一次函数与反比例函数.第5讲.一次函数与反比例函数的综合.教师版.doc

第五讲一次函数与反比例函数综合中考要求板块考试要求A级要求B级要求C级要求反比例函数能结合具体问题了解反比例函数的意义；能画出反比例函数的图象；理解反比例函数的性质会根据已知条件确定反比例函数的解析式；能用反比例函数的知识解决有关问题能用反比例函数解决某些实际问题知识点睛反比例函数的定义：函数(为常数，)叫做反比例函数，其中叫做比例系数，是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.反比例函数的图像：反比例函数(为常数，)的图像由两条曲线组成，每条曲线随着的不断增大(或减小)越来越接近坐标轴，反比例函数的图像属于双曲线.反比例函数与()的图像关于轴对称，也关于轴对称.反比例函数图像的性质：反比例函数(为常数，)的图像是双曲线；当时，函数图像的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而减小；当时，函数图像的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而增大.注意：反比例函数()的取值范围是因此，图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，如当时，双曲线的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小这是由于，即或的缘故 如果笼统地叙述为时，随的增大而增大就是错误的由于反比例函数中自变量和函数的值都不能为零，所以图象和轴、轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势在画出的图象上要注明函数的解析式反比例函数的应用：反比例函数在实际生活和科学领域都有广泛的应用，我们通过对题目的阅读理解，抽象出实际问题中的函数关系，将文字转化为数学语言，再利用反比例函数的思想方法来解决实际问题。1.用反比例函数解决实际问题的方法和步骤（1）审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；（2）根据常量与变量之间的关系，设出函数的关系式，待定的系数用字母来表示；（3）有题目中的已知条件列出方程，求出待定系数。（4）写出函数关系式，并注意关系式中的变量的取值范围。（5）用函数关系去解决实际问题。2.运用反比例函数模型解实际问题时，要掌握一些基本的模型（1）当体（面）积为定值时，底面积（边长）与高成反比例函数关系。（2）当工程总量为定值时，工作时间与工作效率成反比例函数关系。（3）当力F所作的功一定时，力F与物体在F方向通过的距离s成反比例函数关系；（4）杠杆定律：力力臂=定值（5）压强公式：P=FS，其中p为压强，F为压力，S为受力面积；3.用反比例函数解决实际问题时应注意几个问题：（1）设未知量要恰当.恰当地设未知量可以使运算简单，解题过程简单，计算准确率高，否则将会带来不必要的麻烦。（2）求出函数关系式后，要注意字母（或自变量）的取值范围：一般在实际问题中，自变量的取值范围都是非负的。有的取值范围只能是某一些范围内的数。 （3）求出问题的解，既要符合题目中的方程，还要符合问题中的实际意义。重、难点重点：本节的重点是反比例函数的概念和性质，特别是反比例函数的性质的描述，注意在描述时候不能直接表示成随的增大或减小而增大或减小，一定要强调象限！难点：掌握反比例函数的实际运用，以及反比例函数与一次函数的综合，与几何和代数的综合例题精讲板块一 对交点坐标的考核【例1】 （2009湖北荆门）直线与双曲线交于两点，则_【解析】 联立直线和双曲线得：，则，又，则【补充】已知正比例函数与反比例函数图象交点到轴的距离是3，到轴的距离是4，求它们的解析式【解析】 设正比例函数，反比例函数为 由，得，要它们有交点，则，即、应同号，方程组才有实数解 当、同为正时，两图象的交点分别在第一、三象限内， 故交点坐标为(，)或(，) 将其中一个交点(，)代人所设两个函数解析式中， 求得，和 当、同为负数时，两图象的交点分别在第二、四象限内， 交点坐标为(，)或(，) 将(，)代入所设解析式中，得和 正比例函数解析式为或 反比例函数解析式为或【例2】 （2002全国数学竞赛辽宁预赛）若一次函数和反比例函数的图像有两个交点，当_时，有一个交点的纵坐标为6.【解析】 由题意可得，代入，可得.【例3】 （2009湖北武汉）如图，直线与双曲线交于点将直线向右平移个单位后，与双曲线交于点，与轴交于点，若，则_【解析】【例4】 一个一次函数的图象与直线平行，与轴，轴分别交于，两点，并且通过，则在线段上（包括端点，两点），横纵坐标都是整数的点有_个【解析】 依题意可求出这个一次函数的解析式为：，于是可求得，的取值范围为的整数，的取值范围为：的整数求线段上的整点坐标可转化为方程在上述条件下的整数解当时，；当时，；当时，；当时，；当时，故可知线段上有5个整点【补充】（2008年芜湖市）在平面直角坐标系中，直线向上平移1个单位长度得到直线直线 与反比例函数的图象的一个交点为，则的值等于 【解析】 本题主要考察一次函数和反比例函数的表达式。本题中由直线向上平移1个单位长度得到直线的表达式，将点坐标代入求出，再将的坐标（1，2）代入反比例函数的表达式得出。一次函数图像向上平移时中的值增加。通过一次函数的表达式求出再去求的值。【例5】 (06年北京课改卷)在平面直角坐标系中，直线绕点顺时针旋转的到直线.直线与反比例函数的图象的一个交点为(，)，试确定反比例函数的解析式.【解析】 直线绕点顺时针旋转的到直线:，因为点(，)在直线上，所以，即(，)在的图像上， 所以反比例函数的解析式为【例6】 (06年成都中考题)已知反比例函数()的图像经过点(，)，过点作轴于点，且的面积为.求和的值.若一次函数的图象经过点，并且与轴相交于点，求 的值. 【解析】 ，所以， 点(，)，直线过此点，所以，点 坐标为(，)，易得【例7】 （2007四川乐山中考）如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于，两点（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图像回答：当取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值【解析】 （1）在的图像上， 又在的图像上，即 解得：，反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为.（2）从图像上可知，当或时，反比例函数的值大于一次函数的值.【补充】（2007四川资阳）如图，已知是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点.(1) 求此反比例函数和一次函数的解析式；(2) 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的的取值范围.【解析】 (1) 点和点都在反比例函数的图象上， 解得又由点和点都在一次函数的图象上， 解得 反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为. (2) x的取值范围是或.【例8】 利用图象解一元二次方程时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线和直线，两图象交点的横坐标就是该方程的解（1）填空：利用图象解一元二次方程，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线 和直线，其交点的横坐标就是该方程的解（2）已知函数的图象（如图9所示），利用图象求方程的近似解（结果保留两个有效数字）（图9）yxO3663-3-6-6-3（图9）yxO3663-3-6-6-3【解析】 由图象得出方程的近似解为：板块二 与其它几何图形的综合考核【例9】 (05年广西中考题)已知一次函数()的图象与轴、轴分别交于点、， 且与反比例函数()的图象在第一象限交于点，垂直 于轴，垂足为.若，1 点、的坐标；2 求一此函数与反比例函数的解析式.【解析】 (，)、(，)、(，)；.【例10】 如图，是函数()图象上一点，直线交轴于点，交轴于点，轴于，交于，轴于，交于.求的值.【解析】 设点(，)，过点、分别作轴的垂线，易得，.【例11】 (06年天津中考题) 反比例函数和一次函数,其中一次函数图像经过 (，)、 (，)两点.求反比例函数的解析式；求出两函数的交点的坐标.在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，把符合条件的点的坐标都求出来;若不存在,请说明理由.【解析】 根据题意,得，两式相减，得. 所求的反比例函数的解析式是.易知点的坐标为(，).由勾股定理,得,与轴所夹的角为.当为的腰时,由,得(，),(，);由,得(，).当为的底时,得(，).这样的点有4个,分别是(，)、(，)、(，)、(，).【例12】 （2007内蒙呼和浩特课改）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点，（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由【解析】 此题的第二问涉及到分类讨论，要注意讲清分类的标准。（1）点在反比例函数图象上， 反比例函数的解析式为又在反比例函数图象上， 点坐标为一次函数的图象经过点 一次函数的解析式为（2）存在符合条件的点可求出点的坐标为【例13】 如图，已知的顶点是一次函数与反比例函数的图像在第一象限内的交点，且 （1）该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定？如能确定，请写出它们的解析式；如不能确定，请说明理由 （2）如果线段的延长线与反比例函数的图像的另一支交于点，过作轴于，那么的面积与的面积的大小关系能否确定？（3）请判断为何特殊三角形，并证明你的结论【解析】 （1）设，则，其中在中，则，即所以一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为（2）由得，解得由反比例函数的定义可知，对反比例函数图像上任意一点，有即，即（3）由可得，即由图可知，为钝角等腰三角形【补充】如图所示，设反比例函数的两支为，正三角形三个顶点位于此反比例函数的图象上 求证：不能都在反比例函数的同一支上 设在上，在上，求顶点的坐标 【解析】 用反证法.假设正的三顶点位于反比例函数的同一支上，不妨设为，其坐标分别为，不妨设，则一定有于是：因此，这说明是钝角三角形，与是正三角形矛盾，故不能都在反比例函数的同一支上 设的坐标为，则的斜率为，此时边上的高线的斜率为，高线方程为，它必过线段的中点，因此的中点坐标满足高线方程，于是有：，此即因为，上式方括号中的式子明显大于，故必有，即于是，的坐标为，而，这说明关于直线对称解法1：所在的直线分别为过点与成角的相互对称的两条直线，易见其倾角分别为和.不妨设的倾斜角为，则它的方程为，即将其代入反比例函数中，解得的坐标为由对称性知的坐标为解法2：根据对称性的坐标为，则的坐标为，距离为.而的距离为，所以，化简为，即，所以或（舍去）所以或则两点坐标分别为，【补充】如图，已知反比例函数的图象和一次函数的图象都经过点。 求这个一次函数的解析式； 如果等腰梯形的顶点在这个一次函数图象上，顶点在这个反比例函数图象上，两底，与轴平行，且和的横坐标分别为和，求的值。【解析】 （1）因为点在函数的图象上，所以。又因为函数图象经过P（6，2），得，所以。所以这个一次函数的解析式是（2）因为点和的横坐标分别为和，所以（）、（，）、（）、D（）。因为，所以，即当时，化简得，方程无实解；当时，化简得解得。经检验都是所求的解。【例14】 (2006广安市中考)如图，如果函数与的图像交于，两点，过点作垂直于轴，垂足为点， 求的面积.【解析】 函数与的交点为 (，)，(，)点，的坐标分别为 (，)，(，)点的坐标为 (，).的面积为.【补充】（2007四川成都中考）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求的面积【解析】 （1）点在反比例函数的图像上， 反比例函数的表达式为 点也在反比例函数的图像上，即把点，点代入一次函数中，得 解得一次函数的表达式为（2）在中，当时，得直线与轴的交点为线段将分成和，【例15】 (全国初中数学联赛题)正比例函数()与反比例函数的图象相交于、两点，过作轴于，连结，若的面积为，求【解析】 .【例16】 （2009广西玉林）将直线向左平移个单位长度后得到直线，如图，直线与反比例函数的图象相交于，与轴相交于，则_【解析】 由题意可知直线的解析式为，则，设点坐标，则，即，又，【例17】 (2007广东课改)如图，在直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点（1）求一次函数的解析式；（2）求的面积【解析】 （1）点在反比例函数 的图像上，所以，故有因为也在的图象上，所以，即点的坐标为，一次函数过，两点，所以解得，所以所求一次函数的解析式为（2）解法一：过点作轴的垂线，交于点因为，所以直线对应的正比例函数解析式为，当时，即点的坐标为，所以，所以，即的面积为解法二：过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，过点作轴的垂线，垂足为则，即的面积为解法三：过分别作轴的垂线，垂足分别为由，得，设过的直线分别交两坐标轴于两点由过的直线表达式为，得，由，得【点评】老师在讲解此题的时候，一定得把这几种方法讲透，这样这类型的题目学生在做的时候以后也没有问题，同时此题也是老师很容易出彩的地方【补充】（2009四川达州）如图，直线与反比例函数的图象相交于点、点，与轴交于点，其中点的坐标为，点的横坐标为 试确定反比例函数的关系式； 求的面积【解析】 反比例函数经过点， 反比例函数的关系式为 点的横坐标为， 点坐标为 直线经过点、点，解得， 直线解析式为，点坐标为， 板块三 在实际问题中的综合应用【例18】 (18届希望杯)某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量限用，服药后每毫升血液中的含药量(毫克)与时间(小时)之间的函数关系近似满足如图所示曲线，当每毫升血液中的含药量不少于0.25毫克时治疗有效，求服药一次治疗疾病有效的时间.【解析】 将点(，)代入此两个函数解析式得，.一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为.当时，中，；中，.又由函数图像可得，服药一次治疗疾病有效的时间为.【补充】（2008杭州）为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒已知药物释放过程中，室内每立方米空气中含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系为（为常数）如图所示，据图中提供的信息，解答下列问题： 写出从药物释放开始，与之间的两个函数关系式及相应的自 变量取值范围； 据测定，当空气中每立方米和含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？【解析】 将点代入函数关系式，解得，所以所求反比例函数关系式为，将代入，得，再将代入，得，所以所求正比例函数关系式为 解不等式，解得 ，所以至少需要经过6小时后，学生才能进入教室 【例19】 某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y之间有如下关系：x（元）3456y（元）20151210（1）根据表中的数据在平面直角坐标系中描出实数对的对应点；（2）猜测并确定与之间的函数关系式，并画出图象；（3）设经营此卡的销售利润为元，试求出与之间的函数关系式，若物价局规定此卡的售价最高不超过10元/个，请你求出当日销售单价定为多少元时，才能获得最大日销售利润？【解析】 （1）根据表中数据在平面直角坐标系中描出对应点（3，20）（4，15）（5，12）（6，10）。（2）由右图可猜测此函数为反比例函数的一支，设，把点（3，20）代入，得。所以。把点（4，15）（5，12）（6，10）代入上式均成立。所以y与x的函数的关系式为。（3）物价局规定此贺卡的售价最高不超过10元/个，即，根据在第一象限随的增大而减小，所以。，.所以当时，有最大值。即当日销售单价定为10元时，才能获得最大利润。【例20】 （2008苏州）如图，帆船和帆船在太湖湖面上训练，为湖面上的一个定点，教练船静候于点训练时要求两船始终关于点对称以为原点，建立如图所示的坐标系，轴，轴的正方向分别表示正东、正北方向设两船可近似看成在双曲线上运动湖面风平浪静，双帆远影优美训练中当教练船与两船恰好在直线上时，三船同时发现湖面上有一遇险的船，此时教练船测得船在东南方向上，船测得与的夹角为，船也同时测得船的位置（假设船位置不再改变，三船可分别用三点表示）（1）发现船时，三船所在位置的坐标分别为和；（2）发现船，三船立即停止训练，并分别从三点出发船沿最短路线同时前往救援，设两船的速度相等，教练船与船的速度之比为，问教练船是否最先赶到？请说明理由【解析】 （1）；（2）作轴于，连和的坐标为，在的东南方向上，又为正三角形由条件设：教练船的速度为，两船的速度均为4则教练船所用的时间为：，两船所用的时间均为：，教练船没有最先赶到【点评】此题当中在求解的长度的时候，题中解析运用了三角函数，但是老师在讲解此题的时候可以从勾股定理入手，根据学生的实际情况而定家庭作业【习题1】 (2006年南通市中考题)直线()与双曲线交于(，)，(，)两点，求的值.【解析】 ，又，原式.【习题2】 (威海市中考题)如图，点(，)，(，)都在反比例函数的图象上 求，的值； 如果为轴上一点，为轴上一点，以点， 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线的函数表达式 【解析】 根据题意可得，即，所以，.直线MN的函数表达式为.【习题3】 (05年河南中考题)已知一次函数与反比例函数()的图象在第一象限内的交点为(，)求的值. 求一次函数和反比例函数的解析式.【解析】 ，.【习题4】 （2009年济宁市）如图，和都与轴和轴相切，圆心和圆心都在反比例函数的图象上，则图中阴影部分的面积等于 . 【解析】 由于圆是与坐标轴相切的，且圆的半径相等，即点的横纵坐标相等，又在上，所以 结合反比例函数是中心对称图形即所求的阴影部分面积为圆的面积。故面积。【习题5】 （2009年福州）已知,是反比例函数图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别