高中数学集合与函数概念1.3函数的基本性质破题致胜复习检测新人教A版.docx

1.3 函数的基本性质复习指导考点一：函数的单调性1.单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2) ，那么就说f(x)在区间D上是增函数，区间D称为f(x)的单调递增区间当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数，区间D称为f(x)的单调递减区间图象描述自左向右看图象是逐渐上升的自左向右看图象是逐渐下降的解题指导：有关函数单调性考查的题目类型：函数单调性的判断；求函数的单调区间；由函数的单调性确定参数的取值范围.1.函数的单调区间是其定义域的子集.2.由函数单调性的定义可知，若函数f（x）在区间D上是增（减）函数，则当x1x2时，f(x1)f(x2)（f(x1)f(x2)）.3.一个函数在不同的区间可以有不同的单调性，同一种单调区间有“和”或“，”连接，不能用“”连接.4.两函数f（x）、g（x）在x（a，b）上都是增（减）函数，则f（x）+g（x）也为增（减）函数，但f（x）g（x）的单调性与其正负有关，与f（x）是否为0有关，切不可盲目类比.定义法判断函数的单调性 例题：1.判断函数的单调性.又因为 .所以原函数为奇函数.所以原函数在x0时相同，也为增函数，且f(0)=0.所以在R上单调递增.2.设函数f(x)=ax，(a0)，试确定：当a取什么值时，函数f(x)在0，)上为单调函数解：任取x1、x20，且x1x2，则f(x1)f(x2)=a(x1x2)=a(x1x2)=(x1x2)(a)(1)当a1时，1，又x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)a1时，函数f(x)在区间0，)上为减函数(2)当0a1时，在区间0，上存在x1=0，x2=，满足f(x1)=f(x2)=10a1时，f(x)在0，上不是单调函数注： 判断单调性常规思路为定义法； 变形过程中1利用了|x1|x1;x2； 从a的范围看还须讨论0a1时f(x)的单调性，这也是数学严谨性的体现 3. 若f(x)的定义域为a,b,值域为a,b(a2)使函数是区间a,b上的“四维方军”函数?若存在,求出a,b的值,否则,请说明理由. 考点二：函数的最值前提设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意xI，都有f（x）M，存在x0I，使得f（x0）=M对于任意xI，都有f（x）M，存在x0I，使得f（x0）=M结论M为最大值M为最小值解题指导：求函数最值的常用方法：1.配方法：是求二次函数最值的基本方法，如F(x)af2 (x)bf(x)c的函数的最值问题，可以考虑用配方法2.平方法：对含根式的函数或含绝对值的函数，有的利用平方法，可以巧妙地将函数最值问题转化为我们熟知的、易于解决的函数最值问题3.换元法：是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法4.单调性法：先确定函数的单调性，再由函数的单调性求最值.5.图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.6.不等式法: 利用不等式法求解函数最值，主要是指运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法常常使用的基本不等式有以下几种： a2b22ab(a，b为实数)；ab(a0，b0)； ab()2 (a，b为实数)7.导数法：设函数f(x)在区间a，b上连续，在区间(a，b)内可导，则f(x)在a，b上的最大值和最小值应为f(x)在(a，b)内的各极值与f(a)、f(b)中的最大值和最小值利用这种方法求函数最值的方法就是导数法（仅供参考，不要求掌握）例题：若a为正实数,函数f(x)=x2+2ax+1,其中x0,2,求函数f(x)的最大值.解：f(x)对称轴x=a.当0af(a22a3)D. f(1)f(a22a3)5如果函数对任意的实数，都有，且当时， ，那么函数在的最大值与最小值之差为（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 16函数在上单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 7下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的函数是（ ）A. B. C. D. 8已知函数是R上的单调增函数，则a的取值范围（ ）A. B. C. D. 9函数ylg|x|()A. 是偶函数，在区间(，0)上单调递增B. 是偶函数，在区间(，0)上单调递减C. 是奇函数，在区间(，0)上单调递增D. 是奇函数，在区间(，0)上单调递减10函数y的递减区间为()A. (，3 B. 3，)C. (，3 D. 3，)二、解答题11已知函数（1）求函数的定义域，判断并证明的奇偶性；（2）判断并证明函数的单调性；（3）解不等式12已知定义域为R的函数是奇函数()求函数的解析式；()判断并用定义法证明函数的单调性13已知定义在上的函数，对任意，都有，当时， ；（1）判断的奇偶性；（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.14已知定义在上的函数（），并且它在上的最大值为（1）求的值；（2）令，判断函数的奇偶性，并求函数的值域.15已知定义在上的函数是奇函数.（1）求， 的值；（2）判断在上的单调性，并用定义证明；（3）若对任意的，关于的不等式恒成立，求的取值范围.参考答案与解析1A【解析】是定义在上的奇函数，当时， ，当时， ，当时， ，当时， ，不等式的解集为，故选.2B【解析】由得，故函数的定义域为，易知函数在上单调递增，所以，解得。选B。3A4D【解析】， ，偶函数在区间）上是增函数，可得： ，故选D5C【解析】当时， 。所以,故当时， ，为减函数。所以时， ，故函数在的最大值与最小值之差为3-1=2。选C。点睛：（1）解答本题的关键是求出当时的解析式，解题时要根据给出的函数的性质求解，然后利用函数在区间上的单调性求出函数的最值。（2）若函数图象的对称轴为，则有，也可表示为。6D点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(x)f(x)f(|x|)7B【解析】对于A，函数的定义域为0，+），函数非奇非偶，不满足题意；对于B，3|x|=3|x|，函数是偶函数；在区间（0，+）上，y=3x是减函数，故满足题意；对于C，log3（x）2=log3x2，函数是偶函数；在区间（0，+）上，y=2log3x是增函数，故不满足题意；对于D，（x）（x）2xx2，函数非奇非偶，不满足题意；故选B8C【解析】由题意得，选C.点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.9B【解析】令f(x)lg|x|,定义域为 关于原点对称，则 故函数ylg|x|是偶函数，因为在 递减， 在 上单调递增，根据复合函数的单调性，可得ylg|x|在在区间(，0)上单调递减故选B10B【解析】令 因为在R上递减，所以求函数y的递减区间即求的递增区间，根据二次函数的单调性可知的递增区间为3，)故选B11（1） 为奇函数；（2）为内增函数；（3）.为奇函数（2）为R内增函数证明：，,，.（3）由，得 ，因为为奇函数，因为为增函数， ，解得，不等式的解集为.【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及函数的单调性，属于中档题.利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差；（3）判断的符号， 可得在已知区间上是增函数， 可得在已知区间上是减函数.12(1) ；(2)答案见解析.【解析】试题分析：所以，即，解得. 从而有.此时，都有，所以为奇函数，因此符合题意.所以。（）由（）知， 对于任意的且， 所以在在R上为减函数. - 点睛：根据函数的奇偶性求参数的方法（1）可通过或构建方程，根据等式的恒成立可求得参数值，这种方法体现了方程的思想。（2）在构建方程时，也可利用特殊值的方法，但是在这里要注意：有时利个特殊值确定的参数，并不能保证对所有的x都成立，所以解题时还要注意检验13（1）为奇函数；（2）.试题解析：(1)令则令所以为奇函数.(2)任取则 ， 是单调减函数，为奇函数且时， ， 时， ， 恒成立，当时，-20恒成立，当时，得，得，综上， .14(1)3；(2)答案见解析.【解析】试题分析：(1)由题意结合对数函数的单调性可得；(2)由题意结合函数的定义域和函数的解析式可得为偶函数.换元都结合二次函数的性质可得的值域为.试题解析：（1）因为，则，则.（2）， 由，函数的定义域关于原点对称.，为偶函数.， ，令，.的值域为.点睛：判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立15（1）， （2）在上为减函数（3）所以，解得， 经检验符合题