |21 (23)| 4xxxx ，当且仅当 3 2 x ，取等号（9 分）要使 不等式f（x） 2 a恒成立， 2 4341aaaa 或（12 分） 18. 解： （1）因为 n a是一个等差数列，所以 34544 342,14aaaaa. 设数列 n a的公差为d，则 84 416daa，故4d ；故 4 (4)42 n aandn.6 分 （2） 2 ( 3)9 n an n b . 假设存在这样的使得 n b为等比数列， 则 2 12nnn bbb ， 即 122 (9)(9) (9) nnn ， 整理可得0. 即存在0使得 n b为等比数列.7 分（ 6 3） 1 2, 23, n n n c nn 为奇数 为偶数 ， 2422 2 1 (2 23)2(2 43)22(2 23) n n Tn 9 分 2422 12224(12)3 n nn 2 1 4(1)41 432 1 423 nn n n nnn . 12 分 19. 解析： （1）在图 1 中， 可得2 2ACBC， 从而 222 ACBCAB， 故ACBC. 取AC中点O连结DO， 则DOAC， 又面ADC 面ABC， 面ADC 面ABCAC，DO 面ACD， 从而OD 平面ABC. ODBC，又ACBC，ACODO. BC 平面ACD. （2）建立空间直角坐标系Oxyz如图所示， 则(0,2,0)M，(2,0,0)C ，(0,0,2)D，( 2,2,0)CM ， ( 2,0,2)CD . 设 1 ( , , )nx y z 为面CDM的法向量，则 1 1 0 0 n CM n CD 即 220 220 xy xz ， 解得 yx zx . 令 1x ， 可得 1 ( 1,1,1)n . 又 2 (0,1,0)n 为面ACD的一个法向量， 12 12 12 13 cos, 3|3 n n n n nn . 二面角ACDM的余弦值为 3 3 . 7 21. 解： （1） 1 ( )(1)fxf x ， 1 (1)1(1),(1) 2 fff ， 1 ( )ln,(0) 22 ex f xx x，故 112 ( ) 22 x fx xx . 当02x时，( )0fx；当2x 时，( )0fx. ( )f x的单调增区间为(0,2)，单调减区间为(2,).3 分 （2） 2 ( )2ln 2 aex g xx x ，则 2 22 1222 ( )2 axxa g x xxx ，由题意可知 2 2 22 0 xxa x 在2,)上恒成立，即 2 220xxa在2,)上恒成立，因函数 2 ( )22u xxxa开口向 8 上，且对称轴为 1 4 x ，故( )u x在2,)上单调递增，因此只需使(2)0u，解得3a ； 易知当3a 时，( )0g x且不恒为 0. 故3a .7 分 （3）当1a 时， 2 ( )2ln 2 ex g xx x ， 2 2 22 115 2() 22 48 ( )0 x xx g x xx ，故在(0,1上 ( )0g x，即函数( )g x在(0,1上单调递增， max ( )(1)ln2 1g xg.9 分 而“存在 1 (0,1x ， 对任意的