2011年高考数学试题分类汇编_专题圆锥曲线_理.doc

2011年高考试题数学（理科）圆锥曲线一、选择题:1. (2011年高考山东卷理科8)已知双曲线的两条渐近线均和圆c:相切,且双曲线的右焦点为圆c的圆心,则该双曲线的方程为(a) (b) (c) (d) 【答案】a【解析】由圆c:得:,因为双曲线的右焦点为圆c的圆心(3,0),所以c=3,又双曲线的两条渐近线均和圆c相切,所以,即,又因为c=3,所以b=2,即,所以该双曲线的方程为,故选a.2. (2011年高考辽宁卷理科3)已知f是抛物线y2=x的焦点，a，b是该抛物线上的两点，则线段ab的中点到y轴的距离为 a b1 c d答案：c解析：设a，b的横坐标分别是，由抛物线定义，得，故，,故线段ab的中点到轴的距离为3. (2011年高考全国新课标卷理科7)设直线l过双曲线c的一个焦点，且与c的一条对称轴垂直，l与c交于 a,b两点，为c的实轴长的2倍，则c的离心率为（a） （b） （c）2 （d）3答案：b解析：由题意知，为双曲线的通径，所以，又，故选b.点评：本题考查双曲线标准方程和简单几何性质，通过通经与长轴的4倍的关系可以计算出离心率的关键的值，从而的离心率。4.(2011年高考浙江卷理科8)已知椭圆与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点，若恰好将线段三等分，则（a） （b） （c） （d）【答案】 c【解析】由恰好将线段ab三等分得，由 又 ，故选c5.(2011年高考安徽卷理科2)双曲线的实轴长是（a）2 (b) (c) 4 (d) 4【答案】a【命题意图】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质.属容易题.【解析】可变形为，则，.故选c.6. (2011年高考湖南卷理科5)设双曲线的渐近线方程为，则的值为 a.4 b. 3 c. 2 d. 1答案：c解析：由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知。7.(2011年高考湖北卷理科4)将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为，则a. b. c. d. 答案：cxyofabcd解析：根据抛物线的对称性，正三角形的两个顶点一定关于x轴对称，且过焦点的两条直线倾斜角分别为和，这时过焦点的直线与抛物线最多只有两个交点，如图所以正三角形的个数记为，所以选c.8.(2011年高考陕西卷理科2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是 （a） （b） （c） （d）【答案】b【解析】：设抛物线方程为，则准线方程为于是9. (2011年高考四川卷理科10)在抛物线上取横坐标为，的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切，则抛物线顶点的坐标为( )（a） （b） （c） （d）答案：a解析：由已知的割线的坐标,设直线方程为，则又10. (2011年高考全国卷理科10)已知抛物线c：的焦点为f，直线与c交于a，b两点则=(a) (b) (c) (d) 【答案】d【解析】：，准线方程为，由则，由抛物线的定义得由余弦定理得 故选d11(2011年高考福建卷理科7)设圆锥曲线r的两个焦点分别为f1，f2，若曲线r上存在点p满足=4:3:2，则曲线r的离心率等于a b或2 c2 d【答案】a二、填空题:1.(2011年高考辽宁卷理科13)已知点（2,3）在双曲线c：（a0，b0）上，c的焦距为4，则它的离心率为_.2.(2011年高考浙江卷理科17)设分别为椭圆的焦点，点在椭圆上，若;则点的坐标是 .【答案】 【解析】设直线的反向延长线与椭圆交于点，又，由椭圆的对称性可得，设，又，解之得，点a的坐标为.3. (2011年高考江西卷理科14)若椭圆的焦点在轴上，过点（1，）作圆的切线，切点分别为a,b，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 【答案】【解析】因为一条切线为x=1,且直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，所以椭圆的右焦点为(1,0),即,设点p（1，）,连结op,则opab,因为,所以,又因为直线ab过点(1,0),所以直线ab的方程为,因为点在直线ab上,所以,又因为,所以,故椭圆方程是.解析：由椭圆的的定义知，又因为离心率，因此，所求椭圆方程为：；点评：本题考查椭圆的定义、标准方程以及简单的几何性质。要注意把握.5.(2011年高考重庆卷理科15)设圆位于抛物线与直线所组成的封闭区域（包含边界）内，则圆的半径能取到的最大值为 解析：。 为使圆的半径取到最大值，显然圆心应该在x轴上且与直线相切，设圆的半径为，则圆的方程为，将其与联立得：，令，并由，得：6. (2011年高考四川卷理科14)双曲线p到左准线的距离是 . 答案：16解析：由双曲线第一定义，|pf1|-|pf2|=16，因|pf2|=4，故|pf1|=20，（|pf1|=-12舍去），设p到左准线的距离是d，由第二定义，得，解得.7. (2011年高考全国卷理科15)已知f1、f2分别为双曲线c: - =1的左、右焦点，点ac，点m的坐标为(2，0)，am为f1af2的平分线则|af2| = .【答案】6【解析】：，由角平分线的性质得又 8(2011年高考北京卷理科14)曲线c是平面内与两个定点f1（-1，0）和f2（1，0）的距离的积等于常数的点的轨迹.给出下列三个结论： 曲线c过坐标原点； 曲线c关于坐标原点对称；若点p在曲线c上，则fpf的面积大于a。其中，所有正确结论的序号是 。【答案】9(2011年高考上海卷理科3)设为常数，若点是双曲线的一个焦点，则 。【答案】16三、解答题:1. (2011年高考山东卷理科22)（本小题满分14分）已知动直线与椭圆c: 交于p、q两不同点，且opq的面积=,其中o为坐标原点.（）证明和均为定值;（）设线段pq的中点为m，求的最大值；（）椭圆c上是否存在点d,e,g，使得?若存在，判断deg的形状；若不存在，请说明理由.【解析】（i）解：（1）当直线的斜率不存在时，p，q两点关于x轴对称，所以因为在椭圆上，因此又因为所以；由、得此时 （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为由题意知m，将其代入，得，其中即（*）又所以因为点o到直线的距离为所以，又整理得且符合（*）式，此时综上所述，结论成立。 （ii）解法一： （1）当直线的斜率存在时，由（i）知因此 （2）当直线的斜率存在时，由（i）知所以 所以，当且仅当时，等号成立.综合（1）（2）得|om|pq|的最大值为解法二：因为 所以即当且仅当时等号成立。因此 |om|pq|的最大值为 （iii）椭圆c上不存在三点d，e，g，使得证明：假设存在，由（i）得因此d，e，g只能在这四点中选取三个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过原点，与矛盾，所以椭圆c上不存在满足条件的三点d，e，g.2.(2011年高考辽宁卷理科20)（本小题满分12分）如图，已知椭圆c1的中心在原点o，长轴左、右端点m，n在x轴上，椭圆c2的短轴为mn，且c1，c2的离心率都为e，直线lmn，l与c1交于两点，与c2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为a，b，c，d.（i）设，求与的比值；（ii）当e变化时，是否存在直线l，使得boan，并说明理由解：（i）因为c1，c2的离心率相同，故依题意可设设直线，分别与c1，c2的方程联立，求得 4分当表示a，b的纵坐标，可知 6分 （ii）t=0时的l不符合题意.时，bo/an当且仅当bo的斜率kbo与an的斜率kan相等，即解得因为所以当时，不存在直线l，使得bo/an；当时，存在直线l使得bo/an.2.(2011年高考安徽卷理科21)（本小题满分13分）设，点的坐标为（1,1），点在抛物线上运动，点满足，经过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足,求点的轨迹方程。 【命题意图】：本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养。【解析】：由知q,m,p三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设，则，即 再设,由，即，解得 将代入式，消去得 又点b在抛物线上，所以，再将式代入得 ，即，即，因为，等式两边同时约去得 这就是所求的点的轨迹方程。【解题指导】：向量与解析几何相结合时，关键是找到表示向量的各点坐标，然后利用相关点代入法或根与系数关系解决问题，此外解析几何中的代数式计算量都是很大的，计算时应细致加耐心。3. (2011年高考全国新课标卷理科20)（本小题满分12分） 在平面直角坐标系xoy中，已知点a(0,-1)，b点在直线y = -3上，m点满足mb/oa， maab = mbba，m点的轨迹为曲线c。（）求c的方程；（）p为c上的动点，l为c在p点处得切线，求o点到l距离的最小值。解析; ()设m(x,y),由已知得b(x,-3),a(0,-1).所以=（-x,-1-y）, =(0,-3-y), =(x,-2).再由题意可知（+）=0, 即（-x,-4-2y）(x,-2)=0.所以曲线c的方程式为y=x-2.()设p(x,y)为曲线c：y=x-2上一点，因为y=x,所以的斜率为x因此直线的方程为，即。则o点到的距离.又，所以当=0时取等号，所以o点到距离的最小值为2.点评：此题考查曲线方程的求法、直线方程、点到直线的距离、用不等式求最值以及导数的应用等。要把握每一个环节的关键。4. (2011年高考天津卷理科18)（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点已知为等腰三角形（）求椭圆的离心率；（）设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程解：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.满分13分. （i）解：设 由题意，可得即整理得（舍），或所以（）解:由（）知,可得椭圆方程为.直线方程为,a,b两点的坐标满足方程组,消去y并整理,得,解得,得方程组的解,不妨设,设点的坐标为,则,.由得,于是,由，即,化简得,将代入,得,所以,因此,点的轨迹方程是.5.(2011年高考浙江卷理科21)（本题满分15分）已知抛物线:，圆:的圆心为点m（）求点m到抛物线的准线的距离；（）已知点p是抛物线上一点（异于原点），过点p作圆的两条切线，交抛物线于a，b两点，若过m，p两点的直线垂直于ab，求直线的方程【解析】（）由得准线方程为，由得m，点m到抛物线的准线的距离为（）设点 ， 由题意得设过点的圆的切线方程为即 则即设，的斜率为（）则是上述方程的两个不相等的根，将代入得由于是方程的根故，所以，由得解得点的坐标为直线的方程为.6. (2011年高考江西卷理科20)（本小题满分13分）是双曲线e：上一点，m，n分别是双曲线e的左、右顶点，直线pm，pn的斜率之积为（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线e的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于a，b两点，o为坐标原点，c为双曲线上一点，满足，求的值解：（1）已知双曲线e：，在双曲线上，m，n分别为双曲线e的左右顶点，所以，直线pm，pn斜率之积为而，比较得（2）设过右焦点且斜率为1的直线l：，交双曲线e于a，b两点，则不妨设，又，点c在双曲线e上：*（1）又 联立直线l和双曲线e方程消去y得：由韦达定理得：，代入（1）式得：7. (2011年高考湖南卷理科21) （本小题满分13分）如图7，椭圆的离心率为，轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长.求，的方程；设与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于点，直线，分别与相交于点，.()证明： ;()记,的面积分别为，问：是否存在直线，使得？请说明理由.解：由题意知，从而，又，解得，故，的方程分别为，（）由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为由得设，则是上述方程的两个实根，于是又点，所以故即（ii）设直线的斜率为，则直线的方程为，由解得或，则点的坐标为又直线的斜率为 ，同理可得点b的坐标为.于是由得，解得或，则点的坐标为；又直线的斜率为，同理可得点的坐标于是因此由题意知，解得或又由点的坐标可知，所以故满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和评析：本大题主要考查抛物线、椭圆的标准方程的求法以及直线与抛物线、椭圆的位置关系，突出解析几何的基本思想和方法的考查：如数形结合思想、坐标化方法等.8. (2011年高考广东卷理科19)设圆c与两圆中的一个内切，另一个外切.（1）求c的圆心轨迹l的方程.（2）已知点且p为l上动点，求的最大值及此时点p的坐标.【解析】（1）解：设c的圆心的坐标为，由题设条件知化简得l的方程为 （2）解：过m，f的直线方程为，将其代入l的方程得解得因t1在线段mf外，t2在线段mf内，故，若p不在直线mf上，在中有故只在t1点取得最大值2。9. (2011年高考湖北卷理科20)（本小题满分13分）平面内与两定点连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上a1、a2两点所在所面的曲线c可以是圆、椭圆或双曲线.()求曲线c的方程，并讨论c的形状与m的位置关系；()当m=-1时，对应的曲线为c1：对给定的，对应的曲线为c2，设f1、f2是c2的两个焦点，试问：在c1上，是否存在点n，使得f1nf2的面积，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.解：本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想。（满分14分） 解：（i）设动点为m，其坐标为， 当时，由条件可得即，又的坐标满足故依题意，曲线c的方程为当曲线c的方程为是焦点在y轴上的椭圆；当时，曲线c的方程为，c是圆心在原点的圆；当时，曲线c的方程为，c是焦点在x轴上的椭圆；当时，曲线c的方程为，c是焦点在x轴上的双曲线.（）由（）知，当时，c1的方程为；当时，c2的两个焦点分别为，.对于给定的，c1上存在点使得的充要条件是由得，由得，当，即，或时，存在点n，使：当，即，或时，不存大满足条件的点n.当时，由，可得令，,则由，可得，从而，于是由，可得，即，综上可得：当时，在c1上，存在点n，使得，且;当时，在c1上，存在点n，使得，且;当时，在c1上，不存在满足条件的点n.10.(2011年高考陕西卷理科17)（本小题满分12分）如图，设是圆珠笔上的动点，点d是在轴上的投影，m为d上一点，且（）当的在圆上运动时，求点m的轨迹c的方程；（）求过点（3，0）且斜率为的直线被c所截线段的长度。【解析】：（）设m的坐标为，的坐标为 由已知得在圆上，即c的方程为（）过点（3，0）且斜率为 的直线方程为，设直线与c的交点为，将直线方程代入c的方程，得，即。线段ab的长度为注：求ab长度时，利用韦达定理或弦长公式求得正确结果，同样给分。11.(2011年高考重庆卷理科20)（本小题满分12分，第一问4分，第二问8分）如图（20），椭圆的中心为原点o，离心率，一条准线的方程为。（）求该椭圆的标准方程。（）设动点p满足,其中m,n是椭圆上的点。直线om与on的斜率之积为。问：是否存在两个定点，使得为定值。若存在，求的坐标；若不存在，说明理由。解析：（）由，解得，故椭圆的标准方程为 （）设，,则由得，即，因为点m,n在椭圆上，所以故 ，设分别为直线om，on的斜率，由题意知，因此，所以，所以p点是椭圆上的点，设该椭圆的左右焦点为，则由椭圆的定义，为定值，又因，因此两焦点的坐标分别为12(2011年高考四川卷理科21) (本小题共l2分) 椭圆有两顶点a(-1，0)、b(1，0)，过其焦点f(0，1)的直线l与椭圆交于c、d两点，并与x轴交于点p直线ac与直线bd交于点q (i)当|cd | = 时，求直线l的方程； (ii)当点p异于a、b两点时，求证：为定值. 解析：由已知可得椭圆方程为，设的方程为为的斜率.则，的方程为.13.(2011年高考全国卷理科21)已知o为坐标原点，f为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过f且斜率为的直线与c交与a、b两点，点p满足()证明：点p在c上；（）设点p关于点o的对称点为q，证明：a、p、b、q四点在同一圆上.【解析】： ()证明：由，由设，故点p在c上（）法一：点p，p关于点o的对称点为q，即，同理即， a、p、b、q四点在同一圆上.法二：由已知有则的中垂线为：设、的中点为则的中垂线为：则的中垂线与的中垂线的交点为到直线的距离为即、四点在同一圆上。nmpaxybc14. (2011年高考江苏卷18)如图，在平面直角坐标系中，m、n分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于p、a两点，其中p在第一象限，过p作x轴的垂线，垂足为c，连接ac，并延长交椭圆于点b，设直线pa的斜率为k（1）当直线pa平分线段mn，求k的值；（2）当k=2时，求点p到直线ab的距离d；（3）对任意k0，求证：papb【解析】（1）因为、,所以mn的中点坐标为(-1,),又因为直线pa平分线段mn，所以k的值为(2)因为k=2,所以直线ap的方程为,由得交点p()、a(),因为pcx轴，所以c（)，所以直线ac的斜率为1，直线ab的方程为，所以点p到直线ab的距离d=.（3）法一：由题意设，a、c、b三点共线，又因为点p、b在椭圆上，两式相减得：法二：设,a、c、b三点共线，又因为点a、b在椭圆上,两式相减得：,15(2011年高考北京卷理科19)（本小题共14分）已知椭圆.过点（m,0）作圆的切线i交椭圆g于a，b两点.（i）求椭圆g的焦点坐标和离心率；（ii）将表示为m的函数，并求的最大值.解：（）由已知得所以所以椭圆g的焦点坐标为离心率为（）由题