高中数学教师教学论文（Pdf，内含4份） .pdf

第 1 页 共 20 页 关于概率为零与不可能事件的探讨 关于概率为零与不可能事件的探讨 汕尾市田家炳中学 黄生祝 汕尾市田家炳中学 黄生祝 内容摘要：众所周知，一定会发生的事件是必然事件，其概率为 1，一定不会 发生的事件是不可能事件，其概率为 0但是概率为 0 的事件一定是不可能事件 吗?针对概率为零和不可能事件之间的关系问题，本文主要通过几个实例介绍离 散型随机变量和连续型随机变量的一般性质，并详细分析当取单个值时，离散型 随机变量和连续型随机变量的本质区别，从而可以了解在不同情况下，概率为零 和不可能事件之间的联系。 关键词：离散 连续 单个值 趋向于零 概率为零 不可能事件 事件的概率是对事件发生的可能性大小的数量描述 概率值大， 就意味着事 件发生的可能性大；概率值小，就意味着事件发生的可能性小；不可能发生的事 件（不可能事件）的概率为零但是，假如一事件的概率为零，该事件就一定是 不可能事件吗？本文将从离散型随机变量和连续型随机变量对此问题进行一些 探讨。我们知道， 随机试验的每一个可能结果称为随机事件，把试验结果作为 自变量，这种变量的取值是带有偶然性的，是不确定的，于是把这种取值带有随 机性的变量称为随机变量， 而离散型随机变量和连续型随机变量二者之间的区别 对于我们深入理解概率论中的重难点问题有着重要的意义。 一、离散型随机变量 一、离散型随机变量 从一个随机实验可能出现的结果来看， 当随机变量可能取到的值是有限个或无 限可列个，这种变量称为离散型随机变量。例 1：抛一枚硬币出去后，正面朝上 记作 1， 反面朝上记作 0， 设出现的结果用变量 x 表示， 则 x 是离散型随机变量， x 的取值是有限的两种情况（0 和 1） ，概率均为 1/2。例 2：一个射手击中目标 的概率为 0.7,射手连续向目标射击，直到击中目标为止，设射手总的射击次数 用 y 来表示，很明显，y 也是一个离散型随机变量，y 的取值是正整数，最小值 是 1，最大可以是无穷大，y 的取值虽然是无穷的，但还可以一一列出来（无限 可列） ，从而取任一整数时的概率还可以列出，例如当 y 取值为 20 时，即前面 19 次没有击中，第 20 次才击中，所以概率为 0.3 19*0.7，所以当 y 取值为 i 时， 第 2 页 共 20 页 p（y=i）=0.3 i-1*0.7。 从这两个例子可以看出，离散型随机变量对于单个值都有相应的概率，例 1 中 x 除了 0 和 1 之外不存在第 3 个取值，例如当 x=4 时就是一个不可能事件，p （x=4）=0，例 2 中，y 的取值必须是大于或者等于 1 的所有整数，除此之外没 有其他的情况，例如当 y=-1 时就是一个不可能事件，p（y=-1）=0。 通过这两个例子可以得出离散型随机变量的普遍结论： 概率为零即意味着是不 可能事件，反过来当一个事件是不可能事件时，则该事件的概率必为零，即二者 之间是等价关系。 二、连续型随机变量 二、连续型随机变量 在一个随机实验中，当随机变量的取值不仅是无限可列多个，而是可以取到某 个区间a,b或全体实数 r 上的任一实数，这样的变量称为连续型随机变量。 例 3：假设 a 地到 b 地的长途汽车每隔 3 个小时发一班车，某个人来到起点站 之前并不知道发车的时刻表，试问他等待的时间少于半小时的概率。 由于这位乘客预先不知道发车时刻表，他来到车站的时间是任意的，我们不妨 假定前一班车出发的时间为 t=0，那么后一班车的发车时间为 t=3，而该乘客在 （0,3）这一时间间隔内任一时刻来到的可能性是一样的，用 t 表示他等待的时 间，则 t 是一个连续型随机变量，t 可取（0,3）区间内的任一值，而且它取到 任一值的概率都是一样的。记“等待时间少于半小时”为事件 c，它在什么情况 下才会发生呢？显然只有当该乘客在（2.5,3） 区间内到达车站， 即当 t 取值于 （2.5,3）区间时，事件 c 才会发生，因此 p（c）=0.5/3=1/6。 例 4： 设某地人们的体重 w 符合一个正 态分布 （数学期望 = 55， 标准差 =1 0） （单位： 公斤） ， 即 wn （55， 100） ， (密度函数如下图)试求任选一个人， 他的体重在区间45，65中的概率。 在这个问题中，随机变量 w 就是一个 连续型随机变量，从理论上说 w 的取 值可以是全体正实数上的任一实数， 当然一般情况下，w 的取值应该在 0 到 300 之间，在此之外的情况可能性已经很 x=55 x y 0 第 3 页 共 20 页 小，几乎可以忽略。设这个正态分布的分布函数为 f(x)，所求概率可以用分布 函数列出：p(45w65)=f(65)-f(45)。 从例 3 和例 4 可以发现，连续型随机变量的取值范围可以是区间0，3内的任 一实数，也可以是全体正实数上的任一实数，对于连续型随机变量取某一范围内 的值都有相应的概率。当然连续型随机变量的取值范围可以是全体实数 r,只是 大多只讨论取值为正数的情况。 既然连续型随机变量对于某一区间内的值都有相应的概率， 那么连续型随机变 量对于某一单个值相应的概率又是多少呢？如果单个值的概率等于某一具体正 数，考虑到连续型随机变量的取值有无数个，则所有概率之和肯定大于 1，这种 情况是不可能的，如果单个值的概率无穷大就更加不可能了，所以单个值的概率 只可能等于零了。事实上连续型随机变量取单个值并非完全不可能（不是不可能 事件） ，而且取不同单个值的可能性似乎不一样，比如例 4 中的正态分布，数学 期望为 55 公斤，很明显体重取 55 公斤比取 200 公斤的可能性要大，毕竟体重 55 公斤（普通）的人要比体重 200 公斤（特别胖）的人要多。那么如何理解这 种情况呢？本人认为事实上连续型随机变量取单个值的可能性都是趋向于零的， 虽然对于不同的单个值，趋向于零的速度各不相同，但毕竟都趋向于零，比如当 n 趋向于无穷大时，1/n 趋向于零的速度小于 1/n 2趋向于零的速度。既然取单个 值的可能性都趋向于零，于是根据极限的含义取单个值的概率就等于零了。所以 在连续型随机变量概率计算中很容易得到如下关系式：p(axb)= p(ax b)= p(axb)= p(axb)。 对于连续性随机变量， 因为点是没有长度的， 所以该点的概率密度积分为零 （因 为该点概率密度值有界） ，即该点所对应的事件发生的概率为零，但这个事件仍 然是可能发生的，因为这个事件在事件域内。也就是说，概率为零的事件并不一 定不会发生。总之，对于连续性随机变量，讨论单个点的概率是没有意义的（都 为零） 。 总结：对于离散型随机变量，有意义的是取单个值的概率，而且所有单个值概 率之和为 1。概率为零和不可能事件之间是等价的关系，即二者之间可以相互推 导。 对于连续型随机变量而言，有意义的是取某一区间内的值的概率，密度函数曲 第 4 页 共 20 页 线与横轴所围成的面积是 1。对于取单个值，虽然不是不可能事件（有可能） ， 但概率全都等于零，即对于连续型随机变量而言，概率为零和不可能事件之间没 有等价的关系。 像离散型随机变量那样把每一单个值的概率分布一一列出来不但 是不可能的，也是完全没有必要的。 参考文献： 1何超：关于概率为为零的事件与不可能事件，科技咨询j,2008(22) 2朱小宁等， 概率论与数理统计 ，北京，科学出版社，2003,8 探索、开展、应用提高数学课堂教学有效性的着力 点 探索、开展、应用提高数学课堂教学有效性的着力 点 陆丰市东海中学陈桂喜陆丰市东海中学陈桂喜 摘要 摘要 21 世纪是以知识的创新和应用为重要特征的知识经济时代，面对日新月 异的科学技术的发展，我国现行的基础教育课程存在的问题、弊端明显地突现出 来，突出表现在不适应全面推进素质教育的要求，不适应时代发展的要求。这就 要求教师改变传统的教学观念， 改革课堂教学， 改革学生传统的教学的学习方式。 面对新课程改革，为使教学取得较好的成效，教师在教学的过程中应展开有效的 数学教学活动，注重学生数学创新思维能力的培养，加强教学过程的情感交流， 课堂教学增加丰富多彩的学习形式。 关键词关键词：课堂教学；思维能力；探究学习；情感交流 随着科学技术的日新月异， 社会的不断进步， 对各类人才的要求越来越高。 传统教育方式所培养出来的人才越来越不能满足社会发展的需要，为此，我国进 行了基础教育课程改革。作为培养人才的教育部门，有了新的重要任务，让学生 学会学习、学会自我发展，培养学生的创新和实践能力。为了使教学取得较好的 成效，教师应该改变传统的教学观念，用生动的教学语言、丰富的教学艺术去教 学。在教学过程中增加丰富多彩的学习活动，以培养学生的实践能力；注重培养 学生学习的探究精神，养成学生自主学习的习惯。最终为社会培养有知识、有素 质的全面发展的人才。 数学教学曾被简述为“教师教、学生学的活动” 1。这样的说法对于数学教 学的理解带有片面性。因为，教师的教最终还是要在学生那里才能得到体现和落 第 5 页 共 20 页 实， 是学生在吸收、 消化、 理解、 运用知识。 假若离开了学生的积极主动地学习， 数学教学就会无法正常展开，毕竟，数学教师讲得再好也仅仅是教师所具备的知 识，而不是学生所真正所具有的。所以，对把握好教师自身的位置，充分且恰当 地发挥教师的引导作用，充分调动学生学习的积极性、主动性是数学教育重要观 念的体现。为了更好地体现数学课程标准所倡导的数学教学观念，那么可以 展开哪些有效的数学教学活动呢？ （一）鼓励学生自主探索与合作交流 （一）鼓励学生自主探索与合作交流 有效的数学学习过程不能是单纯地依赖模仿与记忆， 教师应引导学生主动地 从事观察、试验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，从而使学生形成自己对 数学知识的理解和有效的策略。 数学课程标准注意用多种方式来表达数学规律的 模型，如代数式、方程、不等式等等。所以，在教学的过程中应该让学生充分地 经历探索事物的数量关系、变化规律的过程。 例例 1 完成下列的计算？ 1+3=？ 1+3+5=？ 1+3+5+7=？ 1+3+5+7+9=？ 根据所计算结果，探索数字结果呈现的规律，并研究数字延伸至 n 的情况。 教学中，首先要先让学生思考：从上面的这些算式中你们能发现什么？让学 生经历观察比较归纳提出猜想的过程。教学中，不但要注重学生是 否找到了规律，更应关注的是学生是否进行了思考。如果学生找了很久不能独立 发现其中的规律，教师可以鼓励学生相互合作交流、进一步探索，教师也可以提 供一些帮助，以便学生发现其中的规律： 2 1 342+= 2 1 3593+ += 2 1 3 57164+ + += 2 1 3 579255+ + += 进而鼓励学生推测出 2 1 35791910+ + + +=。 教师还可以引导学生把这个问题进一步推广到一般的情形，推出 2 1 357nn+ + += （2 -1），从而把类似的问题引发出来，以供学生一起探索和 研究交流。 （二）提倡学生解决问题策略的多样化 （二）提倡学生解决问题策略的多样化 教师的工作贵在启发，重在信任，让学生有表现自己才华的机会，要让学生 成为学习的主人，把思考的时间留给学生。倡导学生独立思考解决这个问题的基 第 6 页 共 20 页 础上，再进行小组交流，每个学生都可以发表自己的观点，倾听同伴的解法，一 起感受解决问题策略的多样化和灵活性，并且比较不同方法的特点，看看那种方 法更好。这样就在保证每个学生基本运算技能的前提下，不同的学生得到不同的 发展，有的学生可能会掌握多种不同的方法，并能很好地表达自己的解题思路。 学生学习数学不应当是被动地吸收课本上的现成的结论， 而应当是每个学生亲自 参与的、 充满丰富思维活动的实践和创新的过程。 所以教师要引导学生主动学习， 即让学生自己经历、理解和反思的过程。 提倡解决问题策略的多样化，也是鼓励和提倡个性化的学习。数学教育并不 是只为了学生形成高效、统一的固定做法和熟练的技能，还要注重发展学生的思 维能力。在教学的过程中，要让所有的学生都能积极地参加讨论、激发学生的思 维，培养学生独立运用数学知识思考与创造的意识，促进学生创新能力的发展。 在课堂教学的过程中，应该让学生大胆、明确地表达自己的想法，强化其合理判 断与理性沟通的能力，在师生、生生互动中建构数学知识，最终把问题给解决。 例例 2 下面用一个案例用火柴棒搭正方形来分析,如图： （a） (b) (c) 由图（a）可知，搭一个正方形需要 4 根火柴棒；图（b）知，搭两个正方 形需要 7 根火柴棒，与图（a）相比，增加了 3 根火柴；图（c）知，搭如图所 示的三个正方形需要 10 根火柴棒， 与图 （b） 相比， 又增加了 3 根火柴棒。 那么， 如果用 x 表示所搭正方形的个数， 那么搭 x 个这样的正方形需要多少根火柴棒？ 解答此问题，学生的解法可能会有： 第一种：第一个正方形用 4 根，以后每一个正方形都有 3 根，那么搭 x 个正 方形，就需要4+3(x-1)根。 （此法用直观解题，方法简便、快捷。 ） 第二种：因为除第一个正方形外，其余正方形都只用 3 根，如果把第一个也 看成用 3 根，x 个正方形就需要（3x+1）根。 （此法先从整体理解，再巧用特殊 的情况，有一定的灵活性。 ） 第三种：上面一排和下面一排各用了 x 根，竖直方向用了（x+1）根，于是 x 个正方形就需要x+x+(x+1)根。 （此法用拆分的思想来解答，带有一定的开放 性。 ） 第四种：把每一个正方形都看成 4 根搭成，但是除了第一个正方形用 4 根， 后面的（x-1）个正方形都多用 1 根，应减去，于是 x 个正方形需要4x-(x-1) 根。 （与解法二相类似，也是利用整体与特殊结合的思想来解题，有一定的巧妙 第 7 页 共 20 页 性。 ） 这些不同的方法都应给予肯定，它不仅体现了学生思维的活跃性、开放性、 灵活性，也体现了学生解题的多样性。我们应该坚持以学生发展为本，把思考的 时间和空间留给学生的基本观念。 （三）创设情境，激发学生学习兴趣和培养学生应用数学意识及 能力 （三）创设情境，激发学生学习兴趣和培养学生应用数学意识及 能力 心理学研究表明：外部刺激，当它唤起主体的情感活动时，就更容易成为注 意的中心、体验的中心，就能在大脑皮层上形成优势兴奋中心，从而强化理解和 记忆。提供或创设与生活类似的或真实的情境，会利于学生主动去参与，去探索 或发现问题，最终提高了学习的质量。因此，在数学教学的过程中，教师设置恰 当的疑问，引导学生进入问题情境，可以激发学生的学习好奇心和探索的欲望， 从而促使他们积极思考和努力创新。 例例 4 观察如下规律： 0 ()1ab+=，它只有一项，系数为 1； 1 ()abab+=+，它有两项，系数分别为 1，1； 222 ()2abaabb+=+，它有三项，系数分别为 1，2，1； 33223 ()33abaa babb+=+，它有四项，系数分别为 1， 3，3，1； 教师提出思考：左边的次方与项数及系数各自有什么关系呢？ 那么，根据以上的规律，可以得出 4 ()ab+展开式共有几项，系数分别为多 少呢？ 提示：这些式子可以从我国宋朝的数学家杨辉在他的著作详解九章算法 中提出的如图(d)所示的数字来理解，即杨辉三角。 如图： 第 8 页 共 20 页 （d） 根据杨辉三角，可得 4432234 ()464abaa ba babb+=+，它有五项，系 数分别为 1，4，6，4，1； 这样的规律会引起学生思考： 那么当次方变成 n 时， 又将有怎么样的情况， 即 ()nab+=_，共有_项，系数为_。此时 教师可以继续引导学生根据杨辉三角来思考，让学生自己去探索、理解。从这个 例子中可以发现，设计一个合理的情境，引导学生去猜测，去发现新的问题，有 助于引起学生学习的兴趣。 不论在数学课程标准所提及的哪个学段中，教师都应该充分利用学生已 有的生活经验，引导学生把所学的知识应用到现实中去，以体会数学在现实生活 中的应用价值。具体的说法是，学生应该从他们的经验出发，在教师帮助下自己 动手、动脑做数学，逐步发展对数学概念的理解和解决问题的能力。 例例 3 思考下面的问题，然后回答是否可能发生？ 明天下雨 太阳每天从东边升起 摸彩球中奖 一个箱子里有红、白球，摸出来时是黑球 投掷一枚均匀硬币，正面一定朝上 答：必然事件有：；不可能事件有：；不确定事件有： 评析：此例题要求学生利用已有的生活经验，去解决该数学问题，这在一定 程度上培养了学生在学习的过程中应用数学的能力。 (四) 营造平等和谐的师生关系和良好的教学氛围(四) 营造平等和谐的师生关系和良好的教学氛围 在教学的过程中，教师应该改变传统的观念，不能仅把知识传授作为自己的 主要任务和目的，而应该成为学生学习的激发者、辅导者、各种能力的培养者。 1 1 1 1 1 1 1 1 第 9 页 共 20 页 教师的教学方式对学生的学习有深远的影响，如果教师还是以学高者自居， “高 高在上” ，会使学生觉得课堂沉闷，逐渐对学习失去了兴趣。在教学时，创造和 谐融洽的课堂气氛，尊重学生，用平等的心态去面对学生，有助于激发学生学习 的主动性、创造性，同样，学生也会信任、尊重教师，对学习产生兴趣，从而， 师生之间真正达到意义上的交流。师生关系良好，课堂气氛活跃、幽默，这些都 会感染、激发学生去学习。教师在课堂上的一个鼓励的眼神，一个赞许的微笑， 一句贴心的关怀等等，这些都会给学生在学习的过程中带来莫大的动力。曾有一 位男生，很内向，但其学习也很努力，就是不爱开口说话，为了改变他的那种状 况，教师了解了他的情况以后，在课堂上主动叫他回答问题，鼓励他，答不上来 时，叫同桌帮忙回答，还有小组讨论的时候，挑选他作为组长，慢慢地，他的话 变得多了。 在课堂的教学过程中，教师是学生学习的促进者，其主导的作用，所以教师 的一言一行都影响着学生情感情绪的产生。在教学的实施中，教师应该为学生创 造大量的活动机会，在活动中促进学生合作与交流的意识。教师应该以积极的态 度，幽默的语言，热烈的情绪去从事课堂教学，营造良好的教学氛围，带动学生 积极学习的激情。学生的参与状态，也参与程度直接影响了教学的效果。教师应 该优化教学情境、教学的手段，上课一开始就集中学生的注意力，引起学生的兴 趣和求知欲，让学生生动活跃地去学习。 （五）引入开放型题，培养学生的发散思维 （五）引入开放型题，培养学生的发散思维 开放型题是相对于传统的封闭题目而言， 其主要的特征是题目的条件不充分， 或没有确定的结论，也正因为这样，开放型题的解题方法往往也是多种多样的， 因此在数学教育中开放型题有其特殊的功能。 数学开放型题的教学过程是学生主 动建构、 积极参与的过程， 有利于培养学生的数学意识， 真正学会 “数学地思维” 。 数学开放型题的教学过程也是学生探索和创造的过程， 有利培养学生的开拓精神 和创新能力。那么，数学的开放题有那些呢？请看下面的几个例子： 例 5 例 5 空间两条直线平行需要满足什么条件？ 分析： 该题的条件是未知的， 可以通过添加条件使其完整， 即条件是开放的。 例 6 例 6 已知abnr+， ，并且ab，求证： a+n b+n a b . 分析：此题可分别用不同的方法来完成，即解题策略是开放的。 例 7 例 7 在空间中如何确定一个平面？ 分析：该题可根据不同的条件得出不同的结论，即结论是开放的。 从例题中可以知道,数学开放题是指条件开放或结论开放的问题 3。它分为 条件开放、策略开放、结论开放三种基本形式。 从上面的划分来看，通过数学课堂教学来培养学生的综合运用能力，其主要 第 10 页 共 20 页 的方式就是把解决一些与生活比较接近的实际问题作为基本的素材， 让学生在问 题的解决中体会到数学的作用，从而达到培养学生综合能力的目的。 新的教学方式要求教师改变传统的教学方法，真正做到学生学习的引导者、 促进者。为了适应课程的改革和教学的发展，作为人民教师，应该加强专业技能 的学习，提高自身的学术水平和研究的能力，注重课堂教学后的反思，在反思的 过程中不断提高自身的教学水平。新课程改革的过程中，必然会有更大的挑战， 面对这些困难，要求教师在实践中不断地完善教学，提高教学水平，最终使教育 的改革得以实现。教学是艺术，是无止境的，教师要把课上得如同艺术创造的精 品，实非一朝一夕之功，要有意识地长期追求和探索。 参考文献 参考文献 1 易中建.课堂教学要讲究自然j.数学通报，2012 年第 1 期 2 刘舸，王璐.利用教学“错误资源”,提高课堂教学的有效性j.中国数 学教育，2012 年第 06 期 3 张双库. 数学有效教学的实践与思考j.数学教学研究，2011 年第 07 期 4 张奠宙，宋乃庆数学教育概论m.高等教育出版社2009 年 5 郑兆顺新课程中学数学教学法的理论与实践m北京：国防工业出 版社2006 年 6 陆书环，傅海伦数学教学论m北京：科学出版社2004 年 7 何光峰数学开放题及其教学的研究综述j数学通报，2001 年第 5 期 如何培养学生牢固掌握高中数学基础知识 汕尾市城区中学 陈登洪 高中数学教学的目的之一就是要教会学生运用所学的数学基础知识去解决 一些实际问题， 所以牢固掌握高中数学基础知识是我们每一位教师都需要认真探 讨的一个问题。 下面就谈谈我对培养学生牢固掌握高中数学基础知识的一些看法： 一、把抽象、难理解的概念形象化、具体化、简单化 第 11 页 共 20 页 （1）通过动手操作和小组讨论，用自己的语言来理解概念 例如：在讲解圆锥曲线中椭圆的定义时，我提前要求每一位学生在课前准 备好一条长细绳、一张白纸、一块薄木板、两颗小细钉、一支铅笔。在课堂上， 我先让学生按照教材指导步骤一步一步的操作， 几分钟后他们就在白纸上画出了 一个椭圆，这时候我再让各个学习小组讨论这样一个问题：依据作椭圆的方法， 探讨椭圆的定义。经过几分钟的讨论，我找两个小组来谈谈他们讨论的结果，发 现他们在给椭圆下定义时都忽略了“定值要大于两个定点的距离”这样一个重要 性条件。接下来我又提出一个问题：如果把细绳截成与两个小细钉之间的距离一 样长，再作图会怎样呢？一分钟后他们都得出了同样的结果：作不出椭圆，只能 得到一条线段。 而后我又继续要求他们把细绳截成比两个小细钉之间的距离还要 短，再让他们作图，很快也得出了一个结果：无法作出图像。在这堂课上，通过 让学生反复的动手操作、讨论，从而形成椭圆的定义，这样就把一个难懂的概念 牢固的掌握了。 又如：在讲解空间中线与线、线与面、面与面的位置关系时，我发现很多 学生因为刚接触立体几何，很难建构起空间的想象力。于是，我就经常引导他们 利用身边的笔、纸、书等实物来搭建一些立体模型，有时我也要求他们自己画一 个长方体来琢磨这里面的线、面关系。经过这样一个经常动手、分析的过程，最 终很好的把线、面位置关系中的一些抽象概念牢固掌握了。 （2）利用现代信息技术，把一些抽象的概念形象化 例如：我们在讲解立体几何中三视图的问题时，一些学生很难想象出一个 几何体的三视图， 这时我们可以借助多媒体动画形象引导学生去理解三视图的概 念。又如：我们在讲解导数概念时，由于高中学生没有极限的数学思维，那么导 数概念的理解对于他们来说就是一个很抽象的概念了。 我们同样可以借助多媒体 动画来演示导数概念的形成过程，从而达到让学生逐步形成导数的概念的目的。 再如：我们再讲函数图像的变换和三角函数图像时，也可以利用几何画板或者多 媒体动画来帮助学生去认识函数图像的变换规律和理解三角函数的性质。 （3）利用作图、数轴辅助理解抽象概念 例如：我们在讲解集合间的交并补运算时，如果集合是由有限的一些元素 构成，我们可以利用韦恩图来帮助学生去理解它们之间的运算；如果集合是无限 第 12 页 共 20 页 的数集，我们可以借助数轴来帮助学生去认识和理解它们之间的运算；如果集合 是点集，我们可以借助图像来理解它们之间的运算。 二、对于一些易混淆、易忘记的知识选择合适的记忆方法 （1）灵活记忆 如logax的导数公式，这个公式对于学生来说用的比较少很容易忘记，但我 们可以把logax转化为 ln1 ln lnln x x aa =， 然后再结合ln x的导数公式和导数的四则 运算法则，这样就不容易忘记了。再如，在学习三角函数的诱导公式时，由于公 式比较多，如果让学生一个一个的记，不仅容易忘更容易混淆，那么我们可以帮 助学生总结一句口诀“奇变偶不变，符号看象限” ，这样就可以把很多的诱导公 式利用一句话记住了。 （2）类比和对比结合记忆 如在练习中有这样一个题目： 试判断在空间中垂直于同一直线的两条直线的 位置关系？这个题目很多学生的回答结果都是“平行” ；出现这种结果的原因就 是学生缺乏把 “平面中” 和 “空间中” 的问题对比起来记忆， 只知道类比。 再如， 在学习等比数列的定义与性质时， 很多学生容易犯这样的错误： n a是等比数列，若2( , ,)mpq m p qn =+,则 2 mpq aaa=+。 犯这种错误的主要原因是：学生们在记忆定义与性质时，忽略了对比与类比结合 记忆的这样一个原则。比如在处理这个问题上，我首先要求他们把等差与等比的 定义和性质列在一张表格中，再来记忆，这样也就避免了上述的错误。 （3）绘制网络知识结构图 绘制知识结构图能够使基础知识在学生的脑海里形成一个网络，形成对基 础知识的横向和纵向的联系认识，使基础知识掌握更加牢固。 三、抓住公式中字母的意义 例如：学生在应用数列的等差、等比求和公式时，总是忽略公式中这个n的 意义，造成整个题目错误。再如，学生在利用公式tan(, 2 k =为倾斜角） 求斜率时，一些学生就没有注意的实际意义，从而造成解答错误。所以要牢固 掌握基础知识，我们在课堂上有必要刻意强调一下公式中字母的意义。 第 13 页 共 20 页 四、利用形象的语言，刺激学生的注意，加深对知识的印象 如在空间立体几何中会遇到下面一些问题， 我们可以借助一些形象的语言来 加深学生对基础知识的理解与掌握： 直棱柱的性质， 我们可以让学生看粉笔盒。 圆锥的性质，我们可以让学生联想陀螺等。再如，我们在讲幂函数图像时，为 了帮助学生更好的掌握 3 ( )f xx=图像，我们可以跟学生讲 3 ( )f xx=的图像就像 一把椅子等。 五、符号语言与通俗语言相结合 学生在学习立体几何时，需要利用数学的符号语言去证明一些命题。如果学 生在学习时就仅从符号上去记忆定理和性质，他们是很难记牢的，更没有办法灵 活应用它们去证明一些命题。 如果学生能把数学符号语言转化为通俗易懂的语言， 然后结合起来理解记忆，那就事半功倍了。比如在利用线面垂直的性质和线面平 行的判定定理时，他们总会落下一些条件，从而造成在考试当中不必要的失分。 要解决这个问题就必须要求学生把符号语言与通俗语言相结合理解记忆。 六、注意引导学生抓住概念的细节 在学习函数单调性的概念时， 要特别强调单调性是函数在定义域的某个子区 间上具有的性质；在讲解函数奇偶性概念时，要特别强调奇偶性是指函数在整个 定义域上具备什么样的性质。再如线垂直于面的定义是“一条直线垂直于平面内 的所有直线，则这条直线垂直于这个平面” ，在这个定义里面 “所有”这样一个 特殊的词语，我们老师在讲解时就要多引导学生去理解“所有”与“无数”的区 别，从而达到对概念本质的理解。 七、及时且有针对性的巩固练习 要牢固掌握基础知识，及时且有针对性的训练是必不可少的。因为：学生 掌握基础知识就是为了应用到实际中去解决一些问题， 而练习就是为了能够很好 的理解和掌握基础知识。 从心理和生理的角度上讲也需要学生及时的巩固练习 才能达到牢固掌握基础知识。 以教材研究促高中数学教师专业化成长以教材研究促高中数学教师专业化成长 汕尾市陆河县陆河中学 欧阳先平汕尾市陆河县陆河中学 欧阳先平 摘摘 要：要： 教师专业发展是现代教育发展的必然要求和教师自身成长的需要。 随着基础 第 14 页 共 20 页 教育改革的不断深化，教师质量与实施素质教育的要求出现了明显差距，教师专 业能力发展的相对滞后，已无法适应现代教育快速发展的需要。如何做好教师专 业发展规划已成为每一位教师需要面对的课题。 教师专业发展的途径很多，教学理论、教学能力、教研能力、教学方法、教 学反思、教学交流，高中数学解题、编题、命题研究，常规课堂教学研究，高考 复习课堂教学研究等等，都是教师专业发展的有效途径，其中课堂教学研究是教 师专业成长途径中最迫切、最有效的途径之一。 关键词：教材研究关键词：教材研究 高中数学 高中数学 专业成长 专业成长 “教师是课程的实施者、决策者和创造者。”在教学实践中必须创造性地 理解和使用教材。教材研究是“创造性地理解和使用教材”的必然途径。追踪高 中数学骨干教师们的成长足迹，笔者发现以教材研究促进高中数学教师的专业化 成长是每位高中教师实现自身专业化发展最有效、最直接的途径之一。 一、研究初高中教材的衔接问题，增进把握教学内容的科学性研究初高中教材的衔接问题，增进把握教学内容的科学性 学习是积累性的。也就是说，一切新的学习都是在已有知识经验的基础上， 通过意义建构的方式获得的。课程改革以来,初高中数学教材的衔接问题日益突 出。不少学生，在开始学习高中数学时深感困难。特别是近两年来，随着普及高 中教育进程的不断推进，高中入学分数越来越低，使大量学业水平较低的新生进 入高级中学，给高中数学教学带来了一定困难。因此，如何处理好高、初中数学 教学的衔接与过渡，已成为高中数学教学迫切需要解决的问题。 1.研究脱节知识点。 1.研究脱节知识点。 素质教育，让很多初中数学知识点成为了“减负”的牺牲品。作为一名高中 教师，应该弄清楚哪些知识点初中已不作要求或是降低了要求，但高中却仍然重 要，这就是所谓的“脱节点” 。 如：二次函数、二次不等式与二次方程的联系， 根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，就算偶尔涉及也仅限于简单常规 运算和难度不大的应用题型；而在高中二次函数、二次不等式与二次方程及其相 互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的课时讲授，只在必修五讲二次 不等式时对二次函数与二次方程作了一些简单对比。 又如： 几何部分很多概念 （如 重心、 垂心等） 和定理 （如平行线分线段成比例定理， 射影定理， 相交弦定理等） 初中生大都不需要学习，而高中却都要涉及或应用等等。对于这些知识，在高中 第 15 页 共 20 页 数学教学过程中，当要用到或涉及到相应的知识点时，教师必须合理地安排教学 时间，作好前期铺垫，让教学内容的过渡与衔接更自然、更和谐，让教学内容的 掌控更具合理性和科学性。 2.研究脱节的数学思想与方法 2.研究脱节的数学思想与方法 数学思想与方法是数学的灵魂，对数学教学有着重要的促进和指导作用。它 不仅是学生形成良好认知结构的纽带，还是由知识转化为能力的桥梁，是培养学 生数学意识，形成优良思维素质的关键，因此数学老师要有加强数学思想方法教 学的意识并在数学教学过程中不断地渗透和挖掘。 高中数学突出四大能力，即运算能力，空间想象能力，逻辑推理能力和分析 问题解决问题的能力； 同时还渗透四大数学思想方法， 即数形结合， 函数与方程， 等价与变换，分类与讨论。这些虽然在初中教学中有所体现，但在高中教学中才 能充分反映出来。 像配方法、 换元法、 待定系数法、 判别式法初中教学大大弱化， 不利于高中知识的讲授。 高中教师应该首先弄清楚这些思想与方法在初中的要求 和学生掌握的情况，同时也要明确高中教材对思想与方法的最高要求，从中找出 初、高中的差距，并在高中教学过程中合理设计教学策略，以便最终实现大纲要 求的能力目标。 二、研究各模块之间的知识体系，提高教师对教学内容的重组能力研究各模块之间的知识体系，提高教师对教学内容的重组能力 教材是为学生服务，为教者服务的。新课标将高中数学知识模块化，给教师 带来了教学的新理念，教师应灵活地使用教材，才能达到最佳教学效果。但我们 也时常看到，有些教师过分依赖教材、教参，对教材亦步亦趋，教材成了教者的 “紧箍咒”，学生的“枷锁”。 我们应该清醒的认识到，教材仅仅为教师提供 了一个个范例，唯书至上的思想与新的教育理论是相悖的。在新的理念指导下， 用好教材，创造性地使用教材，是一个十分迫切的问题，教师可以凭借自己的学 识、经验和个性，根据学生的实际情况，从不同的角度重组教材，使教材更好地 服务于教学。 1.必修模块之间教学顺序的重组。 1.必修模块之间教学顺序的重组。 高中数学教材亟待解决的一个问题是模块教学与知识体系问题。 模块教学要 求小步走，螺旋式上升，这使得某些知识体系被打乱，一类知识被分成了几个不 同部分， 分散于不同模块， 没有了体系， 从而导致了教学出现跳跃式地讲授知识， 第 16 页 共 20 页 许多工具性的内容后置或被删除。如集合、函数中都用到的一元二次不等式的知 识，要到必修五才出现。螺旋式上升与新课程倡导的积极主动、勇于探索的学习 方式也存在着不和谐之处。 解决必修五个模块的教学顺序问题更是一线教师必须 思考的问题。为此，我们必须先清楚五个必修模块的教学内容及其联系，拟定出 比较合理的教学顺序，使教学内容过渡更合理、更自然。 2.选修与必修内容的重组 2.选修与必修内容的重组 新教材将同一类知识或相关联的知识分成几个不同部分，分散于不同模块。 如函数， 导数与定积分， 函数在必修一模块， 而导数与定积分在选修模块。 以下是集合、映射、函数、导数及定积分的知识体系图： 集合 映射 概念 元素、集合之间的关系 运算：交、并、补 数轴、venn 图、函数图象 性质 确定性、互异性、无序性 定义 表示 解析法 列表法 三要素 图象法 定义域 对应关系 值域 性质 奇偶性 周期性 对称性 单调性 定义域关于原点对称，在 x0 处有定义的奇函数f (0)0 1、函数在某个区间递增(或减)与单调区间是某个区间的含义不同；2、证 明单调性：作差（商） 、导数法；3、复合函数的单调性 最值 二次函数、基本不等式、打钩（耐克）函数、 三角函数有界性、数形结合、导数. 幂函数 对数函数 三角函数 基本初等函数 抽象函数 复合函数 赋值法、典型的函数 函数与方程 二分法、图象法、二次及三次方程根的分布 零点 函数的应用 建立函数模型 使解析式有意义 导数 函数 基本初等函数的导数 导数的概念 表示方法 换元法求解析式 分段函数 几何意义、物理意义 注意应用函数的单调性求值域 周期为 t 的奇函数f (t)f (t 2)f (0)0 复合函数的单调性：同增异减 三次函数的性质、图象与应用 一次、二次函数、反比例函数 指数函数 图象、性质 和应用 平移变换 对称变换 翻折变换 伸缩变换 图象及其变换 第 17 页 共 20 页 从以上知识体系框图， 我们可以看到， 导数的学习是奠定在函数基础之上的。 如果把函数与导数放到一块学习，不仅有利于知识的系统性与完整性，也更符合 学生的认知规律。因此，在高中数学中，哪些知识之间存在关联，怎么合理的整 合才更有利于教学，已经成为我们每个专业教师需要思考和研究的课题。 三、研究新课程标准，明确教材功能，提高教师对教材内容的调控能力。研究新课程标准，明确教材功能，提高教师对教材内容的调控能力。 课标教材， 一个比较突出的矛盾就是教学容量与课时的矛盾。 解决这一矛盾， 首先取决于我们对教材内容的把握和处理。这需要我们明确教材功能，使教学内 容做到详略得当，恰到好处。 1.准确理解新课程标准的目标要求。1.准确理解新课程标准的目标要求。 高中数学课程的总目标是：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一 步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。其 具体目标是： （1）获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结 论的本质；了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和 方法，以及它们在后续学习中的作用。通过不同形式的自主学习、探究活动，体 验数学发现和创造的历程。 （2）提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能 力。 （3）提高数学提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力，提 高数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。 （4）发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模 式进行思考和作出判断。 （5）提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精 神和科学态度。 第 18 页 共 20 页 （6）具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价 值；形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，从而 进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。 标准是最低要求， 也是学生应该达到的最基本的要求； 标准强调螺旋式上升， 关注三维目标。从教学内容的角度看，学生在高一、高二、高三时期所学数学内 容，是课程标准规定的。这些规定，是专家们多年对数学内容、学生身心发展特 点，以及社会发展要求进行综合研究而制定的。教师对这些规定进行深入研究和 领会，能够增进对教学内容把握的自觉性和科学性，不至于把高三学习的内容放 到高一来教学，也不至于墨守教科书所制定的陈规，真正做到高中三年教学一盘 棋，稳步推进教学，逐步实现各阶段的教学目标。 2.深刻领会教材功能。 2.深刻领会教材功能。 “课标教材”在内容的选择上和知识的呈现方式上都十分关注学生的学习 兴趣，突出“过程与方法”，做到既关注知识产生和发展的过程，又关注学生学 习的自我建构，同时还把学生对数学本质的理解和认识作为重点，特别设置了 “观察”、 “思考”、 “探究”等栏目， 这对学生的学习起到了引领和促进作用。 在新课程理念下，教材的功能发生了变化，教材应当是帮助学生进行学习并学会 学习的工具，是引导学生认识和理解人类已有知识经验的媒介，是促进学生形成 健康的情感态度和正确价值观的催化剂。如何实现课标教材“工具性”“媒介 性”“催化剂”的功能，使自己的教学体现新课程的理念？笔者认为，教师应该 首先熟悉教材的知识结构、明确教材的核心内容、编写意图及其功能，然后辅之 以相应的教学方法，让教学做到有的放矢。 3.进行合理的教学设计。 3.进行合理的教学设计。 教学设计中要把课程标准“内容目标、提示与建议”细化为具体的可操作的 课堂教学目标，以此来指导教师的课堂教学、学生的学习以及学业成绩的评价。 如用模型还是用多媒体，用讲授法还是让学生自主探究等等。习惯上，老师们在 拟定教学设计时往往一课时一课时地进行， 而优秀的教师总是能结合教学要求和 教学实际，有效地整合教学资源