解析版：浙江省杭州市2015年高考数学一模试卷（文科）.doc

2015年浙江省杭州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1设M=0，1，2，4，5，8，N=0，2，3，5，则NM=（） A 1，3 B 1，4，8 C 0，2，5 D 2，4，62若sin=，则cos（+）=（） A B C D 3设函数f（x）=x2，则“f（a）f（b）”是“|a|b|”的（） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件4已知向量，的模分别为1，2，它们的夹角为60，则向量与4+的夹角为（） A 60 B 120 C 30 D 1505设函数f（x）=x+（0x2），若当x=0时函数值最大，则实数a的取值范围是（） A a1 B a1 C a3 D a36函数f（x）=ln（x+1）tanx的图象可能是（） A B C D 7设F1、F2为椭圆C：+=1（ab0）的左、右焦点，直线l过焦点F2且与椭圆交于A，B两点，若ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则e2=（） A 2 B 3 C 116 D 968设Ak=A1A2A3An，nN*，设集合Ak=y|y=，x1，k=2，3，2015，则Ak=（） A B 2， C 2 D 2，二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）9已知函数y=sin（2x+）（xR），则该函数的最小正周期为，最小值为，单调递减区间为10设实数x，y满足不等式组，若z=x+2y，则z的最大值为，最小值为11设等差数列an满足：a5=1，a1a2=a7a8，公差d0，则an=，数列nan的最小项的值为12设圆C：（xk）2+（y2k+1）2=1，则圆C的圆心轨迹方程是，若直线l：3x+ty1=0截圆C所得的弦长与k无关，则t=13已知实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+2y的最大值为14设函数f（x）=x|x2|，x0是函数g（x）=f（f（x）1的所有零点中的最大值，若x0（k，k+1）（kZ），则k=15在长方体ABCDA1B1C1D1中，其中ABCD是正方形，已知AB=1，AA11，设点A到直线A1C的距离和到平面DCB1A1的距离分别为d1，d2，则的取值范围是三、解答题（共5小题，满分74分）16在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2A+=2cosA（1）求角A的大小；（2）若a=1，求ABC的周长l的取值范围17已知四边形ABCD是矩形，BC=AB，将ABC沿着对角线AC翻折，得到AB1C，设顶点B1在平面ABCD上的射影为O，若点O恰好落在边AD上（1）求证：AB1平面B1CD；（2）求二面角B1ACD的大小18设数列an的前n项和为Sn，且Sn=nan（nN+）（1）求证：数列an1为等比数列，并写出an的通项公式；（2）设bn=a（an1）（2n+1）（a为常数）若b30，当且仅当a=3时，|bn|取到最小值，求a的取值范围19设函数f（x）=（1）若方程f（x）=m有两个不同的解，求实数m的值，并解此方程；（2）当x（b，b）（b0）时，求函数f（x）的值域20已知抛物线C：x2=2py（p0），直线l：y=x+1与抛物线C交于A，B两点，设直线OA，OB的斜率分别为k1k2（其中O为坐标原点），且k1k2=（1）求p的值；（2）如图，已知点M（x0，y0）为圆：x2+y2y=0上异于O点的动点，过点M的直线m交抛物线C于E，F两点若M为线段EF的中点，求|EF|的最大值2015年浙江省杭州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1设M=0，1，2，4，5，8，N=0，2，3，5，则NM=（） A 1，3 B 1，4，8 C 0，2，5 D 2，4，6考点： 交集及其运算专题： 集合分析： 由M与N，求出两集合的交集即可解答： 解：M=0，1，2，4，5，8，N=0，2，3，5，NM=0，2，5，故选：C点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2若sin=，则cos（+）=（） A B C D 考点： 同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值专题： 三角函数的求值分析： 原式利用诱导公式化简，把sin的值代入计算即可求出值解答： 解：sin=，cos（+）=sin=，故选：B点评： 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键3设函数f（x）=x2，则“f（a）f（b）”是“|a|b|”的（） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断专题： 简易逻辑分析： 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可解答： 解：若f（a）f（b），则a2b2，即|a|b|成立，若|a|b|，则a2b2，即f（a）f（b），故“f（a）f（b）”是“|a|b|”的充要条件，故选：C点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础4已知向量，的模分别为1，2，它们的夹角为60，则向量与4+的夹角为（） A 60 B 120 C 30 D 150考点： 平面向量数量积的运算专题： 计算题；平面向量及应用分析： 利用向量夹角公式cos=，本题先求出与4+的模以及它们的数量积，再代入公式计算求解解答： 解：（）2=2，2+2=12212cos60+22=3，|=，同理求得（4+）2=12，|4+|=又（）（4+）=423+2=3，利用向量夹角公式cos=得向量与4+的夹角为cos=，=120故选B点评： 本题考查了向量夹角的计算，涉及到向量数量积德计算，模的计算知识比较基础，掌握基本的公式和技巧即可顺利求解5设函数f（x）=x+（0x2），若当x=0时函数值最大，则实数a的取值范围是（） A a1 B a1 C a3 D a3考点： 函数的最值及其几何意义专题： 计算题；函数的性质及应用分析： 根据条件确定f（0）f（2），可得a2+，即可求出实数a的取值范围解答： 解：设x+1=t，则1t3，y=t+1，y=1，当x=0时函数值最大，当t=1时函数值最大，f（0）f（2），a2+，a3，故选：C点评： 本题考查实数a的取值范围，考查学生的计算能力，比较基础6函数f（x）=ln（x+1）tanx的图象可能是（） A B C D 考点： 函数的图象专题： 函数的性质及应用分析： 根据函数的值域的于0的大小关系，分段讨论即可得到答案解答： 解：函数f（x）=ln（x+1）tanx的定义域为x1，且xk+，当1x0时，ln（x+1）0，tanx0，f（x）=ln（x+1）tanx0，当1x时，ln（x+1）0，tanx0，f（x）=ln（x+1）tanx0，当x时，ln（x+1）0，tanx0，f（x）=ln（x+1）tanx0，综上所述，只有A符合故选：A点评： 本题考查了函数图象的识别，观察函数的定义域和值域是本题的关键，属于基础题7设F1、F2为椭圆C：+=1（ab0）的左、右焦点，直线l过焦点F2且与椭圆交于A，B两点，若ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则e2=（） A 2 B 3 C 116 D 96考点： 椭圆的简单性质专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 可设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，再由椭圆的定义和周长的求法，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，运用离心率公式计算即可得到解答： 解：可设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，由椭圆的定义可得ABF1的周长为4a，即有4a=2m+m，即m=2（2）a，则|AF2|=2am=（2）a，在直角三角形AF1F2中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，即4c2=4（2）2a2+4（）2a2，即有c2=（96）a2，即有e2=96故选D点评： 本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，灵活运用椭圆的定义是解题的关键8设Ak=A1A2A3An，nN*，设集合Ak=y|y=，x1，k=2，3，2015，则Ak=（） A B 2， C 2 D 2，考点： 并集及其运算专题： 探究型；函数的性质及应用；集合分析： 根据基本不等式和函数的单调性求出集合Ak，再由题意表示出Ak，利用并集的运算求出即可解答： 解：因为，x1，k=2，3，2015，所以=2=2，当且仅当时，即时取等号，所以函数y=在，1上的最小值是2，由对号函数的单调性知，函数y=在，1上单调递增，所以当x=1时取到最大值=，即集合Ak=2，（k2），因为Ak=A1A2A3An，nN*，且Ak=2，所以Ak=A1A2A3A2015=22，2，=2，故选：D点评： 本题是探究型的题目，考查基本不等式和函数的单调性在求函数的最值中的应用，以及并集的运算二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）9已知函数y=sin（2x+）（xR），则该函数的最小正周期为，最小值为，单调递减区间为kx+，kx+，kZ考点： 正弦函数的图象专题： 三角函数的图像与性质分析： 根据正弦函数的图象和性质即可得到结论解答： 解：函数的周期T=，当sin（2x+）=1时，函数取得最小值为，由2k2x+2k+，kZ，得kx+xkx+，kZ，故函数的递减区间为kx+，kx+，kZ，故答案为： kx+，kx+，kZ点评： 本题主要考查三角函数的周期，最值以及单调区间的求解，利用三角函数的图象和性质是解决本题的关键10设实数x，y满足不等式组，若z=x+2y，则z的最大值为，最小值为1考点： 简单线性规划专题： 不等式的解法及应用分析： 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值解答： 解：由z=x+2y，得，作出不等式对应的可行域，平移直线，由平移可知当直线经过点A（1，0）时，直线的截距最小，此时z取得最小值，将A（1，0）代入z=x+2y，得z=1当直线经过点C时，直线的截距最大，此时z取得最大值，由，解得，即C（，），将C代入z=x+2y，得z=+2=1，故答案为：，1点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法11设等差数列an满足：a5=1，a1a2=a7a8，公差d0，则an=2n9，数列nan的最小项的值为10考点： 等差数列的性质专题： 等差数列与等比数列分析： （1）由题意和等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，代入等差数列的通项公式化简an；（2）先化简nan，再利用二次函数的性质和n的取值，求出数列nan的最小项的值解答： 解：（1）因为a5=1，a1a2=a7a8，公差d0，所以，解得，则an=7+2（n1）=2n9；（2）nan=n（2n9）=2n29n，则对称轴n=（n取正整数），所以当n=2时，数列nan取到最小项为：2492=10，故答案为：2n9；10点评： 本题考查等差数列的通项公式，数列的函数特性，以及利用二次函数的性质求数列中最小项，考查方程思想12设圆C：（xk）2+（y2k+1）2=1，则圆C的圆心轨迹方程是y=2x1，若直线l：3x+ty1=0截圆C所得的弦长与k无关，则t=考点： 直线与圆的位置关系；轨迹方程专题： 计算题；直线与圆分析： 利用消参法，可得圆C的圆心轨迹方程，直线l：3x+ty1=0截圆C所得的弦长与k无关，则圆心到直线的距离为定值，可得直线l：3x+ty1=0与y=2x1平行，即可求出t的值解答： 解：设圆心C（x，y），则x=k，y=2k1，消去k可得y=2x1；直线l：3x+ty1=0截圆C所得的弦长与k无关，则圆心到直线的距离为定值，直线l：3x+ty1=0与y=2x1平行，=2，t=故答案为：y=2x1；点评： 本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题13已知实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+2y的最大值为2考点： 基本不等式专题： 不等式的解法及应用分析： x+2y=m，则x=m2y代入x2+y2+xy=1，可得3y23my+m21=0，利用0，解出即可解答： 解：设x+2y=m，则x=m2y代入x2+y2+xy=1，可得3y23my+m21=0，=9m212（m21）0，解得2m2，x+2y的最大值为2故答案为：2点评： 本题考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系、一元二次不等式的解法，属于基础题14设函数f（x）=x|x2|，x0是函数g（x）=f（f（x）1的所有零点中的最大值，若x0（k，k+1）（kZ），则k=2考点： 函数零点的判定定理专题： 函数的性质及应用分析： 首先，当x（0，2）时，利用配方法求最值，然后作函数的图象，故可得f（x0）=1+，从而由零点的判定定理判断位置解答： 解：函数f（x）=x|x2|，当x（0，2）时，f（x）=x|x2|=x（2x）=（x1）2+11；作函数f（x）=x|x2|的图象如下：解x（x2）=1，得到x=1或x=1+，又x0是函数g（x）=f（f（x）1的所有零点中的最大值，所以f（x0）=1+，且f（2）=01+，f（3）=31+，因为x0（k，k+1）（kZ），所以k=2，故答案为：2点评： 本题重点考查函数的基本性质、图象、函数的零点等知识，属于中档题15在长方体ABCDA1B1C1D1中，其中ABCD是正方形，已知AB=1，AA11，设点A到直线A1C的距离和到平面DCB1A1的距离分别为d1，d2，则的取值范围是（，）考点： 点、线、面间的距离计算专题： 综合题；空间位置关系与距离分析： 设AA1=b，由AA11得b1，利用长方体中的垂直关系和面积相等求出d1，连接A1D、过A作AEA1D，利用长方体中的垂直关系、线面垂直的判定定理和定义，得到d2=AE，利用面积相等求出d2，化简，求出的范围解答： 解：设AA1=b，由AA11得b1，所以点A到直线A1C的距离d1=，连接A1D，过A作AEA1D，由CD平面ADD1A1得，CDAE，又AEA1B，则AE平面DCB1A1，所以AE为点A到平面DCB1A1的距离，则d2=AE=，所以=，因为b1，所以b2+23，所以0所以b（，）故答案为：（，）点评： 本题的考点是点、线、面间的距离计算，线面垂直的判定定理和定义，面积相等法求距离，关键是利用长方体的几何特征寻找表示点面距离的线段，属于中档题三、解答题（共5小题，满分74分）16在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2A+=2cosA（1）求角A的大小；（2）若a=1，求ABC的周长l的取值范围考点： 正弦定理；三角函数中的恒等变换应用专题： 计算题；解三角形分析： （1）根据倍角公式化简已知可得：（2cosA1）2=0，从而可得cosA=，由0A，即可求得A的值（2）根据正弦定理得b=sinB，c=sinC，可得l=1+b+c=1+（sinB+sinC），由A=，可得l=1+2sin（B+），由0，即可求得ABC的周长l的取值范围解答： 解：（1）根据倍角公式：cos2A=2cos2A1，得2cos2A+=2cosA，即4cos2A4cosA+1=0，所以（2cosA1）2=0，所以cosA=，因为0A，所以A=，7分（2）a=1，根据正弦定理：，得b=sinB，c=sinC，所以l=1+b+c=1+（sinB+sinC），因为A=，所以B+C=，所以l=1+sinB+sin（B）=1+2sin（B+），因为0，所以l（2，315分点评： 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理的应用，属于基础题17已知四边形ABCD是矩形，BC=AB，将ABC沿着对角线AC翻折，得到AB1C，设顶点B1在平面ABCD上的射影为O，若点O恰好落在边AD上（1）求证：AB1平面B1CD；（2）求二面角B1ACD的大小考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定专题： 空间角分析： （1）由面面垂直的判定定理得平面AB1D平面ACD，从而CDAD，由线面垂直得AB1CD，由矩形性质得AB1CB1，由此能证明AB1平面B1CD（2）作BFAC，交AC于E，交AD于F，当点O恰好落在线段AD上时，点O与点F重合，B1EF为二面角B1ACD的平面角，由此能求出二面角B1ACD的大小解答： （1）证明：点B1在平面ABCD上的射影为O，点O恰好落在边AD上，平面AB1D平面ACD，又CDAD，CD平面AB1D，AB1CD，又AB1CB1，AB1平面B1CD（2）解：作BFAC，交AC于E，交AD于F，设AB=1，则BC=，BE=，EF=，当点O恰好落在线段AD上时，点O与点F重合，又B1EAC，EFAC，B1EF为二面角B1ACD的平面角，cosB1EF=，B1EF=60，故二面角B1ACD的大小为60点评： 本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，涉及到线面垂直、面面垂直的性质定理和判定理的应用，是中档题18设数列an的前n项和为Sn，且Sn=nan（nN+）（1）求证：数列an1为等比数列，并写出an的通项公式；（2）设bn=a（an1）（2n+1）（a为常数）若b30，当且仅当a=3时，|bn|取到最小值，求a的取值范围考点： 数列递推式；等比关系的确定专题： 计算题；点列、递归数列与数学归纳法分析： （1）由Sn=nan（nN+）得Sn1=n1an1（n2）两式相减，得2an=a n1+1，变形得出an1=（an11），从而数列an1为等比数列，通过求出数列an1的通项公式求出an的通项公式（2）bn=a（an1）（2n+1）=（2n+1），由b30得出a56，数列bn为递减数列，由已知仅当a=3时，|bn|取到最小值，所以b40，b3|b4|=b4，即b3+b40通过不等式组求出a的范围解答： 解：（1）因为Sn=nan（nN+）Sn1=n1an1（n2）两式相减，得2an=a n1+1，即an1=（an11），又a1=1a1，所以a1=，a11=，所以数列an1是以为首项，以为公比的等比数列，所以an1=（）n1，得出an的通项公式an=1，（2）bn=a（an1）（2n+1）=（2n+1）由b30，得a56（0），数列bn为递减数列因为当且仅当a=3时，|bn|取到最小值，所以b40，b3|b4|=b4，即b3+b40联立解得a56点评： 本题考查数列通项公式求解，数列的单调性及应用，考查转化构造，推理计算能力19设函数f（x）=（1）若方程f（x）=m有两个不同的解，求实数m的值，并解此方程；（2）当x（b，b）（b0）时，求函数f（x）的值域考点： 根的存在性及根的个数判断；函数的值域专题： 计算题；作图题；函数的性质及应用分析： （1）可求得f（0）=0，f（1）=0，f（）=，f（）=；且f（x）在（，0）上递增，在（0，）上递减，在（，+）上递增；从而可得当m=0或m=时，方程f（x）=m有两个不同的解再代入求解即可（2）由（1）可知，作出函数f（x）的图象，从而以0b，b，b1，b1讨论函数的值域即可解答： 解：（1）f（0）=0，f（1）=0，f（）=，当x0时，f（）=；又f（x）在（，0）上递增，在（0