高中数学论文：以不变应万变.doc

高中数学论文 发挥教材功能，以不变应万变摘要 随着近几年高考改革的不断深入，新教材，新内容对高考带来很大的冲击，在高考中所占的比重也越来越大，高考对学生能力方面也提出新的要求，但传统的知识在高考中仍然占有一定的地位。如何在短短的两个多月时间里，科学安排复习，提高复习效率，这是摆在我们高三教师面前的一个难题。因而我们在备考07年高考时，要发挥教材功能，以不变应万变。关键词 解析几何、 教材功能、典型例题2007年台州市高三年级第一次调考已尘埃落定。一模考试历年来作为各校对高考复习的一次检测考试，具有很强的指导性和反思性。随着近几年高考改革的不断深入，新教材所带来的高考内容的变化，高考对学生创新精神和实践能力也都提出新的要求，但传统的“三基”在高考中仍然占有一定的地位。因而我们在备考07年高考时，在不断强调“变”的同时，也要狠抓基础，以不变应万变才是一种很好的备考策略之一，深入题海，走出书海是我们的基本思路。从本次考试的情况来看，学生对解析几何大题掌握不好，得分率不高，其实该题是一道源于教材的例题，这就为我们如何发挥教材功能，进一步提高学生的解题能力敲了一次很好的警钟。 一模20题原题如下：已知p（0，4），q（0，-4），过点p的直线交抛物线于a、b两点.(1)求证:aqp=bqp;(2)是否存在平行于x轴的定直线,使得被以ap为直径的圆所截得的弦长为定值?如果存在,求出的方程;如果不存在,apbqo试说明理由.无独有偶，07年舟山地区模拟卷中也出现相同题目：已知直线p过定点p（4，0）交抛物线y2=2mx（m0）于a、b两点，坐标原点o为pq中点.（1）求证aqp=bqp（2）若m=2，试判断是否存在垂直于x轴的直线l被以ap为直径的圆所截得的弦长为定值？解法如下：（1）设直线l方程为y=k(x-4)（若k不存在，结论显然成立）把x=+4代入抛物线方程，y2=2m(+4)y2y-8m=0 设a（x1, y1) b(x2,y2)所以 y1 +y2=, y1y2=-8m, 即y1=又tanaqp=,tanbqp=，tanaqp=bqp因为aqp、bqp都为锐角 所以aqp=bqp（2）ap为直径的圆方程为即x2-（x1+4）x+ y2-y1y-4x1=0 (1)不妨设l1方程为x=a代入（1）得y2-y1y+a2-a(x1+4)+4 x 1=0 （2）则l1被圆截得的弦长s=|y1-y2|=( y1、y2为方程（2）两根)= （3）要使（3）与x1无关，显然a=3,这时s=2即存在直线x=3，使得被以ap为直径的圆截得的弦长恒为2该题难度并不大，但学生的得分却不高，而上述两题却都能在教材中找到痕迹。教材（实验修订本高二（上）119页的习题为：过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和抛物线相交两个交点的纵标为y1、y2，求证：y1y2=p2（*）这是一道有关焦点弦问题的典型习题。显然以上两题都源自此题，并且各自在设问上作了很好的改变，与目前高考讲究探究性精神相吻合，在解题方法上，则沿用解析几何最常用的方法代数法。可以说出题者匠心独运，都是很值得研究的好题。鉴于此，下面谈几点如何发挥教材功能，以提高学生解题能力的粗浅看法。1、 重视教材习题结论的应用现在教材中的习题和复习参考题，许多题目源自老教材中的一些定理，重视挖掘这些题目在解题中作用，将有效地提升学生的解题能力，使学生不仅看到树木，更看到森林。因此，老师要深入研究教材的意图，沉入题海，使自己成为解题专家，并能逐步提炼出解题的思维方法，从而为学生提供更好的示范和指导。例1，过抛物线y2=2px(p0)的焦点f作一直线交抛物线于p、q求证： + 的定值解：设p（x1,y1）q(x2,y2)，pq过焦点f由（*）y1y2= p2， x1= ，x2 =所以x1 x2=，由抛物线定义可知pf= x1+ qf= x2+ + =+=为定值例2：直线l过抛物线y2=2px(p0)的焦点且与抛物线有两个交点，对于抛物线上另外两个点a、b直线l是否能垂直平分线段ab？试证明你的结论解：若直线lx轴，显然这样的a、b两点不存在若直线l与x轴不垂直，不妨设l方程为y=k(x-) ,a(x1,y1) b(x2,y2)由（*）已知y1、y2= -p2欲使l垂直平分ab则kab= 即y1+y2=-2pkab中点m（ xm= ym= 若ym=k(xm,则有=,即显然不合,所以这样的点不存在。例3：过抛物线x2=4ay(a0)焦点f作直线交抛物线于a、b两点设aob（o为原点）的面积为s，试判断s2：|ab|的值是否与直线斜率有关?解:由已知f(0,a)a(x1,y1) b(x2，y2) ab方程为y=kx+a代入抛物线方程x2=4a(kx+a)得 x2-4akx-4a2=0 所以x1+x2=4ak,x1x2=-4a2 所以|ab|= =4a(1+k2)o到直线ab距离为：d=s2=|ab|2d2= 16 a 2 (1+k2)2=4a4(1+k2)s2: |ab|=4 a4(1+k2) ：4 a(1+k2)= a3与直线斜率无关。2、注意教材习题解答过程所蕴含的数学思想方法受之以鱼，不如授之以渔。对教材中的典型习题，不只是引导学生简单地记住结论，更重要的是深入分析和体会解题过程中所体现出来的学科思想方法，并将它提炼成为解决其他问题的锐利武器，从而达到举一反三，事半功倍作用。解题能力的迁移正是典型习题的重要功效之一。例4：在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线（）相交于两点（i）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；（ii）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由abxynco解：（）依题意，点的坐标为，可设，直线的方程为，与联立得消去得noacbyx由韦达定理得，于是，当时，（）假设满足条件的直线存在，其方程为，的中点为，与为直径的圆相交于点，的中点为，noacbyxl则，点的坐标为，令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线例5：如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点p（0,m）(m0)作直线与抛物线交于a，b两点，点q是点p关于原点的对称点.（i）设点p分有向线段所成的比为，证明:；（ii）设直线ab的方程是x-2y+12=0，过a、b两点的圆c与抛物线在点a处有共同的切线，求圆c的方程.解：（）依题意，可设直线ab的方程为 代入抛物线方程得 设a、b两点的坐标分别是 、x2是方程的两根.，所以 由点p（0，m）分有向线段所成的比为，得又点q是点p关于原点的对称点，故点q的坐标是（0，m），从而. 所以 （）由 得点a、b的坐标分别是（6，9）、（4，4）.由 得 所以抛物线 在点a处切线的斜率为 设圆c的方程是则解之得 所以圆c的方程是 即 3、改进教材习题的条件和结论，引导学生主动探究深入研究教材习题的条件与结论的关系，往往可挖掘一系列问题，教材习题也正是处于这一系列问题链的核心，它既揭示问题的本质，同时从横向（条件）与纵向（结论）上留有很大的空间，从而为学生的探究提供更多的机会，使我们的复习既深入题海，又能走出题海。 以（*）为例，直线不是经过焦点，而是x轴上某一定点，结论又会如何？又将条件与结论对换（研究逆命题），命题是否依然成立。 例6：过x轴上一定点（m,0），作直线与抛物线y2=2px(p0)交于两点a、b，若a（x1、y1）b(x2、y2)那么y1、y2是否为定值？例7：直线l与抛物线y2=2px(p0)交于两点a、b，若a（x1、y1），b（x2、y2），若y1、y2=-p2，那么直线l是否经过一定点？若x1x2=-p2又如何？以上两个问题解答并不难，不再一一给出答案。4、加强多题一解与一题多解的研究，使学生的知识结构形成网络化。随着考试改革的不断深化，推进素质教育已得到社会各界人士的广泛支持，大量重复练习，让学生成为解题机器已越来越不适应社会发展需要。高考数学改革的方向之一就是朝“不要复习也能考，老办法复习考不好”（国家考试中心语）而努力。对于备考工作，一定的练习量是必需的，但如果一味依靠习题数量而没有发展内含，有时可能还适得其反。以上谈到的抛物线的焦点弦的一些问题链，其思想方法完全可以推广到其它圆锥曲线，焦点弦问题起到举一反三作用，殊途道同，达到多题一解的效果。同时，还可不断地将问题引向深入，使学生的解题能力达到质的提升。 例8：直线l经过抛物线y2=2px焦点，与抛物线交于a、b，过b作抛物线准线的垂线，垂足为b1，问a、o、b1三点是否共线？ 例9：抛物线y2=2px上一点a，连ao交抛物线准线于b，过b作x轴平行线交抛物线于c，问ac是否经过定点？学无止境，教学是一门遗憾