高中数学 第3章 三角恒等变换 3_1_3 两角和与差的正切教学设计 苏教版必修41

在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求31.3两角和与差的正切教学分析由于学生有了推导两角和与差的正弦、余弦公式的学习经历，因此，教学中应该让学生独立地推导两角和与差的正切公式对于公式的成立条件，可以让学生推导出公式观察、比较、分析，以便在掌握公式结构的基础上加以讨论对于公式的结构特点的分析、归纳、总结，可以结合教科书中“思考”引导学生去发现，并结合例题的解答帮助学生更好地掌握这些特点，同时体会这些特点在解题中的作用三维目标1会由两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式2能用两角和与差的正切公式进行简单的三角函数式的化简、求值及三角恒等式证明3通过推导两角和与差的正切公式以及运用公式解决具体问题，使学生从中体会化归思想的作用4通过对例题解题思路的探求，使学生学会用分析的方法寻求解题思路重点难点教学重点：两角和与差的正切公式的推导及运用教学难点：运用公式解决简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明过程中解题思路的探求课时安排2课时第1课时导入新课思路1.(复习导入)前面我们推出了公式C()、C()、S()、S()后自然想到两角和与差的正切，即有没有tan()，tan()的公式呢？由此导入新课思路2.(问题导入)我们现在很容易由两角和与差的正弦、余弦公式求出sin15和cos15，再由同角三角函数关系求出tan15，那么能不能直接由tan45和tan30求出tan15呢？推进新课1推导两角和与差的正切公式2用两角和与差的正切公式进行简单的三角函数式的化简、求值及三角恒等式的证明教师引导学生回顾并写出两角和与差的正弦、余弦公式及同角三角函数关系式点拨学生推出tan()，tan()学生很容易想到利用同角三角函数关系式，化弦为切得到但学生很可能想不到讨论，这时教师不要直接提醒，让学生自己悟出来当cos()0时，tan().如果coscos0，即cos0且cos0时，分子分母同除以coscos，得tan()，根据角、的任意性，在上面的式子中，用代之，则有tan().由此推得两角和与差的正切公式，简记为T()、T()让学生自己联想思考，两角和与差的正切公式中、的取值是任意的吗？学生回顾自己的公式探究过程可知，、都不能等于k(kZ)，并引导学生分析公式结构特征，加深公式记忆至此，教师与学生一起归类总结，我们把前面六个公式分类比较可得：C()、S()、T()叫和角公式；S()、C()、T()叫差角公式并由学生综合分析以上六个公式的推导过程，从而得出以下逻辑联系图可让学生自己画出这六个框图通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式同时教师应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用如两角和与差的正切公式的变形式：tantantan()(1tantan)，tantantan()(1tantan)，在化简求值中就经常应用到，使解题过程大大简化，也体现了数学的简洁美对于两角和与差的正切公式，当tan，tan或tan()的值不存在时，不能使用T()处理某些相关问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如：化简tan()，因为tan的值不存在，所以改用诱导公式tan()来处理等例1课本本节例1.变式训练在ABC中，已知tanA、tanB是方程3x28x10的两个根，求tanC的值解：tanA、tanB是方程3x28x10的两根，tanAtanB，tanAtanB.tanCtan180(AB)tan(AB)2.例2课本本节例2.变式训练求tan11tan34tan11tan34的值解：原式tan45(1tan11tan34)tan11tan341tan11tan34tan11tan341.点评：充分利用两角和与差的正切公式的变形式：tantantan()(1tantan).例3课本本节例3.课本本节练习1、2、3、4.由于学生有了推导两角和与差的正弦、余弦公式的学习经历，因此，教学中应该让学生独立地推导两角和与差的正切公式对于公式的成立条件，可以让学生推导出公式观察、比较、分析，以便在掌握公式结构的基础上加以讨论对于公式的结构特点的分析、归纳、总结，可以结合教科书中“思考”引导学生去发现，并结合例1和例2的解答帮助学生更好地掌握这些特点，同时体会这些特点在解题中的作用本小节共两课时，本节课为第1课时，主要是推导公式、讨论探究公式的成立条件，并完成课本例1、例2、例3.例3是一道具有几何背景的简单问题，在该题的教学中，要注意让学生体会已知一个角的三角函数值，确定角的方法本节课从内容上来看，难度较小，但两角和与差的正切公式有其成立的条件这点教材中未做特别说明，是学生易出错的地方在教学中，应注意引导学生对公式的结构特征仔细观察，清楚公式变形的本质属性，解题时灵活选用同时注意鼓励学生进行一题多解，一题多变，并从中体会重要的数学思想方法，这才是本节教学的核心问题，而不是一些特殊的变换技巧一、对两角和与差的正切公式的理解1两角和的正切公式是根据同角三角函数的关系式tan及正、余弦的和角公式导出的，因为公式S()与C()具有一般性，因此公式T()也具有一般性，在公式T()中以代便可得到公式T()2两公式只有当tan，tan或tan()都存在，即k，k，k(kZ)时才成立，这是由任意角的正切函数的定义域所决定的3当tan，tan或tan()的值不都存在时，不能使用T()来处理某些相关问题，但可改用诱导公式或其他方法，如化简tan()，因为tan的值不存在，不能利用公式T()，所以要改用诱导公式来解，则tan().二、备用习题1如果tan()，cot()4，则tan()为()A. B.C. D.2已知tan()，tan()，则tan的值等于_3已知tan()，则tan_，tan()_.4已知tan，tan是方程x2(4m1)x2m0的两个根，且m，求.5已知、都是锐角，cos，tan()，求cos的值参考答案： 1C2.3解析：tan()，.解得tan，tan().4解：由题意tantan(4m1)，tantan2m，.5解：由题意tan，tantan().又cos2，cos.(设计者：王光玲)第2课时导入新课思路1.(复习导入)让学生回顾前面所学的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，从分析公式的推导过程入手，揭示它们的逻辑关系思路2.(习题导入)已知45，求(1tan)(1tan)的值(答案：2)已知sin，是第四象限角，求tan()的值(答案：7)求tan70tan50tan50tan70的值(答案：)学生练习，教师讲评中导入新课推进新课本节为两角和与差的三角函数的最后一节内容，对两角和与差公式进一步熟练掌握上节课我们学习了两角和与差的正切公式，请同学们默写这些公式，并思考这些公式的使用条件我们上节课初步运用这些公式解决了一些有关三角函数的求值和化简问题，利用这些公式除了能进行三角函数式的求值、化简之外，我们还可以运用其解决一些三角函数式的证明问题，并能解决一些实际问题这就是我们本节课所要学习的内容例1课本本节例4.变式训练在锐角ABC中，A、B、C是它的三个内角，记S，求证：S90，90A90B0.tanAtan(90B)cotB0.tanAtanB1.S0，从而m23，可证思路五：构造向量，利用向量的内积定义及坐标表示来证明令a(1，1)，b(cos15，sin15)，则cos15sin15(1，1)(cos15，sin15)1cos，其中为a与b的夹角，且数形结合可知154560，从而cos15sin15cos60，同理可求cos15sin15cos30，从而可证反思：本题是一题多解，开阔学生的思维，培养学生分析问题和解决问题的能力，渗透数学中的转化思想(思路二)和整体思想(思路四)和数形结合思想(思路五)小组讨论，合作交流不同解法的小组派代表展示证明方法(前四种不同解法)(通过合作探究问题的过程，体验团队合作的快乐，体会公式的灵活应用、感悟化归、数形结合、整体、方程的数学思想)(师启发思路五并多媒体出示解答过程，留时间让学生体会构造方法)变式题2.利用和(差)公式证明tan20tan40tan20tan40.分析：利用和(差)角公式的变形公式1可得tan20tan40tan(2040)(1tan20tan40)(1tan20tan40)反思：本题是公式灵活应用的典例，更一般地，猜想：tantantan()tantantan()成立吗？讨论交流，一优等生分析口述(师板书)思考：能否用公式T()的变形2来证明呢？(课后完成猜想)例3(教材例3)如图，三个相同的正方形相接，求证：.分析：由图可知tan且0，tan且0，欲求的值，先求tan()的值为1且0，从而.反思：这是一道具有几何背景的简单问题，从这里可以看出已知一个角的三角函数值求角的方法思考：你能从图形中观察出，均小于，那你能从代数的角度说明，均小于吗？(利用函数的单调性求角的范围如0tan，则0)思考1：求角“”的哪个函数值较好？思考2：由tan()1能直接得到吗？为什么？变式题：已知A，B为锐角，且AB45.(1)求证：(1tanA)(1tanB)2.(2)求值：(1tan1)(1tan2)(1tan44)自主探究(1)课外思考(2)回顾小结1知识点：两角和与差的正切公式的推导；应用公式进行求值、化简及三角恒等式的证明(正用，逆用，变用)2数学思想：化归思想、整体思想、数形结合思想、方程思想一中等生完成小结，学生笔记数学思想作业教材习题3.1(3)必做题2,5,9；选做题7.教后记本节课根据新课标和新课程的教学理念，采用自主探究与合作交流的教学方法，让学生积极主动的参与学习，给予他们充分的时间和空间，进行探索、猜想和发现两角和与差的正切公式，培养学生自主探究能力和合作交流能力在公式的结构特点方面，让学生观察归纳，培养学生的观察能力和归纳能力在例题的处理和变式题的训练方面，完全让学生自主探究，合作讨论交流，体验团队合作的快乐，培养学生思维的严谨性和开阔性，以及分析问题、解决问题的能力，渗透了整体、化归、数形结合、方程等几种数学思想不足之处：对于例2的变式题1的证法五是在教师启发引导下探究出来的，这