甘肃省张掖市2012届高三下学期4月高考诊断测试数学(理科)试题

甘肃省张掖市甘肃省张掖市 20122012 届高三下学期届高三下学期 4 4 月高考诊断测试数学月高考诊断测试数学 （理科）试题（理科）试题 本卷分第卷（选择题）与第卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试用时 120 分钟. 第卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题的四个选项中只有一个 选项是符合题目要求的. 1复数 2012 1i z 1 i 的共轭复数是（ ） A1i B1 i C1 i D1i 2已知函数 yf x的图象与函数 x 1 y2 （x0）的图象关于直线yx对称，则（ ） A 2 f xlog x1（x2） B 2 f xlog x1（x0） C 2 f xlogx1（x2） D 2 f xlogx1（x0） 3已知 n S是等差数列 n a的前n项和，且 10081004 S4S，则 2012 S的值为（ ） A2010 B2011 C2012 D2013 来源:学+科+网 Z+X+X+K 4已知函数 f x2cosx（0且0）为奇函数，其图象与x轴的所 有交 点中最近的两交点间的距离为，则 f x的一个单调递增区间为 （ ） A, 2 2 B0, C 3 , 22 D,2 5在正三棱柱 111 ABCA B C中，若 1 ABAA4，点D是 1 AA的 中点，则点 1 A到平面 1 DBC的距离是 （ ） A2 B 2 2 C 2 3 D 2 4 6函数 2 f xxbx的图象在点 A 1, f 1处的切线与直线3xy20平行，若数 列 1 f n 的前n项和为 n S，则 2012 S的值为 （ ） A 2009 2010 B 2010 2011 C 2011 2012 D 2012 2013 7已知OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，若OB2， OCOA1OB 且 2 1，则OC AB 的取值范围是（ ） A ,02, B , 20, C,05, D,50, 8已知长方体 1111 ABCDA B C D中，ABBC2， 1 A D与 1 BC 所成的角为 2 ，则 1 BC与平面 11 BB D D所成角的正弦值为（ ） A 6 3 B 1 2 C 15 5 D 3 2 9在小语种提前招生考试中，某学校获得5个推荐名额，其中俄语2名，日语2名，西班 牙语1 名.并且日语和俄语都要求必须有男生参加.学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象， 则不 同的推荐方法共有 （ ） A20种 B22 种 C24种 D36种 10设实数x,y满足 xy20 x2y50 y20 ，则 22 xy u xy 的取值范围是（ ） A 5 2, 2 B 10 2, 3 C 5 10 , 23 D 1 ,4 4 11已知三棱锥VABC中，VA3 2，VB4，VC2，点E为侧棱VC上的一 点， VABE，且顶点V在底面ABC上的射影为底面的垂心.如果球O是三棱锥 VABC的 外接球，则V，A两点的球面距离是（ ） A2 B 3 2 C D 2 12定义在R上的奇函数 f x满足 f xf 1x1, x1 ff x 52 ，且当 12 0xx1时，有 12 f xf x，则 2011 f 2012 的值为（ ） A 63 64 B 31 32 C 15 16 D 7 8 第卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13二项式 6 1 2x x 的展开式中的含 2 x的项的系数是 . 14若 3 sincoscossin 5 ，且是第三象限的角，则 5 sin 4 的值 为 . 来源:学.科.网 Z.X.X.K 15已知抛物线 2 y2px（p0）的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点， 且 MF4 OF,MFO的面积为4 3，则该抛物线的方程为 . 16已知双曲线 22 22 xy 1 ab （a0,b0）的左、右焦点分别为 12 F ,F，P为双曲线右 支上一 点， 2 PF与圆 222 xyb切于点Q，且Q为 2 PF的中点，则该双曲线的离心率为 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （本题满分 10 分，每小题 5 分） 在锐角ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.且 acsinB bcsin AsinC . （1）求角A的大小及角B的取值范围； （2）若a3，求 22 bc的取值范围. 18 （本题满分 12 分，每小题 6 分） 某大学对该校参加某项活动的志愿者实施“社会教育实施”学分考核，该大学考核只有 合格和 优秀两个等次.若某志愿者考核为合格，授予0.5个学分；考核为优秀，授予1个学分. 假设该 校志愿者甲、乙考核为优秀的概率分别为 4 5 、 2 3 ，乙考核合格且丙考核优秀的概率为 2 9 .甲、 乙、丙三人考核所得等次相互独立. （1）求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率； （2）记在这次考核中，甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量，求随机变 量的 分布列和数学期望. 19 （本题满分 12 分，每小题 6 分） 如图，已知直三棱柱 111 ABCA B C中， 0 ACB90,E是棱 1 CC上的动点，F是 AB的 中点，ACBC2， 1 AA4.来源:学+科+网 （1）当E是棱 1 CC的中点时，求证：CFA平面 1 AEB； （2）在棱 1 CC上是否存在点E，使得二面角 1 AEBB的大 小 是 0 45？若存在，求出CE的长，若不存在，请说明理由. 20 （本题满分 12 分，每小题 6 分） 已知 n b是公比大于1的等比数列，它的前n项和为 n S， 若 3 S14， 1 b8， 2 3b， 3 b6 成等差数列，且 1 a1， nn 12n 1 111 ab bbb （n2）. （1）求 n b； （2）证明： 3 12n 12n 111e aaa （其中e为自然对数的底数）. 21 （本题满分 12 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 8 分） 已知椭圆C： 22 22 xy 1 ab 的左、右焦点分别为 12 F ,F，它的一条准线为x4，过点 2 F的 直线与椭圆C交于P、Q两点.当PQ与x轴垂直时， 12 2 tanF PF 3 . （1）求椭圆C的方程； （2）若 22 PFF Q ，求 1 PFQ的内切圆面积最大 时 正实数的值. 22 （本题满分 12 分，第（1） 、 （2）小题各 3 分，第（3）小题 6 分） 已知函数 2 1 f xxae4 x2lnx 2 ， g xax 2lnx（其中e为自然对数 的底 数，常数a0）. （1）若对任意x0， g x1恒成立，求正实数a的取值范围； （2）在（1）的条件下，当a取最大值时，试讨论函数 f x在区间 1 ,e e 上的单调性； （3）求证：对任意的 * nN，不等式 n 32 21531 lnnnn n12824 成立. 来源:Z#xx#k.Com 张掖市 2012 年 4 月高考诊断试卷数学（理科）参考答案 一、选择题： C ACCA DABCB BB 二、填空题：13240 14 7 2 10 15 2 y8x 165 三、解答题： 17 （1）由 acsinB bcsin AsinC 得 acb bcac 即 222 bcabc 得 222 bca1 cos A 2bc2 ，故A 3 .-（3 分） 又因ABC是锐角三角形，故BA 2 即B 23 得B 6 故B 62 .-（2 分） （2）由 a 2R sin A ，得 3 2R2 sin 3 依 2 BC 3 得 2 CB 3 于是 2222 bc4 sin Bsin C2 1cos2B1cos2C 42 cos2Bcos2C 4 42 cos2Bcos2B 3 13 42cos2Bsin2B 22 42cos 2B 3 依B 62 得 24 2B 333 -（3 分） 知当2B 3 时，即B 3 时， 22 bc取得最大值6. 当 4 2B 33 时，即B 2 时， 22 bc取得最小值5. 故所求 22 bc的取值范围是5,6.-（2 分） 18 （1）设丙考核优秀的概率为P， 依甲、乙考核为优秀的概率分别为 4 5 、 2 3 ，乙考核合格且丙考核优秀的概率为 2 9 . 可得 1 P 3 2 9 ，即P 2 3 .-（2 分） 于是，甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率为 1 1 144 1 5 3 345 .-（4 分） （2）依题意1.5,2,2.5,3 2 111 P1.5 5345 2 412 1 18 P22 533 5 345 2 4 2 11220 P2.52 5 3 35345 2 4216 P3 5345 - （4 分） 于是的分布列为 1.522.53 P 1 45 8 45 20 45 16 45 故E 1 1.5 45 + 8 2 45 20 2.5 45 1677 3 4530 -（2 分） 19（1）证法 1 取 1 AB中点M-（1 分） 因 1 MFBBA且 1 1 MFBB 2 ， 1 CEBBA且 1 1 CEBB 2 ，故MFCEA且MFCE， （3 分） 因而CFEMA且CFEM因此CFA平面 1 AEB。- （2 分） 证法 2 以C为坐标原点，射线 1 CA,CB,CC为x,y,z轴正半轴， 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz. 则C 0,0,0,A 2,0,0,B 0,2,0， 1 C0,0,4， 1 B 0,2,4， F 1,1,0. 设E 0,0,m，平面 1 AEB的法向量为nx,y,z ，依 1 AB2,2,4 ， AE2,0,m 且 1 nAB ，nAE . 可得 1 ABn2x2y4z0 AE n2xmz0 取z2，得nm,m4,2 -（4 分） 当E是棱 1 CC的中点时，m2. 则n2, 2,2 及CF1,1,0 得 n CF0 故CFA平面 1 AEB.-（2 分） （2）因平面 1 EBB的法向量为CA2,0,0 ，-（2 分） 又二面角 1 AEBB的大小是 0 45，故 0 CA n cos45 CA n 即 2 2 22m 2 2 mm44 解得 5 m 2 . 故在棱 1 CC上存在点E，使得二面角 1 AEBB的大小是 0 45.此时 5 CE 2 .-（4 分） 20 （1）依 3 S14， 1 b8， 2 3b， 3 b6成等差数列，得 2 1 2 111 b 1qq14 6b qbb q14 - （2 分） 从而 2 2q5q20 得 1 q2 b2 故 n b n 2.-（4 分） （2）当n2时，由 n n 2n 1 111 a2 222 n 22得 n n nn 11 a22 . 要证明 3 12n 12n 111e aaa 只需证 2n 2n ln2ln 1ln 13 2222 .-（1 分） 令 f xln 1xx （x0） 则依 / 1x fx10 1x1x 知 f x在区间0,单调递减， max f xf 00. 故当x0时， f x0，即ln 1xx. 从而当n2时， nn nn ln 1 2222 n 1 n 2 -（2 分） 于是 2n 2n ln2ln 1ln 1 2222 2n 1 23n ln2 222 令 n T 2n 1 23n 222 n 1 T 2 23n 23n 222 来源:Z&xx&k.Com 得 n 1 T 2 23n 1n 111n 1 2222 3 2 n n2 2 故 n T3 n 1 n2 3 2 故 3 12n 12n 111e aaa .-（3 分） 21 （1）当PQ与x轴垂直时， 12 4 tanF PF 3 得 122 2c4 tanF PF b3 a 得 2 ac2 b3 即a2c-（2 分） 又 2 a 4 c 解得c1，a2，b3故所求椭圆C的方程为 22 xy 1 43 .-（2 分） （2）由点 1 F1,0， 2 F 1,0，可设 11 P x ,y， 22 Q x ,y 当PQ与x轴垂直时， 依 12 F MF1211 11 SPQF FPFQFPQr 22 （其中r为 1 PFQ的内切圆半径） 即PQ 2c4a r得 2 2b 2c 3 a r 4a4 此时可知1-（2 分） 当PQ与x轴不垂直时，不妨设直线PQ的方程为yk x1 代入 22 xy 1 43 得 2222 34kx8k x4k120 则 2 2 12 2 2 2 144 k10 8k xx 34k 4k12 x x 34k -（2 分） 从而可得 2 2 2 12 k1 PQ1k 34k 2 2 12 k1 34k 又点 1 F1,0到直线PQ的距离 2 2k d 1k . 依 12 F MF11 11 SPQ dPFQFPQr 22 （其中r为 1 PFQ的内切圆半径） 即PQ d4a r-（2 分） 得 PQ d1 r 88 2 2 12 k1 34k 2 2k 1k 42 42 kk 3 16k24k9 242 1 3 81 16 kkk 知在区间0,上该函数单调