2011高考数学一轮复习课件：立体几何中的向量方法(理).ppt

第七节 立体几何中的向量方法（理 ） 一、平面的法向量 1所谓平面的法向量，就是指所在的直线与 的向量， 显然一个平面的法向量有 多个，它们是 向量 平面垂直 无数共线 唯一的 2在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法 向量且经过点A的平面是 二、利用向量求空间角 1求两条异面直线所成的角 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则 l1与l2所成的角a与b的夹夹角a，b 范围围 求法 2求直线与平面所成的角 设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l与平面 所成的角为， 则sin = . 3求二面角的大小 (1)若AB、CD分别是二面角l的两个面内与棱l垂直的异 面直线，则二面角的大小就是 的夹 角(如图) (2)设n1，n2分别是二面角l的两个面，的法向量， 则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是 (如图) 二面角的平面 角的大小 求平面法向量的一般步骤是什么？ 提示：（1）设出平面的法向量为n=(x,y,z); (2)找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐 标a=(a1,b1,c1), b=(a2,b2,c2); (3)根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程组 (4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量. 1已知向量a(2，3,1)，b(2,0,4)，c(4，6,2)， 则下列结论正确的是 ( ) Aac，bc Bab，ac Cac，ab D以上都不对 解析：c(4，6,2)2(2，3,1)，ac. 又ab22(3)0140，ab. 答案：C 2已知平面内有一个点M(1，1,2)，平面的一个法向量 为n(6，3,6)，则下列点P中，在平面内的是 ( ) AP(2,3,3) BP(2,0,1) CP(4,4,0) DP(3，3,4) 解析：由于n(6，3,6)是平面的法向量，所以它应该和 平面内的任意一个向量垂直，只有在选项A中， (2,3,3)(1，1,2)(1,4,1)， n(1,4,1)(6，3,6)0， 所以点P在平面内 答案：A 3已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两 平面所成的二面角为 ( ) A45 B135 C 45或135 D90 解析：cosm，n 即m，n45，其补角为135. 两平面所成二面角为45或18045135. 答案：C 4在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB的中点，则对角线 DB1与CM所成角的余弦值为_ 解析：如图，建立直角坐标系，设正方体的棱长为1，则 D(0,0,0)，C(0,1,0)，B1(1，1,1)， 异面直线DB1与CM所成角的余弦值为 答案： 5如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，AA12，则二 面角C1ABC的余弦值为_ 解析：如图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)， 设n(x，y，z)为平面ABC1的法向量 =（0，1，2） 取m=(0,0,1)，作为平面ABC的法向量则 二面角C1-AB-C的余弦值为 则 取n=（- 2，-1） 答案： 利用直线的方向向量和平面的法向量，可以判定直线 与直线，直线与平面，平面与平面的平行和垂直 1设直线l1的方向向量为u1(a1，b1，c1)，直线l2的方向 向量为u2(a2，b2，c2)，则l1l2u1u2(a1，b1，c1) k(a2，b2，c2)(kR)； l1l2u1u2a1a2b1b2c1c20. 2设直线l的方向向量为u(a1，b1，c1)，平面的法向量为 n(a2，b2，c2)，则luna1a2b1b2c1c20； lun(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)(kR) 3设平面的法向量为n1(a1，b1，c1)，平面的法向量为n2 (a2，b2，c2)，则n1n2(a1，b1，c1)k(a2，b2， c2)(kR)；n1n2a1a2b1b2c1c20. 如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等 腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D、E、F分别为 B1A、C1C、BC的中点求证： (1)DE平面ABC； (2)B1F平面AEF. 利用向量法可以A为坐标原点，建立空间直角坐标 系. 【证明】 如图建立空间直角坐标系A-xyz，令AB=AA1=4 ， 则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4) (1)取AB中点为N， 则N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)， 又NC在平面ABC内，故DE平面ABC. (2) (2，2，2)， (2,2,0)， (2)22(2)(4)(2)0， 则 (2)222(4)00. 又AFFEF，B1F平面AEF. (2，2，4) 即B1F AF， 1如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD， ABAD， ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC 的中点 (1)证明：AECD； (2)证明：PD平面ABE. 解：(1)证明：AB、AD、AP两两垂直，建立如图所示的 空间直角坐标系， 设PA=AB=BC=1，则P(0,0,1) ABC=60，ABC为正三角形 设D(0，y,0)，则 由ACCD，得 0， 即y ，则D(0， ，0)， 又 ，即AECD. (2)证明：法一：P(0,0,1)， (0， ，1). 又 (1)0， ，即PDAE. (1,0,0)， 0， PDAB，又ABAEA， PD平面AEB. 法二： (1,0,0)， 设平面ABE的一个法向量为n(x，y，z)， 则 令y2，则z ，n(0,2， ). ，显然 n， 平面ABE， 即PD平面ABE. 1求异面直线所成角时注意的问题 利用向量的夹角来求异面直线的夹角时，注意区别：当 异面直线的向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直 线的夹角；当异面直线的向量的夹角为钝角时，其补角 才是异面直线的夹角 2利用向量法求线面角的方法 一是分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量， 转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； 二是通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面 的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角 (2010徐州质检)如图所示，在四棱锥SOABC中 ，底面四边形OABC是直角梯形，且COAOAB ， OAOSAB1，OC4，点M是棱SB的中点，N是OC上的 点，且ONNC13，以OC，OA，OS所在直线分别为x轴，y 轴，z轴 建立空间直角坐标系Oxyz. (1)求异面直线MN与BC所成的 角的余弦值； (2)求MN与平面SAB所成的角 的正弦值 (1)求异面直线MN与BC所成的角的余弦值； (2)求MN与平面SAB所成的角的正弦值. 【解】 由题知S(0,0,1)，C(4,0,0)，A(0,1,0)，B(1,1,0)， 所以N（1，0，0），M （-3，1，0）， 直线MN与BC所成的角的余弦值为 (2)设平面SAB的一个法向量为n(a，b，c)， 则n (a，b，c)(1,1，1)abc0， n (a，b，c)(0,1，1)bc0. 令b1可得n(0,1,1)， 直线MN与平面SAB所成的角的正弦值为 2(2010江苏四市调研)在正方体ABCDA1B1C1D1中，F是BC 的中点，点E在D1C1上，且D1E D1C1，试求直线EF与平 面D1AC所成角的正弦值 解：设正方体棱长为1，以 为单位正交基底 ，建立如图所示坐标系Dxyz，则各点的坐标分别为 B1(1,1,1)， ，连接DB1， 所以 (1,1,1)， 由题意可知， 为平面D1AC的一个法向量， 所以直线EF与平面D1AC所成角的正弦值为 利用空间向量方法求二面角，可以有两种办法： 一是分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足 出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角 的平面角的大小； 二是通过平面的法向量来求：设二面角的两个面的法向量 分别为n1和n2，则二面角的大小等于n1，n2(或n1 ，n2) 【注意】 利用空间向量方法求二面角时，注意结合图形判 断二面角是锐角还是钝角 (2009全国卷改编)如图，四棱锥SABCD中 ，底面ABCD为矩形，SD底面ABCD，AD DCSD 2，点M在侧棱SC上，ABM60. (1)证明：M是侧棱SC的中点； (2)求二面角SAMB的余弦值 建立空间直角坐标系后，(1)题可以证 (2)题可以先求平面SAM的和平面BAM的法向量 利用法向量求夹角，也可以在平面SAM和平 面BAM中分别找一条垂直于AM的直线，然后用 向量法求解 【解】 如图以D为原点，射线DA，DC，DS为x，y，z轴的 正方向建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，S(0,0,2)，C(0,2,0) ，B( ,2,0)，A( ,0,0) 解得 所以M为侧棱SC的中点. 又= (0,2,0), 故 即 (2)由M(0,1,1)，A( ，0,0)， 得AM的中点G 因此 等于二面角SAMB的平面角 所以二面角SAMB的余弦值为 又（0，-1，1）， 所以 3(2010扬州模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD 是矩形，PD平面ABCD，且PDAD1，AB2，点E是 AB上一点，AE等于何值时，二面角PECD的平面角为 解：以D为原点，射线DA、DC、DP为x、y、z轴的正方向建 立空间直角坐标系，则P(0,0,1)，C(0,2,0)， 设E(1，y0,0)，则 (1,2y0,0)， 设平面PEC的一个法向量为n1(x，y，z)， 解之得xyz(2y0)12， 记n1(2y0,1,2)， 而平面ECD的一个法向量n2(0,0,1)， 二面角PECD的平面角 当AE2 时，二面角PECD的平面角为 . 则 由于新课程标准对空间距离的求法不作要求，因此， 关于空间向量的应用，在高考中以解决空间线面的位置关 系以及求空间的夹角为主.多以解答题出现.2009年陕西卷考 查了利用空间向量证明垂直及二面角大小的求法. (2010陕西高考)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1， AC=AA1= ABC=60. (1)证明：ABA1C； (2)求二面角A-A1C-B的余弦值 解 (1)证明：三棱柱ABC-A1B1C1为直棱柱， AA1AB，AA1AC， 在ABC中，AB1，AC ，ABC60， 由正弦定理得ACB30， BAC90，即ABAC 如图，建立空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0， ，0)， A1(0,0， )， (1,0,0)， (0， ， ). 100 0( )0， ABA1C. (2)如图，可取m= (1,0,0)为平面AA1C的法向量，设平 面A