函数列三种收敛的关系探究_毕业论文.doc

本 科 生 毕 业 论 文函数列三种收敛的关系探究学 号： 2009563018 姓 名： 刘玉良 年 级： 09级本科二班 系 别： 数学系 专 业： 数学与应用数学 指导教师： 王国贤 完成日期： 2013年4月20日 承 诺 书我承诺所呈交的毕业论文（设计）是本人在指导教师指导下进行研究工作所取得的研究成果.据我查证，除了文中特别加以标注的地方外，论文中不包含他人已经发表或撰写过的研究成果.若本论文（设计）及资料与以上承诺内容不符，本人愿意承担一切责任. 毕业论文（设计）作者签名： 日期： 年 月 日黑河学院本科毕业论文（设计）目 录摘 要iabstractii前 言1第一章 基本概念21.1 一致收敛的相关定义21.2 依测度收敛的定义41.3 几乎处处收敛的定义5第二章 函数列收敛之间的关系62.1 几乎处处收敛与一致收敛间的关系62.2 依测度收敛与几乎处处收敛之间的关系82.3 一致收敛与依测度收敛之间的关系122.4 基本上一致收敛与几乎处处收敛之间的关系122.5 基本上一致收敛与依测度收敛之间的关系13第三章 利用收敛性的关系解决问题153.1 利用一致收敛问题解决几乎处处收敛问题153.2 利用依测度收敛问题解决几乎处处收敛问题163.3 利用几乎处处收敛问题解决一致收敛问题18结 论19参考文献20致 谢21摘 要本文讨论了实数系下函数列的一致收敛、依测度收敛、几乎处处收敛、基本上一致收敛的定义及定理，以及四种收敛之间的区别与联系.在有些条件（一般可测集和有限可测集）改变时，这几种收敛性相互之间又没有必然的联系.给定一个函数列，我们在考虑它的收敛性问题时，应该注意各种收敛之间有什么关系以及在什么意义下收敛.对于可测函数列来说，下文所介绍的叶果洛夫定理指出了几乎处处收敛与一致收敛的某种关系，黎斯定理指出了依测度收敛和几乎处处的某种关系，由于函数列一致收敛性有着重要意义，可以预见这一定理有广泛的应用，此外本文引进的依测度收敛的概念是可测函数列最经典的一种收敛，它在概率中有着具体含义.而研究清楚了它们之间的关系，我们可以应用相关定理来解决一些简单的问题.进而使我们能够对于黎斯定理、叶果洛夫定理进行简单的应用，同时使我们对于定理有了更加深刻的理解和认识.关键字：收敛；一致；依测度；几乎处处；基本上 abstractthis paper discussed the uniform convergence，convergence in measure， almost everywhere convergence，basically uniform convergence definition and theorem in the actual amount，and there is some difference between the four kinds of definitions of convergence. if some conditions (general measurable sets and finite measurable set) are changed，the convergence does not always establish. given a sequence of function， when we consider convergence，we should pay attention to the relationship between the various convergences and in which sense. facing to the convergence of measurable function sequence，eropob theorem pointed out the relationship between almost everywhere convergence and the uniform convergence. riesz theorem pointed out the relationship between convergence in measure and almost everywhere convergence. because of the significance of uniform convergence of function sequence，we can forecast this theory could be applied widely. in addition，the concept of the convergence in measure is one of the most classic concepts of measurable functions，and it has a specific meaning in probability. if we can make clearly the relationship between them， we can apply related theorem to solve some simple problems and we can perform simple application for riesz theorem and eropob theorem，at the same time we have a more profound understanding and knowledge for the theorem.key words: convergence; uniform; according to the measure; almost everywhere; almost ii 前 言高等数学教学中的一个至关重要的概念就是具有收敛性的函数列的收敛问题，这是一个对我们数学学习研究有重要意义的问题.并且对于我们研究数学分析问题有重要的意义.是数学分析理论的重要组成部分和理论基础，是实变函数重要概念之一.在数学应用与技术工程中有着广泛应用，无论在数学科学本身还是在其他技术科学的研究中都是有着重要的研究价值.而如果通过函数列收敛的定义推断出函数列收敛性关系则是非常复杂的，因此，找出判断函数收敛性问题的方法则是非常重要的.所以，本文研讨了实函数列的一致收敛、依测度收敛、几乎处处收敛、基本上一致收敛的概念、转化关系以及应用进行了深入的总结和分析，而在大部分资料中一般给出实函数列收敛关系的内容较简单，篇幅少，为了对实变函数列的一致收敛、依测度收敛，几乎处处收敛、近一致收敛的关系有更加全面的掌握和正确的理解，本文做了以下几点讨论：1.研究了一致收敛、依测度收敛，几乎处处收敛、近一致收敛的定义.2.给出了函数列几乎处处收敛的定理、一致收敛的定理、依测度收敛以及基本上一致收敛的定理.3.将函数列的黎斯定理、叶果罗夫定理、勒贝格定理进行了简单的应用.通过以上的讨论和研究，使得判定函数列的各种收敛性之间的关系变得更加透彻与清晰. 第一章 基本概念1.1 一致收敛的相关定义我们知道收敛与一致收敛的理论，是我们学习数学分析的重要概念之一，同时也是数学教学中的难点之一，特别是函数列的收敛与函数列一致收敛的问题，在各个版本的数学分析教科书中都有着重要地位.从实数序列收敛问题的基础上直接引入的函数序列的收敛，一致收敛的定义，并由此进行了深入的研究，这也将使这部分内容可以独立的建立自己的脉络，更有利于我们的理解和学习1.收敛的几个相关的定义数列的收敛性的定义定义1.12 设，是一实数，都存在正时，就有定义1.1 改用说法 当时，有.例如 序列， ， 有极限，其中每一项的特征是它们均为函数，而它们每一项的极限也是的函数，因此，它们构成了的序列就不是实数序列，而是函数序列，其一般式可记为.函数列收敛的定义如下定义1.23 设函数列，每项及函数均在数集上有定义.若，函数列收敛于.即 有则函数列在上收敛于并称函数是函数列的极限函数. 定义1.2 改用说法 设与在数集e上均有定义.对每一个确定的，任给则恒存在，假使当时，总有则函数列在e上收敛于，并称的极限函数是函数.即.我们可以了解到函数列的收敛性问题不但要考虑函数列的趋向，而且要考虑到极限函数，所以函数列的收敛性问题就比实数列的收敛问题复杂很多，因此有了更广泛的意义，但是，时变化趋势，例如当时代入函数列，从而就可以得到函数列: ，.，这时考虑的收敛性就是数列的收敛问题.函数列在数集上每一点都收敛，也就是说点态收敛.它反映了，对于函，我们不仅，而且更重的是还要和极限函数所具备的性质；例:如果函数列的每一项都具备了某种特性(如连续性，可积性)，那么极限函数是不是有同样的性质，对于这类问题的讨论，我们只要求了解在数集上收敛的函数列问题是不全面的.因此，有时收敛性不能保证极限函数收敛性的特性.定义1.3 设是定义在可测集上的实函数.如果，集合（勒贝格可测），则称f是定义在e上的（勒贝格）.例如 狄利克雷函数就是可测函数对于任意有限实数，而均可测集. 所以，可测集，则由定义知狄利克雷函数就是可测函数.标注15 设是定义在可测集e上的，下列都是在e上（勒贝格）可测的： （1）对任何有限实数，都可测； （2）对任何有限实数，都可测； （3）对任何有限实数，都可测； （4）对任何有限实数，都可测.定义1.4 设为一可测空间，e是一个可测集.：e为定义在e上的函数.若对任意有限实数，总有，则称为可测函数（简称e上的可测函数).定义1.58 凡是外测度为零之集皆可测，称为零测度集. 用符号语言表示为 为一集合，则为零测度集.定义1.6 若是一个与集合e的点有关的命题，如果存在e的子集，适合 ，使得在上恒成立，也就是说，零测度集，则我们称在e上几乎处处成立，或说.定义1.78 设定义在点集上的广义实值可测函数，若有=则称在点集上是几乎处处有限的. 用符号语言表示 ， 注意， 与是不同的，后者蕴含于前者，但是反之则不成立.例如 1.=当时说，=，而 (在处不连续). 2.=当时说，而(在=处不连续). 3.=对于所有的来说， (每一处都连续).其中，以上每一题中数集都为. 这时我们就对函数列收敛问题提出了更多的想法，极限函数的分析性才能得到保证.数分中的一个显著方法就是由函数列收敛性推出函数收敛的性质，而点态收敛不足以胜任这个任务，那么，比点态收敛性强一点的收敛性概念就要被我们引入，就是下面定义 注1 定义1.2中对每个确定根据给定找这样找出不仅与有关，一般来说且与的取值有关.但在定义1.3中，对一切，对于所给，不管数集上哪一点总可以找到一个公共，仅与有关，而与的取值无关，只要时，都有.注2 可以看到定义1.3成立，定义1.2成立，但反之不成立.定义1.8 设在数集上一致收敛于，则其任一子函数列均在上一致收敛于.用符号语言表示 若i，则i 引理1.1 设，是e上的一列几乎处处有限的可测函数；=于e且有=，则称函数列依测度收敛于或度量收敛于，记为.用符号语言表示为 =，则.注意 =.定义1.10 改用说法 对任意及，存在正数，使时，（误差）不论这个有多么小使得大于的点虽然可能很多，但是这些点的全体的测度随着无限增大而趋向于零引理1.2 设是上几乎处处有限的可测函数，若，则对于任意，y有有 （*）证明 很明显，上限集中的点必不是收敛点，从而由题设可知根据递减集合列测度定理，可知（*）成立.例如 若，可测且于，若于，则证明 已知条件满足引理1.2的条件，所以对于任意，得则可得说明结论成立 .1.3 几乎处处收敛的定义定义1.116 设定义在点集上的广义实值函数，若存在e中的有及=，则称在上于并且为，于.用符号语言表示为 若及=，则，于e.显然，若是e上的可测函数列，则也是e上的可测函数.从几乎与依测度收敛的可以看出，在点上函数集的收敛（尽管去点一个零测度集外），后者并非指在哪个点上的收敛，其要点在于点集的测度应随，而位置状态如何，两者的区别在这7.这一章中我们定义了基本上一致收敛.一致收敛是指对于任意的属于，都有，而几乎处处收敛是指去掉一个零测集后，依测度收敛是指对于任意有=，即，而基本上一致收敛是说去掉一个测度任意小的集合后.于是，下面我们着重讨论一下它们之间的关系.第二章 函数列收敛之间的关系2.1 几乎处处收敛与一致收敛间的关系性质2.111 若在，这里我们可以由一致收敛定义对于任意的属于，都有知去掉一个零测集后i ，则结论成立. 在数学分析中，它能使极限过程和一些得到保证，但一般来说，上是未必一致收敛的.例上，但只要从的任意小的一段成为，那么在其上就了，其实是带有的.这就是下面要提到的定理. 定理2.1（叶果洛夫） 设，是e上一列收敛于一个有限的函数的可测函数，则对任意0，存在子集，使在上一致收敛，且.证明 任选一列正整数，同时作出的子集(它由而完全确定).则在一致收敛于事实上，任给，选，使，则当时，对都有 0之后，如果能适当发的选取，使，则令它就满足定理得要求.但由引理，对于=，1，2，3，分别存在充分大，使以及任何可测集，当时，.（反正） 假设，当时，则对于=1，当n时，有由于 = =所以因而，必有于是=1，互相矛盾.（2）由叶戈罗夫定理可得.由（1）中的充分性可以得到结论.2.2 依测度收敛与几乎处处收敛之间的关系我们知道依测度收敛不论是在有限可测集上还是在一般可测集上，即“从整体上”推不出几乎处处收敛.例如 我们用以下步骤构造定义在上的函数列，首先定义=1，其次将二等分，在上定义两个函数：=， =再将区间四等分，在上定义4个函数：=， =一般地将区间进行等分，在0，1上定义个函数： =， 0 令=+(为正的整数)，可用以上方法得到函数列，而其中，此时，由于1，=，使得因此必有子列，使得. 由定理右条件，于.根据上述定理可知，在上有，所以 =这与上述相矛盾.证毕. 定理2.5（黎斯） 设在e上测度收敛于则存在子列在e上收敛于.证明 有，=则任给取对于有 ，于是取=令作因此,在上收敛，存在，使得，=，对于， ，又= .定理2.6（勒贝格) ，是上一列几乎处处有限可测函数，于，则.证明 由已知有则=0于是有.证毕. 2.3 一致收敛与依测度收敛之间的关系定理2.7 设，是上几乎处处有限的可测函数.若对任给的，存在且使得几乎处致收敛于，则在上依测度收敛于.证明 对任给的，依假设存在且，及自然数，使得当时，有，由此可知这说明当时，有所以.2.4 基本上一致收敛与几乎处处收敛之间的关系性质2.2 9.例如 ，对于，则有，使得，很显然.性质2.3 .几乎处处收敛不一定基本上一致收敛. 叶果洛夫定理中+1，且时，=. 所以在上.性质2.4 不论是在有限的可测集还是一般的可测集上，基本上一致收敛一定几乎处处收敛，叶果洛夫定理的逆定理成立可说明.例 逆定理为，对于任意0，实数系函数列在上一致收敛于，且，则存在子集， .则可以看出基本上一致收敛的函数列几乎处处收敛.定理2.8 设可测集上，则函数序列.证明 由函数列基本上一致收敛，即对于每一个，存在，有可测集，使得. 而序列在上一致收敛于.令则在上处处收敛于.其实，当时，一定属于某一个.既然在上一致收敛于，自然在上也收敛于.同时，我们断定这是因为，对每个自然数有因而所以.证毕.2.5 基本上一致收敛与依测度收敛之间的关系不论是在有限可测集还是一般可测集上，基本上一致收敛的函数列一定是依测度收敛的函数列.例如 为一可测集，即对于，存在可测子集，有，可以得到所以.命题 设和，都是可测集上的几乎处处有限的可测函数，若在上是基本上一致收敛于的，则. 证明 由条件对任意及，存在=及的，且，当时，对，|，所以，对任意，于是对任何，必有，即综上所述，对0，0，存在=时，从而由依测度收敛的定义可知.证毕.实数系下一致收敛的函数列，必定是基本上一致收敛的；反之，基本上一致收敛的函数不一定一致收敛，这里由两者的定义就可以看出来.本章着重介绍了关于函数列一致收敛、依测度收敛、几乎处处收敛之间内在的关系，从讨论中可以知道其中对于一致收敛的函数列条件要求最为严苛，而对于一致收敛函数列来说，它们也是基本上一致收敛、依测度收敛、几乎处处收敛.虽然基本上一致收敛的函数列对于一致收敛条件要求比较宽松，但是基本上一致收敛函数列的条件比依测度收敛和几乎处处收敛的条件都要严苛.研究清楚了它们之间的关系，对于我们学习函数列的收敛问题有了进一步的认识，我们也可以应用它们的关系来解决一些问题.第三章 利用收敛性的关系解决问题了解了实数系下函数列的各种收敛关系，下面应用定理进行简单的应用.先证明一下基本上一致收敛的函数列如何能推导出几乎处处收敛的函数列.3.1 利用一致收敛问题解决几乎处处收敛问题例3.16 设函数列 在上有界集上“基本上”一致收敛于证明收敛于 证明 题意要求的是 对于，使得且在上，.要证于，于是取，使得令则在上而在上 = =故在上且有=即于.例3.2 设以及都是上几乎处处有限的可测函数.若对任给的，存在的可测子集：，使得在上一致收敛于，试证明在上几乎处处收敛于.证明 对于，存在的可测子集，使得，且在上一致收敛于.记因为，所以，因为在上一致收敛，故在处收敛又故在上几乎处处收敛于.探究完实数系下函数列的基本上一致收敛和几乎处处收敛的问题，研究一下应用黎斯定理解决依测度收敛和几乎处处收敛的问题.3.2 利用依测度收敛问题解决几乎处处收敛问题例3.3 设在上且几乎处处成立，则几乎处处有收敛于.解 于即=由黎斯定理，知，则 于即作则在上 即（单调函数的子列收敛于一个函数，则其单调函数列收敛于同一极限.） 故于.例3.5 设函数列在上依测度收敛于，且，试证在上几乎处处成立.证明 若，由黎斯定理存在子列，使得构造则有而在上有则在上有又因故.讨论完黎斯定理的应用后，我们进而探究一下应用叶果洛夫定理解决几乎处处收敛与一致收敛问题的例子.3.3 利用几乎处处收敛问题解决一致收敛问题例3.5 设，是上且有 的充要条件是：试证明能够存在，使，而在每个 证明 由题设条件知符合叶果洛夫定理的全部条件， 所以存在使得在上一致收敛于，因为 ，所以.通过以上例题，使我们对于黎斯定理、叶戈罗夫定理进行了简单的应用，同时使我们对于定理有了更加深刻的理解和认识.结 论至此，已经讨论了函数列一致收敛、依测度收敛、几乎处处收敛、基本上一致收敛的定义以及它们收敛性之间的关系.从讨论中可以知道其中一致收敛函数列的条件要求最为严苛，而对于实数系下一致收敛函数列来说，对于其他几种收敛也是成立的.虽然基本上一致收敛函数列对于一致收敛条件要求比较宽松，但是基本上一致收敛函数列的条件比依测度收敛和几乎处处收敛的条件都要严苛.不论是在一般可测集还是在有限可测集上，基本上一致收敛函数列都能够推出依测度收敛和几乎处处收敛.然而在一般可测集上，推不出基本上一致收敛，但是在有限可测集上，几乎处处收敛函数列必定基本上一致收敛，而在一般可测集上，几乎处处收敛函数列未必基本上一致收敛.而对于函数列的几乎处处与依测度的收敛之间的推导需要某一特定的条件约束.而在有限可测集上，即，函数列的几乎处处收敛问题必定是依测度收敛的问题，但是在一般可测集上，几乎处处收敛函数列未必依测度收敛.研究清楚了它们之间的关系，我们可以应用相关定理来解决一些问题.进而使我们能够对于黎斯定理、叶戈罗夫定理进行简单的应用，同时使我们对于定理有了更加深刻的理解和认识.参考文献1 徐森林，薛春华.实变函数论m.北京：清华大学出版社，2009:185-206.2 华东师范大学数学系.数学分析（上册）第三版m.北京：高等教育出版社，2007:23-30.3 华东师范大学数学系.数学分析（下册）第三版m.北京：高等教育出版社，2007:22-45.4 郑维行，王声望.实变函数与泛函分析概要m.北京：高等教育出版社，2005:101-108.5 程其襄，张奠宙，魏国强等实变函数与泛函分析既基础m.华东:高等教育出版社，2003:81-94.6 魏国强，胡善文.实变函