中考数学压轴题(动点).docx

中考数学压轴题总结（动点）（一） 因动点产生的相似三角形问题 例1，已知抛物线的方程C1： (m0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BHEH最小，求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由图1思路点拨1第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当H落在线段EC上时，BHEH最小2第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线BF，作CBFEBC45，或者作BF/EC再用含m的式子表示点F的坐标然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于m的方程满分解答（1）将M(2, 2)代入，得解得m4（2）当m4时，所以C(4, 0)，E(0, 2)所以SBCE（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x1，当H落在线段EC上时，BHEH最小设对称轴与x轴的交点为P，那么因此解得所以点H的坐标为（4）如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FFx轴于F由于BCEFBC，所以当，即时，BCEFBC设点F的坐标为，由，得解得xm2所以F(m2, 0)由，得所以由，得整理，得016此方程无解图2 图3 图4如图4，作CBF45交抛物线于F，过点F作FFx轴于F，由于EBCCBF，所以，即时，BCEBFC在RtBFF中，由FFBF，得解得x2m所以F所以BF2m2，由，得解得综合、，符合题意的m为例2，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，2）三点（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的 点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得DCA的面积最大，求出点D的坐标,图1思路点拨1已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便2数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长3按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程4把DCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA满分解答 （1）因为抛物线与x轴交于A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为，代入点C的 坐标（0，2），解得所以抛物线的解析式为（2）设点P的坐标为如图2，当点P在x轴上方时，1x4，如果，那么解得不合题意如果，那么解得此时点P的坐标为（2，1）如图3，当点P在点A的右侧时，x4，解方程，得此时点P的坐标为解方程，得不合题意如图4，当点P在点B的左侧时，x1，解方程，得此时点P的坐标为解方程，得此时点P与点O重合，不合题意综上所述，符合条件的 点P的坐标为（2，1）或或 图2 图3 图4（3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E直线AC的解析式为设点D的横坐标为m，那么点D的坐标为，点E的坐标为所以因此当时，DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1） （二） 因动点产生的等腰三角形问题例3，抛物线yax2bxc经过A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由图1 思路点拨1第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时PAC的周长最小2第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性满分解答（1）因为抛物线与x轴交于A(1,0)、B(3, 0)两点，设ya(x1)(x3)，代入点C(0 ,3)，得3a3解得a1所以抛物线的函数关系式是y(x1)(x3)x22x3（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x1当点P落在线段BC上时，PAPC最小，PAC的周长最小设抛物线的对称轴与x轴的交点为H由，BOCO，得PHBH2所以点P的坐标为(1, 2)图2（3）点M的坐标为(1, 1)、(1,)、(1,)或(1,0)考点伸展第（3）题的解题过程是这样的：设点M的坐标为(1,m)在MAC中，AC210，MC21(m3)2，MA24m2如图3，当MAMC时，MA2MC2解方程4m21(m3)2，得m1此时点M的坐标为(1, 1)如图4，当AMAC时，AM2AC2解方程4m210，得此时点M的坐标为(1,)或(1,)如图5，当CMCA时，CM2CA2解方程1(m3)210，得m0或6当M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)图3 图4 图5例4，点A在x轴上，OA4，将线段OA绕点O顺时针旋转120至OB的位置（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由图1思路点拨1用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验2本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起满分解答（1）如图2，过点B作BCy轴，垂足为C在RtOBC中，BOC30，OB4，所以BC2，所以点B的坐标为（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为yax(x4)，代入点B，解得所以抛物线的解析式为（3）抛物线的对称轴是直线x2，设点P的坐标为(2, y)当OPOB4时，OP216所以4+y216解得当P在时，B、O、P三点共线（如图2）当BPBO4时，BP216所以解得当PBPO时，PB2PO2所以解得综合、，点P的坐标为，如图2所示图2 图3考点伸展如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D，那么DOA与OAB是两个相似的等腰三角形由，得抛物线的顶点为因此所以DOA30，ODA120（三） 因动点产生的直角三角形问题例5：在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数yk(x2x1)的图象交于点A(1,k)和点B(1,k)（1）当k2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值思路点拨1由点A(1,k)或点B(1,k)的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是题目中的k都是一致的2由点A(1,k)或点B(1,k)的坐标还可以知道，A、B关于原点O对称，以AB为直径的圆的圆心就是O3根据直径所对的圆周角是直角，当Q落在O上是，ABQ是以AB为直径的直角三角形满分解答（1）因为反比例函数的图象过点A(1,k)，所以反比例函数的解析式是当k2时，反比例函数的解析式是（2）在反比例函数中，如果y随x增大而增大，那么k0当k0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y随x增大而增大抛物线yk(x2x1)的对称轴是直线 图1所以当k0且时，反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大（3）抛物线的顶点Q的坐标是，A、B关于原点O中心对称，当OQOAOB时，ABQ是以AB为直径的直角三角形由OQ2OA2，得解得（如图2），（如图3）图2 图3考点伸展如图4，已知经过原点O的两条直线AB与CD分别与双曲线（k0）交于A、B和C、D，那么AB与CD互相平分，所以四边形ACBD是平行四边形问平行四边形ABCD能否成为矩形？能否成为正方形？如图5，当A、C关于直线yx对称时，AB与CD互相平分且相等，四边形ABCD是矩形因为A、C可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，所以OA与OC无法垂直，因此四边形ABCD不能成为正方形图4 图5例6，已知抛物线yx2bxc与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0，3)，对称轴是直线x1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限当线段时，求tanCED的值；当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答图1思路点拨1第（1）、（2）题用待定系数法求解析式，它们的结果直接影响后续的解题2第（3）题的关键是求点E的坐标，反复用到数形结合，注意y轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系3根据C、D的坐标，可以知道直角三角形CDE是等腰直角三角形，这样写点E的坐标就简单了满分解答（1）设抛物线的函数表达式为，代入点C(0，3)，得所以抛物线的函数表达式为（2）由，知A(1，0)，B(3，0)设直线BC的函数表达式为，代入点B(3，0)和点C(0，3)，得 解得，所以直线BC的函数表达式为（3）因为AB4，所以因为P、Q关于直线x1对称，所以点P的横坐标为于是得到点P的坐标为，点F的坐标为所以，进而得到，点E的坐标为直线BC:与抛物线的对称轴x1的交点D的坐标为（1，2）过点D作DHy轴，垂足为H在RtEDH中，DH1，所以tanCED，图2 图3 图4考点伸展第（3）题求点P的坐标的步骤是：如图3，图4，先分两种情况求出等腰直角三角形CDE的顶点E的坐标，再求出CE的中点F的坐标，把点F的纵坐标代入抛物线的解析式，解得的x的较小的一个值就是点P的横坐标（四） 因动点产生的平行四边形问题例7，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)以A为顶点的抛物线yax2bxc过点C动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒过点P作PEAB交AC于点E（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EFAD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值图1思路点拨1把ACG分割成以GE为公共底边的两个三角形，高的和等于AD2用含有t的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来3构造以C、Q、E、H为顶点的平行四边形，再用邻边相等列方程验证菱形是否存在满分解答（1）A(1, 4)因为抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为ya(x1)24，代入点C(3, 0)，可得a1所以抛物线的解析式为y(x1)24x22x3（2）因为PE/BC，所以因此所以点E的横坐标为将代入抛物线的解析式，y(x1)24所以点G的纵坐标为于是得到因此所以当t1时，ACG面积的最大值为1（3）或考点伸展第（3）题的解题思路是这样的：因为FE/QC，FEQC，所以四边形FECQ是平行四边形再构造点F关于PE轴对称的点H，那么四边形EHCQ也是平行四边形再根据FQCQ列关于t的方程，检验四边形FECQ是否为菱形，根据EQCQ列关于t的方程，检验四边形EHCQ是否为菱形，如图2，当FQCQ时，FQ2CQ2，因此整理，得解得，（舍去）如图3，当EQCQ时，EQ2CQ2，因此整理，得所以，（舍去）图2 图3（五） 因动点产生的梯形问题例8：已知直线y3x3分别与x轴、y轴交于点A，B，抛物线yax22xc经过点A，B（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l，点B关于直线l的对称点为C，若点D在y轴的正半轴上，且四边形ABCD为梯形求点D的坐标；将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P，其对称轴与直线y3x3交于点E，若，求四边形BDEP的面积图1 思路点拨1这道题的最大障碍是画图，A、B、C、D四个点必须画准确，其实抛物线不必画出，画出对称轴就可以了2抛物线向右平移，不变的是顶点的纵坐标，不变的是D、P两点间的垂直距离等于73已知DPE的正切值中的7的几何意义就是D、P两点间的垂直距离等于7，那么点P向右平移到直线x3时，就停止平移满分解答（1）直线y3x3与x轴的交点为A(1，0)，与y轴的交点为B(0,3)将A(1，0)、B(0,3)分别代入yax22xc，得 解得 所以抛物线的表达式为yx22x3对称轴为直线x1，顶点为(1,4)（2）如图2，点B关于直线l的对称点C的坐标为(2,3)因为CD/AB，设直线CD的解析式为y3xb，代入点C(2,3)，可得b3所以点D的坐标为（0，3）过点P作PHy轴，垂足为H，那么PDHDPE由，得而DH7，所以PH3因此点E的坐标为（3，6）所以图2 图3考点伸展第（2）用几何法求点D的坐标更简便：因为CD/AB，所以CDBABO因此所以BD3BC6，OD3因此D（0，3）例9：已知，矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A的坐标为(4,0)，点C的坐标为，直线与边BC相交于点D(1)求点D的坐标；(2)抛物线经过点A、D、O，求此抛物线的表达式；(3)在这个抛物线上是否存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由图1思路点拨1用待定系数法求抛物线的解析式，设交点式比较简便2过AOD的三个顶点分别画对边的平行线与抛物线相交，可以确定存在三个梯形3用抛物线的解析式可以表示点M的坐标满分解答(1)因为BC/x轴，点D在BC上，C(0,2)，所以点D的纵坐标为2把y2代入，求得x3所以点D的坐标为(3,2)(2)由于抛物线与x轴交于点O、A(4,0)，设抛物线的解析式为yax(x4)，代入D (3,2)，得所求的二次函数解析式为(3) 设点M的坐标为如图2，当OM/DA时，作MNx轴，DQx轴，垂足分别为N、Q由tanMONtanDAQ，得因为x0时点M与O重合，因此，解得x7此时点M的坐标为（7，14）如图3，当AM/OD时，由tanMANtanDOQ，得因为x4时点M与A重合，因此，解得x1此时点M的坐标为如图4，当DM/OA时，点M与点D关于抛物线的对称轴对称，此时点M的坐标为（1，2） 图2 图3 图4（6） 因动点产生的面积问题例10，在平面直角坐标系中，直线与抛物线yax2bx3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PDAB于点D（1）求a、b及sinACP的值；（2）设点P的横坐标为m用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；连结PB，线段PC把PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为910？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由图1思路点拨1第（1）题由于CP/y轴，把ACP转化为它的同位角2第（2）题中，PDPCsinACP，第（1）题已经做好了铺垫3PCD与PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比4两个三角形的面积比为910，要分两种情况讨论满分解答（1）设直线与y轴交于点E，那么A(2,0)，B(4,3)，E(0,1)在RtAEO中，OA2，OE1，所以所以因为PC/EO，所以ACPAEO因此将A(2,0)、B(4,3)分别代入yax2bx3，得解得，（2）由，得所以所以PD的最大值为（3）当SPCDSPCB910时，；当SPCDSPCB109时，图2考点伸展第（3）题的思路是：PCD与PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比而，BM4m当SPCDSPCB910时，解得当SPCDSPCB109时，解得（七）因动点产生的相切问题例11，A(5,0)，B(3,0)，点C在y轴的正半轴上，CBO45，CD/AB，CDA90点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒（1）求点C的坐标；（2）当BCP15时，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的P随点P的运动而变化，当P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值 图1答案 （1）点C的坐标为(0,3)（2）如图2，当P在B的右侧，BCP15时，PCO30，；如图3，当P在B的左侧，BCP15时，CPO30，图2 图3（3）如图4，当P与直线BC相切时，t1；如