第四篇 第6讲 正弦定理和余弦定理

第6讲 正弦定理和余弦定理A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2b2bc，sin C2sin B，则A ()A30 B60 C120 D150解析由a2b2bc，sin C2sin B，得a2bcb2，2.由余弦定理，得cos A，所以A30，故选A.答案A2.(2012四川)如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE1，连结EC、ED，则sinCED()A. B.C. D.解析依题意得知，CD1，CE，DE，cosCED，所以sinCED，选B.答案B3在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a1，b，则SABC ()A. B. C. D2解析A，B，C成等差数列，AC2B，B60.又a1，b，sin A，A30，C90.SABC1.答案C4(2012湖南)在ABC中，AC，BC2，B60，则BC边上的高等于 ()A. B. C. D.解析设ABc，BC边上的高为h.由余弦定理，得AC2c2BC22BCccos 60，即7c244ccos 60，即c22c30，c3(负值舍去)又hcsin 603，故选B.答案B二、填空题(每小题5分，共10分)5在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2c2b2)tan Bac，则角B的值为_解析由余弦定理，得cos B，结合已知等式得cos Btan B，sin B，B或.答案或6(2012福建)已知ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_解析依题意得，ABC的三边长分别为a，a,2a(a0)，则最大边2a所对的角的余弦值为：.答案三、解答题(共25分)7(12分)(2012辽宁)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列(1)求cos B的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sin Asin C的值解(1)由已知2BAC，三角形的内角和定理ABC180，解得B60，所以cos Bcos 60.(2)由已知b2ac，据正弦定理，得sin2Bsin Asin C，即sin Asin Csin2B1cos2B.8(13分)(2012浙江)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A，sin Bcos C.(1)求tan C的值；(2)若a ，求ABC的面积解(1)因为0A，cos A，得sin A .又cos Csin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin Ccos Csin C.所以tan C.(2)由tan C，得sin C，cos C.于是sin Bcos C.由a 及正弦定理，得c .设ABC的面积为S，则Sacsin B.B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1在ABC中，A60，且最大边长和最小边长是方程x27x110的两个根，则第三边的长为 ()A2 B3 C4 D5解析由A60，不妨设ABC中最大边和最小边分别为b，c，故bc7，bc11.由余弦定理得a2b2c22bccos 60(bc)23bc7231116，a4.答案C2(2013豫北六校联考)已知ABC的面积为，AC，ABC，则ABC的周长等于 ()A3 B3C2 D.解析由余弦定理得b2a2c22accos B，即a2c2ac3.又ABC的面积为acsin ，即ac2，所以a2c22ac9，所以ac3，即acb3，故选A.答案A二、填空题(每小题5分，共10分)3在RtABC中，C90，且A，B，C所对的边a，b，c满足abcx，则实数x的取值范围是_解析xsin Acos Asin.又A，A，c2，则C2c，则C若a3b3c3，则C若(ab)c若(a2b2)c2解析由abc2，得c2ab，由余弦定理可知cos C，因为C(0，)，函数ycos x在(0，)上是减函数，所以C，所以C，即正确若C是直角或钝角，则a2b2c2，即221，而，(0,1)，而函数yax(0a1)在R上是减函数，所以33221与a3b3c3矛盾，所以假设不成立，所以C，即正确因为(ab)c2ab，所以cc2，转化为命题，故错误因为(a2b2)c22a2b2，所以c2c2，转化为命题，故错误答案三、解答题(共25分)5(12分)(2012郑州三模)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点(a，b)在直线x(sin Asin B)ysin Bcsin C上(1)求角C的值；(2)若a2b26(ab)18，求ABC的面积解(1)由题意得a(sin Asin B)bsin Bcsin C，由正弦定理，得a(ab)b2c2，即a2b2c2ab，由余弦定理，得cos C，结合0C，得C.(2)由a2b26(ab)18，得(a3)2(b3)20，从而得ab3，所以ABC的面积S32sin .6(13分)(2012江西)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A，bsincsina.(1)求证：BC；(2)若a ，求ABC的面积(1)证明由bsincsina应用正弦定理，得sin Bsinsin Csinsin A，sin Bsin C，整理得sin Bcos Ccos Bsin C1，即sin(BC)1.由于0B，C，