初中几何-三角形的高平分线.ppt

三角形的高、三角形的高、 角平分线、中线角平分线、中线 你还记得你还记得 “ “过一点画已知直线的垂线过一点画已知直线的垂线” ” 吗吗? ? 回顾回顾 思考思考 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 画法画法 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 过三角形过三角形 的一个顶点，你能画出的一个顶点，你能画出 它的对边的垂线吗它的对边的垂线吗? ? B A C 三角形的高 A 从三角形的一个从三角形的一个顶点顶点 BC 向向它的它的对边对边所在直线作垂线，所在直线作垂线， 顶点顶点和和垂足垂足 D 之间的之间的线段线段 叫做叫做三角形的高线三角形的高线， 简称简称三角形的高三角形的高。 ( (heightheight) ) 图图5 51212 和垂足的字母和垂足的字母. . 注意注意 ! ! 标明标明 垂直的记号垂直的记号 D 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 请分别画出请分别画出锐角、直角、钝角锐角、直角、钝角 三角形的三角形的高高. . 锐角三角形的三条高 (1) (1) 你能画出这你能画出这个三角形的三条高吗个三角形的三条高吗? ? 做一做做一做 (2)(2) 这三条高之间有怎样的位置关系？这三条高之间有怎样的位置关系？ 将你的结果与同伴进行交流将你的结果与同伴进行交流. . 锐角三角形的锐角三角形的三条高相交于同一点三条高相交于同一点. . O 锐角三角形的三条高是 在三角形的内部还是外部? 锐角三角形的锐角三角形的三条高都在三角形的内部。三条高都在三角形的内部。 思考： 直角三角形的三条高 做一做做一做 A BC 画出画出直角三角形的三条高线直角三角形的三条高线, , ABAB 直角边直角边ABAB边上的高是边上的高是 ; ;CBCB 它们有怎样的位置关系呢？它们有怎样的位置关系呢？ 直角三角形的三条直角三角形的三条 高线相交于高线相交于直角顶点直角顶点 D D 斜边斜边ACAC边上的高是边上的高是 ; ;BDBD 口答：口答： 直角边直角边BCBC边上的高是边上的高是 ; ; A A B B C C D D F F E E 钝角三角形的三条高 A B C D E F 议一议议一议 钝角三角形的三条高线钝角三角形的三条高线 也相交于一点吗？试通过也相交于一点吗？试通过 画图来验证。画图来验证。 钝钝 角三角形的角三角形的 三条高三条高不相交于一点不相交于一点 钝角三角形的钝角三角形的三条高三条高 所在直线交于一点所在直线交于一点 OO 高高锐角三角形锐角三角形 直角三角形直角三角形钝角三角形钝角三角形 条数条数 位置位置 垂足垂足 交点交点 图形图形 A BC D EF P Q R 3 3 3 3 3 3 都在三角都在三角 形内部形内部 直角边上的高分别直角边上的高分别 与另一条直角边重与另一条直角边重 合，还有一条高在合，还有一条高在 三角形内部三角形内部 夹钝角两边上的高夹钝角两边上的高 在三角形外部，另在三角形外部，另 一条高在内部一条高在内部 在相应顶点在相应顶点 的对边上的对边上 是直角的顶点是直角的顶点 在斜边上在斜边上 在相应顶点的对在相应顶点的对 边的延长线上边的延长线上 在钝角的对边上在钝角的对边上 在三角形内部在三角形内部 在直角顶点在直角顶点在三角形外部在三角形外部 分别指出图分别指出图513513中中ABCABC 的三条高。的三条高。 直角边直角边BCBC边上的边上的 高是高是 ; ;ABAB边边 直角边直角边ABAB边上的边上的 高是高是 ; ;CB CB边边 A B C D E F 练一练练一练 A BC D 斜边斜边ACAC边上的边上的 高是高是 ; ;BD BD ABAB边上的高是边上的高是 ; ;CECE BCBC边上的高是边上的高是 ; ;ADAD CACA边上的高是边上的高是 ; ;BFBF 拓展练习拓展练习拓展练习 2 2、 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一 个顶点，那么这个三角形是个顶点，那么这个三角形是（ ） A.A.锐角三角形锐角三角形 B.B.直角三角形直角三角形 C.C.钝角三角形钝角三角形 D.D.锐角三角形锐角三角形 3 3、三角形的三条高相交于一点，此一点定在三角形的三条高相交于一点，此一点定在（ ） A. A. 三角形的内部三角形的内部 B.B.三角形的外部三角形的外部 C.C.三角形的边上三角形的边上 D. D. 不能确定不能确定 1 1、下列各组图形中，哪一组图形中下列各组图形中，哪一组图形中AD AD是是ABCABC 的高 的高( )( ) A A D D C C B B A A B B C C D D A A B B C C D D A A B B C C D D ( (A A) ) ( (B B) ) ( (C C) ) ( (D D) ) B B D D D 如图所示如图所示, ,已知已知,AH,AH是是ABCABC中中BCBC边上的高边上的高, ,除此除此 之外之外, ,它还是那些三角形的那些边上的高它还是那些三角形的那些边上的高? ? 4.4.下列各阴影部分的面积有何关系？下列各阴影部分的面积有何关系？ 乙 乙 甲 甲 丙 丙等等 底底 等等 高高 在三角形中，连接一个在三角形中，连接一个顶点顶点与它与它对边对边 中中 点点的的线段线段, ,叫做这个三角形的叫做这个三角形的中线中线. . 三角形的中线的定义：三角形的中线的定义： 做一做做一做: :观察图中三角形的面积，看看有何发现？观察图中三角形的面积，看看有何发现？ A A B B C C ADAD是是 ABCABC的的 中线中线 BD =CD = BCBD =CD = BC 1 1 2 2 D D 三角形的三角形的一条中线一条中线把三角形把三角形 分成分成两个面积相等小三角形两个面积相等小三角形 等等 底底 同同 高高 E E 在ABC中，AE，AD分别是BC边上 的中线和高。说明ABE的面积与 AEC的面积相等。 解： AE是BC边上的中线 BE = EC A DE C B A A 三角形的三条中线交于一点三角形的三条中线交于一点 C C B B F F E E D D OO 其中其中,AB,AB边上的中线是边上的中线是_ BCBC边上的中线是边上的中线是_ ACAC边上的中线是边上的中线是_ CFCF BEBE ADAD BEBE是中线是中线 _=_= _=_= _ AB=2_=2_AB=2_=2_ CFCF是中线是中线 AEAE CECEACAC AFAFBFBF 思考思考: :任意三角形的三条中线的交点都在三角形的内部吗任意三角形的三条中线的交点都在三角形的内部吗? ? 那些三角形的面积相等？那些三角形的面积相等？ 3. 3. 试把一块三角形煎饼分成大小相同试把一块三角形煎饼分成大小相同 的的4 4块，有多少种分法？块，有多少种分法？ 课堂达标 如图所示如图所示,CM,CM是是ABCABC的中线的中线, , BCMBCM的周长比的周长比 ACMACM的周长大的周长大3cm,BC=8cm,3cm,BC=8cm,求求AC.AC. 解解: : CMCM为为ABCABC的中线的中线, , BM=AMBM=AM 又又 BCMBCM的周长比的周长比 ACMACM的周长大的周长大3cm3cm (BC+BM+MC)-(AC+MC+AM)=3 (BC+BM+MC)-(AC+MC+AM)=3 即即BC-AC=3cm,BC-AC=3cm,又又BC=8cmBC=8cm AC=5cmAC=5cm 在ABC中,CD是中线,已知 BC-AC=5cm, DBC的周长 为25cm,求ADC的周长. A D BC ：已知：已知ABCABC中，中，AC=5cmAC=5cm。中线。中线ADAD把把 ABCABC分成两个小三角形，这两个小三角形的周分成两个小三角形，这两个小三角形的周 长的差是长的差是2cm2cm。你能求出。你能求出ABAB的长吗？的长吗？ AB AC AB AC A A B B C C D D 如果现在你手上有一张三角 形的纸，你能想几种办法画 出它的一个内角的平分线吗 ？ 在三角形中，一个在三角形中，一个内角的角平分线与它的内角的角平分线与它的 对边相交对边相交，这个角的，这个角的顶点顶点与与交点交点之间的之间的线线 段段叫做叫做三角形的角平分线。三角形的角平分线。 三角形的角平分线的定义：三角形的角平分线的定义： A A B B C CD D ADAD是是 ABCABC的的 角平分线角平分线 BAD = BAD = CAD = CAD = BACBAC 1 1 2 2 画出三角形的三条角平分线，看看你会有什么画出三角形的三条角平分线，看看你会有什么 发现？发现？ A C B F E D O 三角形的三条角平分线线交于一点三角形的三条角平分线线交于一点 BE是ABC的角平分线 _=_= _ ACB=2_=2_ ABE CBE ABC ACF CF是ABC的角平分线 BCF 三角形的角平分线与角的 平分线有什么区别与联 系？ 思 考 练习 如图,AE是 ABC的角平分线.已知 B=45 0, C=600 ,求下列角的大小. C A B E CAE=_ CAE=_ AEB=_ AEB=_ 37.537.5 0 0 97.597.5 0 0 如图，在 如图，在ABCABC中，中，ADAD是是ABCABC的的 高，高，AEAE是是ABCABC的角平分线。已知的角平分线。已知 BACBAC8888，B B5555，求，求DAEDAE的的 大小。大小。 E ED D C C B B A A 55 课堂达标 下列关于三角形的高线的说法正确的是下列关于三角形的高线的说法正确的是（ ） A.A.直角三角形只有一条高线直角三角形只有一条高线 B.B.钝角三角形钝角三角形 的高线都在三角形的外部的高线都在三角形的外部 C.C.只有一条高线在三角形内的三角形一定是钝角只有一条高线在三角形内的三角形一定是钝角 三角形三角形 D.D.锐角三角形的高线的交点一定在三角形的内锐角三角形的高线的交点一定在三角形的内 部部 D D 这节课你有那些收获? 有哪些困惑? 第四章第三课时： 等腰三角形及 直角三角形 要点、考点聚焦 课前热身 典型例题解析 课时训练 要点、考点聚焦 1.等腰三角形的性质定理及推论 1)定理：等腰三角形的两个底角相等(等边对等角). 2)推论1：等腰三角形的顶角平分线平分底边并且 垂直于底边(即等腰三角形三线合一). 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每个角 都等于60. 2.等腰三角形的判定定理及推论 (1)定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个 角所对的边也相等(简写成：等角对等边). (2)推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形. 推论2：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形. 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那 么它所对的直角边等于斜边的一半. 3.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方，即c2=a2+b2(c为斜边). 4.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c， 有下面关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 要点、考点聚焦 课前热身 B C 1.如果一个三角形的一个内角等于其他两个内角的差， 那么这个三角形是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 2.一个直角三角形两边的长分别为15、20，则第三边的 长是( ) A. B.25 C. 或25 D.无法确定 3.如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这 个等腰三角形的顶角为( ) A.30 B.60 C.150 D.120 D 4.在下列四个命题中，正确的命题的个数是( ) 等腰三角形两腰上的中线相等 等腰三角形两腰上的高相等 等腰三角形两底角的平分线相等 等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等 A.1 B.2 C.3 D.4 D 课前热身 5.在ABC中，如果只给出条件A=60，那么还不能 判定ABC是等边三角形，给出下列四种说法： 如果再加上条件：AB=AC，那么ABC是等边三角 形 如果再加上条件：tanB=tanC，那么ABC是等边三 角形 如果再加上条件：D是BC的中点，且ADBC，则 ABC是等边三角形 如果再加上条件：AB、AC边上的高相等，那么 ABC是等边三角形 其中正确的说法有 (把你认为正确的序号全 部填上). 课前热身 典型例题解析 (1)OA=OB=OC. 【例1】 (2003广东省)如图所示，在RtABC中， AB=AC，BAC=90，O为BC中点. (1)写出O点到ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系 .(不要求证明) (2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保 持AN=BM，请判断OMN的形状，并证明你的结论. (2)OMN是等腰直角三角形. 【例2】如图所示，在四边形ABCD中，AB=AD=8， A=60，D=150已知四边形的周长为32，求四边形 ABCD的面积. S四边形ABCD=16 +24. 典型例题解析 【例3】(2004广东)如图，在等腰直角三角形ABC中，O是斜边 AC的中点，P是斜边AC上的一个动点，D为BC上的一点，且 PB=