《数学物理方法》PPT课件.ppt

其中展开系数 ak 称为泰勒级数 2.2 复变函数在解析区域中的幂级数展开 上节证明了：幂级数在其收敛圆内解析 本节证明其逆定理：解析函数可以展开成幂级数，且这种 展开式是唯一的。 解析函数与幂级数的密切关系 一、泰勒级数 设 f (z)在| zb | R 内解析，则 f (z)可展开为泰勒级数 证明： 1. 从柯西公式出发 其中z为圆| zb |=R内某一点，C为包含z的圆，| b | = (0 R)，为C上的点。 2. 将被积函数变成级数 利用 将 展开成以b为中心的级数 被积函数写成： 3. 将上式沿C积分 级数 在C上一致收敛 + f () 在C上有界 级数 在 C上一致收敛 逐项积分 于是 其中 4. 展开式是唯一的 若 f (z)能展开成另一种形式： (1) 令z = b： (2) 对z求导： 展开式唯一 来求 ak 。 由展开式的唯一性，可以用任何方便的办法来求解一个 解析函数的泰勒展开式，不必一定要用积分表达式 说明： (1) 解析函数与泰勒级数之间存在密切关系： a. 幂级数在其收敛圆内解析； b. 解析函数可以展开成幂级数，且这种展开式是唯一的 。 (2) 如果f(z)在D内有一阶导数存在，则f(z)可在D内每一点的 邻域内展开成泰勒级数。而对于实变函数来说，f (x) 的一 阶导数存在，它的二阶或高阶导数可能不存在，因此 f(x) 就不可能展开成泰勒级数。 二、将解析函数展开成泰勒级数的方法 解：因为ez 在全平面解析 (除z =外)，所以 常用四种方法： 1.直接计算展开系数 例：以z=0为展开中心展开f (z) = ez。 2. 利用初等函数的泰勒级数来展开 (特别是 ，三角函数的级数表示) 4. 在收敛圆内逐项求导或逐项积分 (收敛半径不变) 3. 利用两个绝对收敛幂级数的乘积或商 例 将函数 f (z) = (1+z)m (m为负整数)，在z=0的周围展开成 泰勒级数，并讨论这一展开的收敛区域。 解：函数 f (z) 在z = 1时成为无穷大，而在 |z| 1时解析。 根据上述定理知道，它可以在以z=0为心，半径为1的圆 内部展开成泰勒级数。按(2-2-3)式计算展开系数： 代入 (2-2-4) 得 当m为负整数时，这个级数在|z| 1的圆内收敛。如果m为正 整数，上式仍然成立，且退化成多项式，就是牛顿二项式 定理。当m不是正负整数(或零)时，(1+z)m 是多值函数，留 到以后再讨论。(见3-5习题第7题) 例 求 f (z) = ez cosz 在 |z| 的展开式。 解：对于这一函数直接利用(2-2-3)来求系数，计算较繁， 因此将 f (z) 改写为 再利用ez 的展开式 (2-2-6) 得 例4 函数 secz 在 |z| /2内解析，求它在这个圆内的泰勒 展开式。 解：我们用待定系数法求这个展开式。设在|z| /2 内， secz可展开成 但另一方面，在 |z| /2 内，有 因此在 |z| /2 内，有 将上式右边用级数乘法算出，并且与左边比较系数，就可 以求得 an (n=0,1,2,3)。例如： 余类推，所以 三 鞍点 我们来讨论复变函数的一阶导数为零的点的性质。 我们知道，实变函数的一阶导数为零的点是它的极值点 (只要二阶导数不为零)，然而，这一结论对于复变函数不成 立。讨论实部和虚部的性质。 将函数f(z)在满足条件f (b) =0 的b点附近作泰勒展开，当 z时，可以只保留 f (z)f (b) 的展开式中不为零的第一项， 即 令 代入(2-2-9)式，略去高次项，得到 (2-2-10) 所谓“沿某一方向穿过 b 点”，就是先固定一个值，让 r从大于零减小到零，然后将加大，让r从零增加到大于零 。如果对于相应的，(2-2-10) 式的实部取最大的正值，则 在这一方向附近，f (z)上升最陡；如果对于相应的，(2-2- 10)式的是不取绝对值最大的负值，则在这一方向附近，f(z) 下降最陡，因此： 由此可见，解析函数 f(z)在它的一阶导数为零， f (z)=0， 而二阶导数不为零，即 f (z