高考数学串讲(六) 高考解题三引

高考数学串讲（六） 高考解题三引 在高考解题时,若能恰到好处地引入一些有力的工具,会对解题带来很大的帮助.下面我们来探讨一下几种常用解题工具的引入.一,引入函数函数是联系运动与静止,变化与定值的有力工具.解题时,若能恰到好处地引入她,会对我们的解题工作带来很大的帮助.问题1,(2005全国)若,则 A. B. C. D.问题2,若实数满足;.求证:.问题3,(2005华师附中测试题)已知函数,.()若,求证:.()是否存在实数,使方程有四个不同的实根?若若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由.设质解答:问题1,解析:由题之模型,我们引入函数,可得.有(1)当时,为增函数;(2)当时,为减函数.于是得,删除A,D又,知,于是选C.问题2,分析:将所证的不等式作差变形得,由,我们设,这样引入了函数,现考虑它的单调性即可.解:由;.设,引入函数,可得.而,得,得0.(在时取等号)所以在上为减函数,得=1,即,于是得.问题3,解:()令.则=由,得,知在上为增函数.又在处连续,得在上为增函数,而,得=0,即.()由原方程得 ,令,并变形得 要方程有四个不同实根,则要方程有两个不同正根.tyo令,它们的图象如右图所示当两曲线在点=处相切时,由,得,于是,得切点为,这时切线方程为,即,与轴的交点为,要两曲线在轴右边有两个不同交点,则,即.所以当时,原方程有四个不同的实根.评注:本题在解答过程中,3处引入了函数,从而为问题的解决带来了方便.二,引入直角坐标系 直角坐标系实现了数与形之间的真沟通.引入她,可使我们的解题工作左右逢源.问题4.(2005山东)设满足约束条件,则使得目标函数的值最大的点()是 .ABC问题5.(2004湖北)如图,在中,已知.若长为的线段以点A为中点,问与的夹角取何值时的值最大?并求出这个最大值.问题6.(2005天津)某人在山坡P处观看对面山崖顶上的一座铁塔,如图所示,塔高BC=80(米),塔所在的山高OB=220(米),OA=200(米),图中所示的山坡可视为直线,且点P在直线上,与水平地面的夹角为,.试问,此人距水平地面多远时,观看塔的视角最大(不计此人的身高)?问题7,(05重庆) 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EAEB1，已知AB=，BB1=2，BC=1，BCC1=，求：ABCEA1B1C1（）异面直线AB与EB1的距离；（）二面角AEB1A1的平面角的正切值.解答;BxCyAQP问题4,(2,3) 引入平面直角坐,解决线性规划问题.问题5,解:如图,建立平面直角坐标系,设,则A(0,0),B(,.且,. 设点,则.由,.得=.又,得.于是.故当,即(与同向)时,最大,其最大值为0.OAPalxyCB问题6,解:如图所示,建立平面直角坐标系,则A(200,0)B(0,220),C(0,300).直线的方程为,即.设点,则.由经过两点的直线的斜率公式得,.又由直线PC到直线PB的角的公式得=.要使达到最大,只须达到最小.由均值不等式得.当且仅当时,上式取得等号,故当时,最大.这时,点P的纵坐标为.由此实际问题知,所以最大时,最大.故当此人距水平地面60米高时,观看铁塔的视角最大.问题7,解:（I）以B为原点,、分别为y、z轴建立空间直角坐标系.由于BC=1，BB1=2，AB=，BCC1=，在三棱柱ABCA1B1C1中有B（0，0，0），A（0，0，），B1（0，2，0），设又AB面BCC1B1，故ABBE. 因此BE是异面直线AB、EB1的公垂线，则，故异面直线AB、EB1的距离为1.（II）由已知有故二面角AEB1A1的平面角的大小为向量的夹角.三,引入向量 向量既有方向,又有大小.她是研究现代数学的有力工具.在解高考题时,我们若能引入她,可使解题工作妙不可言.问题8, 若异面直线所成的角为,AB是公垂线,E,F分别是异面直线上到A,B距离为2和1的两点,当时,线段AB的长为 .问题9, 已知都是正数,且,则函数的最小值是 .ABCDEFA1B1C1D1问题10,(04广东)如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1.(I) 求二面角CDEC1的正切值;(II) 求直线EC1与FD1所成的余弦值.解答abABEF21问题8,解:如图, 由,得(1)当时,有,得;(2)当时,有,得.问题9,由已知,我们作向量,则,.又,得.即,于是所求的最小值为1.ABCDEFA1B1C1D1xyz问题10,解: （I）以A为原点，分别为x轴, y