高阶常系数线性微分方程、欧拉方程-1.ppt

高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学一元微积分学 大大 学学 数数 学学（一一） 第三十讲第三十讲 一元微积分的应用一元微积分的应用( (六六) ) 微积分在物理中的应用微积分在物理中的应用 第七章 常微分方程 本章学习要求： n了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念. n了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方 程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分 方程.熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法. n会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程. n知道下列高阶方程的降阶法： n了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线 性微分方程的解法. n熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法. n掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余 弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方 程的解法. 第五节 二阶常系数线性微分方程 二阶常系数齐线性方程 二阶常系数非齐线性方程 特征方程 特征根 一、二阶常系数齐次线性微分方程 形如 的方程，称为二阶常系数齐线性微分方程， 即 特征方程特征方程 二阶常系数齐线性微分方程 的特征方程为 是方程 (1) 的两个线性无关的解，故方程 (1) 的通解为 二阶常系数齐线性微分方程 的特征方程为 由求根公式 由刘维尔公式求另一个解： 于是，当特征方程有重实根时，方程 ( 1 ) 的通解为 二阶常系数齐线性微分方程 的特征方程为 3) 特征方程有一对共轭复根： 是方程 ( 1 ) 的两个线性无关的解，其通解为 利用欧拉公式去掉表达式中虚数单位 i 。 欧拉公式： 由线性方程解的性质： 均为方程 ( 1 ) 的解，且它们是线性无关的： 故当特征方程有一对共轭复根 时，原方程的通解可表示为 二阶常系数齐线性微分方程 特征方程 特 征 根通 解 形 式 例 解 例 解 例 解 故所求特解为 例 解 此时弹簧仅受到弹性恢复力 f 的作用。求反映此弹 突然放手，开始拉长， 簧运动的规律（设其弹性系数为 k ）。 例 解 此时弹簧仅受到弹性恢复力 f 的作用。求反映此弹 突然放手，开始拉长， 簧运动的规律（设其弹性系数为 k ）。 取 x 轴如如图所示。 由力学的虎克定理，有 （ 恢复力与运动方向相反 ） 由牛顿第二定律，得 它能正确描述 我们的问题吗 ？ 记拉长后，突然放手的时刻为 我们要找的规律是下列初值问题的解： 从而，所求运动规律为 简谐振动简谐振动 二、n 阶常系数齐线性微分方程 形如 的方程，称为 n 阶常系数齐线性微分方程， n 阶常系数齐线性微分方程的特征方程为 特 征 根通 解 中 的 对 应 项 例 解 例 解 在研究弹性地基梁时，遇到一个微分方程 试求此方程的通解。 三、二阶常系数非齐线性微分方程 形如 的方程，称为二阶常系数非齐线性微分方程， 它对应的齐方程为 我们只讨论函数 f ( x ) 的几种简单情形下，(2) 的特解。 常系数非齐线性微分方程算子解法 参考书： 常微分方程讲义 王柔怀 伍卓群 编 人民教育出版社 方程 (2) 对应的齐方程 (1) 的特征方程及特征根为 单根 二重根 一对共轭复根 你认为方程应该你认为方程应该 有什么样子的特解？有什么样子的特解？ 假设方程 有下列形式的特解：则 代入方程 (2) ，得 即 方程 (3) 的系数与方程 (2) 的特征根有关。 由方程 (3) 及多项式求导的特点可知，应有 方程 (2) 有下列形式的特解: 由多项式求导的特点可知，应有 方程 (2) 有下列形式的特解: 由多项式求导的特点可知，应有 方程 (2) 有下列形式的特解: 定理定理 1 1 当二阶常系数非齐线性方程 它有下列形式的特解： 其中： 例 解 对应的齐方程的特征方程为 特征根为 对应的齐方程的通解为 将它代入原方程，得 比较两边同类项的系数，得 故原方程有一特解为 综上所述，原方程的通解为 例 解 对应的齐方程的特征方程为 特征根为 对应的齐方程的通解为 将它代入原方程，得 请同学们自己算请同学们自己算 上式即 故原方程有一特解为 综上所述，原方程的通解为 例 解 对应的齐方程的通解为 综上所述，原方程的通解为 你有什么想法没有？你有什么想法没有？ 欧拉公式： 性质性质 4 4 的一个特解。 例 解 代入上述方程，得 从而，原方程有一特解为 例 解 代入上述方程，得 比较系数，得 从而，原方程有一特解为 故 例 解由上面两个例题立即可得 例 解 对应的齐次方程的通解为 将它代入此方程中，得 从而，原方程有一特解为 故原方程的通解为 我想， 你一定会做这种推广工作。 四、欧拉方程 形如 的方程，称为 n 阶欧拉方程，其中 关于变量 t 的常系数线性微分方程 。 引入算子记号： 由数学归纳法可以证