大学线性代数复习题48课时.pdf

第 1 页 共 19 页 一(1)选择题 1. 设 A，B 为 n 阶矩阵，则必有（） A. 222 ()2ABAABBB. 22 ()()AB ABAB C.()()()()AEAEAEAED. 222 () ABA B 2对于n元齐次线性方程组0Ax，以下命题中，正确的是（） (A) 若A的列向量组线性无关，则0Ax有非零解； (B) 若A的行向量组线性无关，则0Ax有非零解； (C) 若A的行向量组线性相关，则0Ax有非零解 (D) 若A的列向量组线性相关，则0Ax有非零解； 3若齐次线性方程组 0 0 02 321 321 321 xxkx xkxx xxx 有非零解，则k必须满足（） 。 （A）4k（B）1k（C）1k且4k（D）1k或4k 4若存在可逆矩阵 C，使 1 BC AC ，则 A 与 B() (A) 相等(B) 相似(C)合同（D)可交换 5.向量组 r , 21 线性相关且秩为 s，则() （A）sr (B)sr (C)rs (D)rs 6矩阵A与B相似的充分条件是（） 。 （A）BA （B）)()(BrAr（C）A与B有相同的特征多项式 （D）n阶矩阵A与B有相同的特征值且n个特征值互不相同。 一(2)选择题 1. 设 A，B 为 n 阶矩阵，则必有（） A. 222 ()2ABAABBB. 22 ()()AB ABAB C.()()()()AEAEAEAED. 222 () ABA B 2、设有n维向量组（） ： 12 , r 和（） ： 12 ,() m mr ，则（） (A)向量组（）线性无关时，向量组（）线性无关； 第 2 页 共 19 页 (B)向量组（）线性相关时，向量组（）线性相关； (C) 向量组（）线性相关时，向量组（）线性相关； (D) 向量组（）线性无关时，向量组（）线性相关 3.设 A 是 n 阶矩阵，O 是 n 阶零矩阵，且 A2-E=O，则必有（） A.A=EB.A=-EC .A=A-1D.|A|=1 4已知向量组2, 5 , 4, 0,0 , 0 , 2,1 , 1, 2 , 1 321 t的秩为 2，则t（ ） 。 （A）3（B）3（C）2（D）2 5矩阵A与B相似的充分条件是（） 。 （A）BA （B）)()(BrAr（C）A与B有相同的特征多项式 （D）n阶矩阵A与B有相同的特征值且n个特征值互不相同。 6.设nm矩阵A的秩等于n，则必有（） 。 （A）nm （B）nm （C）nm （D）nm 一(3)、选择题： 1.已知B为可逆矩阵，则 11 () TT B _ (A)B(B) T B(C) 1 B(D) 1 ()TB 2. 若齐次线性方程组 0 0 0 321 321 321 xxx xxx xxx 有非零解,则（） A.1 或-2B. 1 或2C.1 或 2D.1 或 2. 3.,A B均为n阶方阵，且()0A BE，则（） (A)ABA(B)| 0|B| 1A 或(C)| 0|B-E| 0A 或(D)0ABE或 4.设A是sn 矩阵，则齐次线性方程组0Ax 有非零解的充要条件(). A.A的行向量组线性无关B.A的列向量组线性无关 C.A的行向量组线性相关D.A的列向量组线性相关 第 3 页 共 19 页 5. 设 2326 2193 2186 2131 D，则 42322212 AAAA()。 (A) 1(B) -1(C) 0(D) 2 一(4)、选择题： 1. 设n阶矩阵A的行列式等于D，则kA 等于 （ ）. )(A kA)(B Ak n )(C Ak n 1 )(D A 2. 设向量组 A 能由向量组 B 线性表示，则（）. (A)()(ARBR(B)()(ARBR(C)()(ARBR(D)()(ARBR 3. 设n阶矩阵A，B和C，则下列说法正确的是（）. )(AACAB 则CB )(B0AB,则0A或0B )(C TTT BAAB)()(D 22 )(BABABA 4.向量组)0 , 1 , 1 (, )0 , 0 , 0(, )0 , 1 , 0(),0 , 0 , 1 ( 4321 的最大无关组为（） （A） 21, (B) 421 ,(C) 43, （D） 321 , 5.n阶方阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是. (A) 矩阵A有n个特征值(B) 矩阵A有n个线性无关的特征向量 (C) 矩阵A的行列式0A (D) 矩阵A的特征方程没有重根 一(5)、单项选择题 1、若1 333231 232221 131211 aaa aaa aaa ，则 33323131 23222121 13121111 23 23 23 aaaa aaaa aaaa （） A、0B、3C、1D、-3 2、设A、B为n阶方阵，I为n阶单位阵，则下列等式正确的是（） A、ABBABA2)( 222 B、)( 22 BABABA 第 4 页 共 19 页 C、ABABAA)()(D、IAAIA2)( 22 3、设nm矩阵A的秩等于n，则必有（ ） 。 A、nm B、nm C、nm D、nm 4、设A、B为n阶方阵，则下列说法正确的是（） A. 若OAB ，则0A或0BB. 若OAB ，则OA 或OB C. 若0AB，则OA 或OB D. 若0AB，则OA 且OB 5、设 2326 2193 2186 2131 D，则 42322212 AAAA()。 A、1B、-1C、0D、2 6、向量组 n , 21 线性无关的充要条件是（） A、任意 i 不为零向量 B、 n , 21 中任两个向量的对应分量不成比例 C、 n , 21 中有部分向量线性无关 D、 n , 21 中任一向量均不能由其余 n-1 个向量线性表示 7、设A为n阶方阵，且秩().,Ana a1 12是非齐次方程组AX B的两个不同的解向量,则 AX 0的通解为() A、 1 kB、 2 kC、)( 21 kD、)( 21 k 8、已知2),( 321 R,3),( 432 R,则 () A、 321 ,线性无关 B、 432 ,线性相关 C、 1 能由 32, 线性表示 D、 4 能由 321 ,线性表示 第 5 页 共 19 页 一(6)、 1、行列式 333 222 111 321 321 321 aaa aaa aaa D 的值为（） A、0B、1C、2D、3 2、设 A、B、C 为 n 阶方阵，则下列说法正确的是（） A、若OAB ，则0A或0BB、ABBABA2)( 222 C、 111 )( BABAD、若ACAB ，则CB 3、满足矩阵方程 20 01 12 101 211 021 X的矩阵X（） A、 0 2 3 B、 11 31 02 C、 011 410 321 D、 54 33 74 4、设nm矩阵A的秩等于n，则必有（ ）. A、nm B、nm C、nm D、nm 5、已知, ,A B C均为n阶可逆矩阵，且ABCI，则下列结论必然成立的是（ ）. A、BCAIB、ACBIC、BACID、CBAI 6、设A为n阶方阵，nrAR)(，则A的行向量中（） A、必有r个行向量线性无关 B、任意r个行向量构成极大线性无关组 C、任意r个行向量线性相关 D、任一行都可由其余r个行向量线性表示 7、设A为n阶方阵，且1)( nAr， 21, 是 AX=0 的两个不同解，则 21 ，一定（） A、线性相关B、线性无关 C、不能相互线性表示D、有一个为零向量 8、设有n维向量组（） ： 12 , r 和（） ： 12 ,() m mr ，则（） A、向量组（）线性无关时，向量组（）线性无关 B、向量组（）线性相关时，向量组（）线性相关 第 6 页 共 19 页 C、向量组（）线性相关时，向量组（）线性相关 D、 向量组（）线性无关时，向量组（）线性相关 一（7）选择题选择题 1.设 A 为 n 阶方阵, 则正确的结论是 () (A) 如果 2 ,AO那么 A=O(B) 如果 2 ,AA那么 A=O 或 A=E (C) 如果,AO那么0A (D) 如果0,A 那么AO 2. 设 12 34 xx 12 32 yy 10 5, 12 则 12 ,y y（) (A)（1，2）(B) （1，1）(C) （2，1）(D)（1，1） 3在矩阵 A 中增加一列而得到矩阵 B，设 A、B 的秩分别为 1 r, 2 r，则它们之间 的关系必为：() (A) 12 rr(B) 12 1rr(C) 12 rr(D) 12 rr 4.A,B均为n阶矩阵，且 22 ()()AB ABAB，则必有（） (A)BE(B)AE(C)ABBA(D)AB 5. 已知向量组 A 线性相关， 则在这个向量组中() (A)必有一个零向量 . (B)必有两个向量成比例 . (C)必有一个向量是其余向量的线性组合 . (D)任一个向量是其余向量的线性组合 . 6. 设 A 为n阶方阵，且秩( )1R An, 12 ,a a是非齐次方程组Axb的两个不同 的解向量, 则 Ax=0 的通解为() (A) 12 ()k aa(B) 12 ()k aa(C) 1 ka(D) 2 ka 一一. （8）选择题选择题 1设(.)表示排列的逆序数, 则(51324)= () (A)1(B) 5(C) 3(D) 2 2.设 123 , 是四元非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解向量, 且系数矩阵 A 的 第 7 页 共 19 页 秩等于 3, 1 (1,2,3,4) , T 23 (0,1,2,3) , T C 表示任意常数，则方程组 Ax=b 的通解x = () (A) 11 21 ; 31 41 C (B) 10 21 ; 32 44 C (C) 12 23 ; 34 45 C (D) 13 24 . 35 46 C 3. 已知向量组 1, , m K 线性相关，则（） (A) 该向量组的任何部分组必线性相关 (B) 该向量组的任何部分组必线性无关 (C) 该向量组的秩小于m (D) 该向量组的最大线性无关组是唯一的 4设有矩阵, m ll nm n ABC 则下列运算可行的是 () (A)ABC(B) T A CB(C) T ABC(D) T CB A 5n 阶矩阵 A 可对角化，则（） (A) A 的秩为 n(B) A 必有 n 个不同的特征值 (C) A 有 n 个线性无关的特征向量(D) A 有 n 个两两正交的特征向量 6. 若有 113 3016 , 02135 kk k 则 k 等于 (A) 1(B) 2(C)3(D) 4 二(!)填空题 1.设矩阵 211 00 413 a A有一个特征值2,对应的特征向量为 1 2 , 2 x 则数 a=_. 2.若 3 阶方阵 A 的三个特征根分别是1,2,3则方阵 A 的行列式A 3设矩阵 A= 1 0 2 0 1 0 ，B= 3 01 0 1 0 ，则 ABT=_ 第 8 页 共 19 页 4.行列式 333 222 111 321 321 321 aaa aaa aaa D 的值为 5.设矩阵 A= 1101 0012 0000 ，则齐次线性方程组0Ax 的基础解系的向量个数 为; 6设向量组 TTT a)2, 1, 1 (,) 1, 2 , 1 , 2(,)2 , 6 , 3 , 1 ( 321 线性相关,则a 二(2)填空题 1.设矩阵 211 00 413 a A有一个特征值2,对应的特征向量为 1 2 , 2 x 则数 a=_. 2若 n 阶矩阵 A 有一个特征根为 2。则2AI 3设矩阵 A= 1 0 2 0 1 0 ，B= 3 01 0 1 0 ，则 ABT=_ 4. 若 n 阶矩阵 A 满足 2 24AAI，则 1 ()IA =. 5在 5 阶行列式中，项 5314453221 aaaaa的符号为 6设向量组 TTT a)2, 1, 1 (,) 1, 2 , 1 , 2(,)2 , 6 , 3 , 1 ( 321 线性相关,则a 二(3)、填空题： 1.设A为三阶矩阵， * A为其伴随矩阵，已知1A ，那么 * A _. 2.R AB_ R ARB. 3. n 阶矩阵A满足_，称 A 为正交矩阵 4. 若 T k11与T121正交，则k 5.矩阵 13 02 A 的逆矩阵为_. 二(4)、填空题： 第 9 页 共 19 页 1, 1 1230 1 =. 2.排列 7623451 的逆序数是. 3.若 A 为m n矩阵，则齐次线性方程组Ax0有非零解的充分必要条件是 _. 4. 向量( 2,1,0,2)T的模（范数）_. 5.设A为 3 阶方阵，且|=-2A，则A的伴随矩阵 * A的行列式 * |A=_. 二(5)、填空题 1、已知矩阵BA，满足EBBA2，且 21 12 A,则 B 的行列式=. 2、设0 354 02 02 k k D当且仅当 k= 3、若A、B均为 3 阶矩阵，且2A，3B，则 3* 3BA 4、 dc ba A,且)0(bcad，则 * A 5、设向量组 TTT a)2, 1, 1 (,) 1, 2 , 1 , 2(,)2 , 6 , 3 , 1 ( 321 线性相关,则a 6、若齐次线性方程组 0 0 02 321 321 321 xxkx xkxx xxx 有非零解，则k 二(6)、填空题 1、在 5 阶行列式中，项 5314453221 aaaaa的符号为 2、I为n阶单位矩阵，k为整数，则)(kIR 3、若A、B均为n阶矩阵，且2A，02 2 IABA，则 BA 4、如果 n , 21 线性无关，且 1n 不能由 n , 21 线性表示，则 121 , n 第 10 页 共 19 页 的线性 5、设 T )5 , 2( 1 , T a)1 ( 2 ，当a时， 21, 线性相关. 6、行列式 0001 0021 0301 4121 二二（7） 填空填空 1已知A= 11 01 ，则 2016 A_。 2. 设2是可逆矩阵 A 的一个特征值,则矩阵 1 2 1 3 A 的一个特征值为。 3.设 123 456 333 A ，则齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系所含向量个数为_。 4. 设 A,B 均为 4 阶方阵，且2A ，3B 则 1 A B 。 5. 在五阶行列式中，项 2543543112 aaaaa的符号应取( 填正号或负号)。 6. 已知 B 为可逆矩阵,则 11 () TT B =。 二二（8）填空填空 1设 31 , 13 A 则 4 A 。 2矩阵方程组 m n AXB 有解的充分必要条件是_。 3. 设向量组 12 :, l B b bbL能由向量组 12 :, m A a aaL线性表示，则 12 (,) m R a aa 12 ( ,) l R b bb。(填“=”或“”或“”) 4. 设 A,B 均为 3 阶方阵，且2A ，3B ，则 1 2 T A B_。 5.设向量组 1 1,1,1 T , 2 1,2,3 T , 3 1,3, T t线性无关， 则t。6. 第 11 页 共 19 页 若 n 阶矩阵 A 有一个特征值是 1,则 2 53AAE有一个特征值 三(1)计算题 1.设 245 031 001 A，求(4E) (4E) T AA。 2.计算行列式 1111 1111 1111 1111 x x D y y 3解矩阵方程XBAX,其中 101 111 010 A， 35 02 11 B。 4求线性方程组 12 2224 12 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 的解。 5.设 111 242 33 A x ，已知 A 与对角形矩阵相似，A 的特征值是 2,2,y， 求 x 和 y 的值。 6给定向量组 1234 1234 1345 ,. 011 246 a b 已知矩阵 1234 ()A，的秩为( )2,R A 求 （1）, a b的值； （2）向量组 4321 ，的一个极大线性无关组； （3）把其余向量用这个最大线性无关组表示出来.(6 分) 三(2)计算题 第 12 页 共 19 页 1计算A 0112 0121 2011 2110 。 2解矩阵方程XBAX,其中 101 111 010 A， 35 02 11 B。 3求下列矩阵的列向量组的一个极大无关组，并将其余列向量用此极大无关组线 性表示 1 1 2 21 0 2 1 51 1 1 0 41 4求线性方程组 12 2224 12 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 的解。 5.设 21 222 361 x A ， 400 00 002 By ，已知 A 与 B 相似，求 x 和 y 的值。 6齐次线性方程组 02 043 032 321 321 321 axxx xxx xxx 中，当a为何值时有非零解，并求出其通 解。 三(3)、计算题 1. 已知 2546 1321 X ，求X. 第 13 页 共 19 页 2. 求阶 n 行列式 D= xabc axbc abxc 3. 求矩阵 201 034 011 A的特征值和特征向量 4. 设线性方程组 123 123 123 (1)0, (1)3, (1), xxx xxx xxx 问取何值时，此方程组（1）有唯一解； (2)无解;(3)有无限多解？并在有无限多解时求其通解. 5. 试求向量组 A: T 1 (1,1,2,2), T 2 (0,2,1,5), T 3 (2,0,3,-1), T 4 (1,1,0,4) 的秩和该向量组 A 的一个最大无关组，并将其他向量用此最大无关组表示. 6. 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系,并用基础 解系表示方程的通解 1234 1234 1234 0 31 1 23 2 xxxx xxxx xxxx 三(4)、计算题 1. 计算 4 阶行列式 2141 3121 1232 5062 D 2. 求矩阵的逆 121 111 110 A 3. 求矩阵 31 13 A的特征值和特征向量. 4. 问a取什么值时向量组a1(a 1 1)T a2(1 a 1)T a3(1 1 a)T 1)线性相关,2)线性无关. 5. 求下向量组的秩和一个最大无关组， 并把不属于最大无关组的列向量用最大无 第 14 页 共 19 页 关组线性表示 1234 2123 4 ,1 ,3 ,5 . 2012 6.求方程组 12 1234 1234 5 221 53223 xx xxxx xxxx 的全部解，并用齐次线性方程组的基础解系表 示出来. 三(5)、1、 81278 4194 2132 1111 2、 011 101 110 n D（主对角线为 0，其余为 1） 3、判断矩阵 011 012 111 A是否可逆，并求其逆矩阵. 4、设矩阵 12 213 121 A，请讨论矩阵 A 的秩. 5、求 向量 组A: T )2 , 1, 1 ( 1 ， T ) 1 , 3 , 0( 2 ， T )7 , 0 , 3( 3 ， T )2 , 2, 1 ( 4 ， T )5 , 1 , 2( 5 的一个极大无关组，并将其余向量由它线性表示. 6、求非齐次线性方程组 5793 583 332 15 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx 的通解. 三(6)、计算题 1、 y y x x 1111 1111 1111 1111 2、 81278 4194 2132 1111 第 15 页 共 19 页 3、判断矩阵 201 013 121 A是否可逆，若可逆请求其逆矩阵. 4、已知矩阵 122 43 311 At 的秩3)(AR，请求t的值 5、求 向量组A： T )-2,6,2,0( 1 ， T )1,-2,-1,0( 2 ， T )-2,-4,0,2( 3 ， T )22 ,10, 0( 4 ，的一个极大无关组，并将其余向量由它线性表示. 6、求齐次线性方程组 7793 183 332 15 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx 的通解. 三三（7） 计算题计算题 1设 33 12 A ， 11 21 B , ,求2 T ABB。 2计算四阶行列式 4124 1202 10520 0117 D 的值。 3. 设 2546 1321 X ,求矩阵X。 4求矩阵 32 23 A 的特征值和特征向量。 5。求向量组 1 =(1,-2,3,-1,2) T, 2 =(3,-1,5,-3,-1) T, 3 =(5,0,7,-5,-4) T , 4 =(2,1,2,-2,-3) T的秩和该向量组的一个最大无关组，并 将不在最大无关组中的向量用最大无关组线性表示。 第 16 页 共 19 页 6 6。求非齐次线性方程组 2 1 4321 4321 4321 22 0 1 xxxx xxxx xxxx 的通解,并求其对应的齐次线性 方程组的基础解系。 三（8）计算题1设 31 22 A ， 21 32 B , 求BAAB。 2. 计算五阶行列式 1111098 01000 07106 05413 02001 5 D 3. . 求矩阵 1234 0123 0012 0001 A 的逆矩阵 1 A. 4求矩阵 A 的特征值与特征向量,其中 110 430 . 102 A 5 试求向量组 1 =(1,1,2,2)T, 2 =(0,2,1,5)T, 3 =(2,0,3,-1)T, 4 =(1,1,0,4)T 的秩和该向量组的一个最大无关组，并将其他向量