有限元考试复习题

第 1章 杆件结构 1.1 单元刚度如何叠加成结构的整体刚度矩阵？为什么这样叠加？如何从刚度矩阵的 物理意义去理解此叠加关系？叠加成的整体刚度矩阵又有什么特点？ 答：（ 1）首先对杆件结构进行自然离散，并对其进行节点编号和单元编号，然后通过 坐标转换公式将局部坐标系下的单元刚度矩阵转换为整体坐标系下的单元刚度矩阵。 将所得的单元刚度矩阵按节点编号进行组装，即可形成整体刚度。 （ 2） 这样的 叠加 方法 条理清晰，便于电脑程序编程， 分块进行，效率较高，且尤 其适用于大量杆件结构体系，将所有的计算 程序化 后 ， 大大节省了时间，并且精度较 高。 （ 3）刚度矩阵的 物理意义是表示结构或构件单元在单位位移或变形下所能承受的 力的大小。通过单元刚度矩阵建立单元节点力与节点位移之间的关系，通过整体刚度 矩阵建立所受外荷载与整体位移之间的关系 。通过 单元刚度矩阵叠加 构建 整体刚度矩 阵，则建立起了结构整体外荷载与整体位移之间的方程，进而通过求得的整体位移进 一步求出单元之 间 的节点位移，并最终求得各单元之间的节点力。 （ 4）特点： 1）对称性。由于杆单元的单刚是对称矩阵，则由它们集成的总刚也 具有对称性。 2)奇异性。即无论是单刚还是总刚都是奇异的，它们不存在逆阵。 3)存 在相当数量的零元素。由于 杆系结构的特点，一个节点可能只连接少数几个单元，因 此可能与周围邻近的几个节点之间存在非零的元素。 1.2 如图所示的圆杆，由两个不同截面的杆件（ 1）与（ 2）组成，在节点 1， 2， 3 上 作用有轴向节点载荷 1Q 、 2Q 、 3Q 而平衡。试 写出 3 个轴向载荷与节点 的轴向位移 1u 、 2u 、 3u 之间 的矩 阵关系。 解： 杆件 1 的 单元 刚度矩阵为： 1 1 1 1111EAk l ； 杆件 2 的 单元 刚度矩阵为： 2 2 2 1111EAk l ； 结构的整体刚度矩阵为： 11 11 11 11 12 1 1 2 2 1 1 2 2 21 22 11 12 1 1 2 222 21 22 22 22 E A E A ll kk E A E A E A E A K k k k k l l l l kk E A E A ll 而又 12l l L，所以 11 1 1 2 2 22 AAE K A A A AL AA 令节点位移向量为 1 2 3, Tu u u ，节点力为 1 2 3, TF Q Q Q ，从而可得 3 个轴向 载荷与节点 的轴向位移 其关系为 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 3 2 2 3 Q A A uE Q A A A A uL Q A A u 1.3 如图所示为三角桁架 ，已知 25 /101.2 mmNE ，两直边的长度 ml 1 ，各杆的截 面积 21000mmA ，求此结构的整体刚度矩阵 K ，若节点的编号改变后，问 K 的有 无变化 ？ 解：杆件的单元刚度矩阵为： 1111i i iEAk l ，从而可得各个单元在局部坐标 系下的单元刚度矩阵为： 1 1111EAk l ； 2 1111EAk l ； 3 11112EAk l 平面杆单元坐标转置矩阵： cos sin cos sin T ，而 又 0 0 01 2 39 0 0 4 5 、 和， 从而各个单元的坐标转置矩阵分别为： 1 0 1 0 1 T ； 2 1 0 1 0 T ； 3 2 2 2 2 2 2 2 2 T 根据上面给出的坐标转置矩阵，可得各个单元在整体坐标系下的单元刚度矩阵为 1111 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 T E A E Ak T k T ll 2222 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 T E A E Ak T k T ll 3333 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 12 2 2 2 0 1 1 1 1 1 T E A E Ak T k T ll 令节点位移向量为 1 1 2 2 3 3, , , , , Tu v u v u v ，节点力为 1 1 2 2 3 3, , , , , Tx y x y x yF q q q q q q ， 按照整体刚度矩阵的拼装原则，可得 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 00 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 00 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 0 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 EA K l 若节点的编号改变后， K 会发生变化，但是并不影响最终的计算结果。 第 2章 平面问题 2.1 平面结构由平板与加强直杆组合而成，如 下 图所示，在板的斜边上作用均匀的垂 直载荷 q ，已知板与杆的尺寸 a 、 b 、 t 及材料性质 E、 ，若加强杆只承受轴力，将 三角板离散为 4 个三角形单元，试简要说明用有限元位移法求解此结构的位移与应力 的方法与步骤。写出整体载荷列阵。 解：用有限元位移法求解此结构的位移与应力的方法与步骤如下所示： （ 1） 对整个结构进行离散化，将其分割成若干个单元，单元间彼此通过节点相连； （ 2） 求出各 三角形 单元的刚度矩阵 K(e)。 K(e)是由单元节点位移量 (e)求单元 节点力向量 F(e)的转移矩阵，其关系式为： F(e)=K(e)(e)； （ 3） 集成 结构的 总体刚度矩阵 K并写出总体平衡方程。总体刚度矩阵 K是由整 体节点位移向量 求整体节点力向量的转移矩阵， 其关系式为 F=K，此即为 总体平衡方程； （ 4） 引入 边界 条件， 简化求解方程， 求出各节点的位移； （ 5） 求出各 三角形 单元内的应力和应变。解有限元 方程：根据边界条件修正的总 体有限元方程组，是含所有待定未知量的封闭方程组，采用适当的数值计算方法求解， 可求得各节点的函数值。 外荷载为线性分布的表面力，且为均布荷载。在单元坐标系中， 作用于单元 123 上的外荷载 等效为节点力为： 1 5 1 0 0 0 1 0 4 Tsf q t a ；作用于单元 356 上的 外荷载等效为节点力为： 2 5 1 0 0 0 1 0 4 Tsf q t a 。 进行转置后，可得在整体 坐标系的 荷载列阵为： 1 1 1 1 10 0 0 0 0 04 2 2 4 2 TF q t a q t a q t a q t a q t a q t a 2.2 图示的三角形单元 ABC，其尺寸如图，单 位： mm ，已知材料的弹性模量 MPaE 5102 ，泊松比为 0，如 A 点的 x 方向的位移 muA 8102 ， y 方向的位移 为 0； C 点沿 x 方向的位移为 0，沿 y 方向的位移 mvC 810 ；而 B 点的位移为零。试 计算此单元的应力及三个节点的节点力。 解：由题中条件可得三角形单元的节点位移列阵为： 0 0 0 0 Te AC 其中： 82 10 mAAu ， 810 mCCv 。 单元 ABC 为平面应力单元， A 节点编号为 i， B 节点编号为 j， C 节点编号为 m， 则其应力矩阵 i j mS S S S 为： 2 ,2 ( 1 ) 11 22 ii i i i ii bc ES b c i j m A cb 其中： i j m m ji j m i j m a x y x y b y y c x x ， i j m ， A 为三 角形 ABC 的面积。 而又 ei i iS ，则可得 2 ,2 ( 1 ) 11 22 ii i i i i ii bc E b c i j m A cb 三角形 单元 ABC 的应力为 ： e e e ei i j j m mS S S S 。 三角形 单元 ABC 的单元刚度 矩阵 eK 为 ： ii ij ime ji jj jm m i m j m m K K K K K K K K K K 其中 ： 2 11 22 1141 22 r s r s r s r s rs r s r s r s r s b b c c b c c bE K A c b b c c c b b 。 节点力的计算公式为 eFK ，将相关数据带入计算公式可得： 2 5 3 . 7 8 5 9 . 9 0 2 1 3 3 . 9 8 1 5 5 . 3 8 1 1 9 . 8 2 1 5 . 2 N8 TF 2.3 正方形平面结构，沿对角线 AD 方向承受两集中拉力 P，其网格示意所示。若取 整体计算时，结点应如何编号使其半带宽最小？并说明怎样处理位移约束。如果利用 结构的对称性，只计算 1/4，又如何处理边界条件？ 答 :（ 1）当节点编号合理即相邻单元的节点编号差尽可能小，这些稀疏的非零元 素集中在以对角线为中心的一条带状区域内 ，具体编码如下图所示 。 B=d（ D+1） 对 于平面问题 d=2， 则有 Dmin=5。由于 AD 方向承受两集中力整体对称，则两对称轴线 交点处的限制位移为 0，对称轴则是横向位移限制为 0，轴向位移放松 。 （ 2） 取 题中结构的四分之一，结构单元划分情况如下图所示。边界条件为： v4=v5=v6=0， 分别对应总体平衡方程的 8、 10、 12 行， u1=u2=u3=0 分别对应 1、 3、 7 行。因此，在计算机程序实现中将这 6 行中的对角线元素乘以大数即可，用手解即可 把这 6 行和 6 列划掉，使总体平衡方程变为 6 阶线性方程组。 x y 1 a 2 3 a 5 6 4 a a 2.4 如上题中在 BC 间连一刚度为 k 的弹簧 ， 按刚度矩阵的物理意义，在有限元分析 中如何处理此弹簧 ?弹簧原长为 BC 如何？若 原长 比 BC 的长度小 ，该怎样处理？ 答：在有限元分 析中， 刚度为 k 的弹簧 可以视为杆单元进行处理，只需要将 它的 刚度 系数叠加到整体刚度矩阵中的对应位置即可。如果 弹簧原长 比 BC 小 ，则其为有初 始应力的单元 且 为拉力。将弹簧的初始力 F=k 作用于对应节点，弹簧的刚度矩阵仍 然按照 BC 长度计算即可。 第 3章 等参数单元 3.1 证明平面三角形常应变单元为等参数单元。 证明： 等参数单元 ： 单元 的 几何形状和单元内的参变量函数 可 采用相同数目的节点参数 和相同的形函数进行变换 。 平面三角形常应变单元 的形函数既 可 用来进行 单元内位移 插值，也 可 用来表示单元内任意一点的坐标 。 其 位移模式为： i i j j m m i i j j m m u u L u L u Lv v L v L v L 其 坐标变换式为： i i j j m m i i j j m m x x L x L x Ly y L y L y L 因而 平面三角形常应变单元为等参数单元。 3.2 试证明三角形常应变单元 mmjjii NxNxNxx mmjjii NyNyNyy 证明： 对于 3 节点三角形单元，选用的位移模式是把单元中任一点的位移 u、 v 表示为 坐 标 x 和 y 的线性函数，即 1 2 3 4 5 6 u x yv x y 其中： 1 2 3 4 5 6, , , , , 为待定常数。 设各节点坐标为 , , , , ,i i j j m mx y x y x y，各节点位移为 , , , , ,i i j j m mu v u v u v， 从而有 1 2 3 4 5 6 i i i i i i u x yv x y ， 1 2 3 4 5 6 j j j j j j u x yv x y ， 1 2 3 4 5 6 m m m m m m u x yv x y 于是有 1 1 2 i i i j j j m m m u x y u x y u x y ， 2 11 12 1 ii jj mm xy xy xy ， 3 11 12 1 ii jj mm xy xy xy 其中 为三角形面积。将 i， j， m 按照逆时针编号，经过整理可得： 12 i i i i j j j j m m m mu a b x c y u a b x c y u a b x c y u 同理可得： 12 i i i i j j j j m m m mv a b x c y v a b x c y v a b x c y v 令 12 i i i iN a b x c y ，则可得 三角形常应变单元 的位移模式为 i i j j m m i i j j m m x x N x N x Ny y N y N y N 3.3 证明 ： 平面四节点等参数单元为完备的协调单元。 证明： 对于 平面四节点等参数单元 ，建立了局部坐标系或者映射后，可以在 平面上的母单元中描述实际单元的位移模式和力学特性。同时 ，任意四边形单元在母 单元中的位移模式就是矩阵单元的位移模式，写为： 1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 3 3 4 4 u u N u N u N u Nv v N v N v N v N ， 1 1 1 , 1 , 2 , 3 , 44 i i iNi 相邻 平面四节点等参数单元 之间 的交界线只与交界线上的结点坐标有关，而且交 界线上的位移只与该线上的结点位移相关，而与其他结点位移无关，因此，交界线上 的位移由该线上的结点位移所唯一确定 。 所以， 平面四节点等参数单元为完备的协调 单元。 3.4 证明：等参数单元 的形函数满足 1m i iN ， m 为单元的 结点 数。 证：形函数是定义在单元内部的、满足一定条件的、坐标的连续函数。形函数不 仅可以用于单元位移函数的插值，还可以用于单元形状的变换。形函数应该满足的条 件为： (1)在 节点 i 处， 1iN ，在其它节点处， 0iN ； (2)能保证用它定义的未知量在相邻单元之间的连续性。 (3)该包含任意线性项，以保证用它定义的单元位移可满足常应变条件 。 从而 应满足等式： 1m i iN ，以保证用它定义的单元位移能够反映刚体位移。 3.5 证明：平面八节点等参数单元为完备的协调单元。 证明： 对于 平面 八 节点等参数单元 ，建立了局部坐标系或者映射后，可以在 平面上的母单元中描述实际单元的位移模式和力学特性。 平面 八 节点等参数单元 的 位 移模式下在 坐标系下式双线性位移模式，在 xy 坐标系下不是双线性位移模式。 由于实际单元的边界上有一个局部坐标系为常数，因此单元位移沿着单元边界线性变 化，从而保证了单元的协调性。 所以 ， 平面 八 节点等参数单元 为完备的协调单元。 3.6 二维四结点等参数单元，在 X， Y 坐标中单元各边与坐标轴 X， Y 平行，边长为 a,b，试确定下列载荷情况下的结点载荷。 （ 1） 在 x 正方向有一分布载荷作用在 1 的边上，载荷在 1 为零，在 1 为 0q ，呈线性变化； （ 2） 在 1 的边上作用有均布载荷 0q ，方向压向单元； （ 3） 在 y 正方向上作用均匀的体积力 0b 。 答： （ 1） 由题 中条件 可知 则可得 120 0 0 0 0 0 33 TeRQ ， 其中 012Q qbt 。 （ 2）均布荷载作用下 110 0 0 0 0 0 22 TeRQ ， 其中 012Q qbt 。 （ 3）体积力 b0作用下 0 111100004444 TeRb 。 3.7 二维八结点等参数单元，在 X， Y 坐标中单元各边与坐标轴 X， Y 平行，边长为 a,b，试确定下列载荷情况下的结点载荷。 （ 1）在 x 正方向有一分布载荷作用在 1 的边上，载荷在 1 为零，在 1 为 0q ，呈线性变化； （ 2）在 1 的边上作用有均布载荷 0q ，方向压向单元； （ 3） 在 y 正方向上作用均匀的体积力 0b 。 解： (1)由题中条件可 得 则可得 1 1 50 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 4 4 2 4 TeRQ ， 其中 0Q qbt 。 （ 2）均布荷载作用下， 其中 0Q qbt 1110 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0333 TeRQ （ 3）体积力 b0作用下： 0 111111110000000088888888 TeRb 3.8 试 述 数值积分的高斯点数的选取原则。矩形单元、平面任意四结点单元、平面八 结点单元、空间八结点单元、空间 20 结点单元应怎样取积分点才能保证精度。 答： 对于平面问题，计算量约正比于 n2。 对于空间问题，计算量约正比于 n3。 对 于一维高斯积分，如取 n 个积分点，对于任一不高于 2n-1 次的多项式，都可得到准确 的结果。以单元刚度矩阵积分为例，如果被积函数中 的最高阶次为 m， 则 方向的 积分点为 12nm 。则可得矩形单元选择 2 2 的积分阶次，任意四结点单元也选 择 2 2 的积分阶次，八结点采用 3 3，能够保证精度。对于空间八结点和 20 结点单 元常采用 333 高斯积分 ， 但近年来研究表明 ， 对上述两种分别采用 2 2 和 222 高 斯降阶积分 ， 可以显著改进单元的特性 ， 又可节省计算量 。 3.9 试根据形函数的性质和特点构造平面任意四结点等参数单元和平面八结点曲边四 边形等参数单元的形函数。 解：对于 平面任意四结点等参数单元 ，它的位移和坐标都采用相同的形函数表示 4 1 4 1 , , ii i ii i u u N v v N ， 4 1 4 1 , , ii i ii i x x N y y N 其中： 1, 2, 3, 4iiu v i 和 是整体坐标系 xy 下节点的位移分量； 1, 2, 3, 4iix y i 和 是 节点的 整体坐标系 ； ,iN 是由参考坐标 , 表示的形函数， 可以表示为 1 1 1 , 1 , 2 , 3 , 44i i iNi 对于 平面八结点曲边四边形等参数单元 ，它的位移和坐标都采用相同的形函数表 示 8 1 8 1 , , ii i ii i u u N v v N ， 8 1 8 1 , , ii i ii i x x N y y N 其形函数为： 2 5 2 6 2 7 2 8 1 1 / 2 1 1 / 2 1 1 / 2 1 1 / 2 N N N N ， 1 5 8 2 5 6 3 6 7 4 7 8 11 11 42 11 11 42 11 11 42 11 11 42 N N N N N N N N N N N N 第 4章 动力学问题的有限元法 4.1 什么是协调质量阵（一致质量阵）？什么是团聚质 量阵（集中质量阵）？他们在 形式上和实际上的相同点和不同点是什么？ 答： （ 1） 将结构离散以后，取出一个单元，将单元的位移形函数代入其单位体积 的惯性力表达式中。而后再根据荷载转置的一般公式得到单元结点上的惯性力计算公 式，进而得到单元质量矩阵。对于 协调质量阵 而言，单元的动能和位能是互相协调的， 因此称为协调质量矩阵。 其定义如下 Tm N N d V （ 2）集中质量矩阵的定义如下图 将结构离散以后，限定单元的质量集中在它的结点上，质量的平移和转动可同样 处理，这样得到的质量矩阵是对角 线矩阵。其定义如下 Tm d V （ 3）异同点：计算经验表明，在单元数目相同的条件下，两种质量矩阵给出的计 算精度是差不多的。集中质量矩阵不但本身容易计算，而且由于它是对角线矩阵，可 使动力计算简化很多。在网格大小相同的条件下，两种质量矩阵 给出的计算结果很接 近，但用集中质量矩阵求解时，自由度数目远较协调质量矩阵的少。但当采用高次单 元时，推导集中质量矩阵是困难的，另外，只要离散化时保持了单元之间的连续性， 由协调质量矩阵算得得频率代表结构真实自振频率的上限。 4.2 什么是比例阻 尼？它有什么特点？其本质反映了阻尼与什么有关？ 答： 比例阻尼 ： 由于多自由度体系主振型关于质量矩阵与刚度矩阵具有正交性关 系 ， 若主振型关于阻尼矩阵亦具有正交性 ,这样可对多自由度地震响应方程进行解耦分 析 。 比例阻尼 的特点为 具有正交性 。其 本质 上 反应了阻尼与 结构物理特性的关系 。 4.3 试述振型叠加法的基本思想和求解过程。 答：振型叠加法又叫模态叠加法，是一种利用结构固有频率和振型来计算结构动 力时程响应的方法。 基本原理为 ：首先对完成结构的自振特性分析，得到结构的固有频率和振型；然 后利用固有振型组成的模态矩阵对结构的微分动力方 程解耦，将结构的动力学方程转 化为各主坐标的非耦合方程；完成对各非耦合方程的求解，并进行叠加得到结构的动 力响应。 求解过程为： （ 1）建立广义坐标系下的运动微分方程 ，给出广义坐标系下初始条件： 0x 和 0x ()M x k x F t （ 2）计算固有频率和 振型向量 , ( 1, 2 , , )i iu i n 计算主质量 矩阵 ： ( 1 , 2 , , )Ti iiM u M u i n 得正则 振 型向量： 1 ( 1 , 2 , , ) iii u i nM （ 3）初 始条件变换： 0 0 0 0 ( 1 , 2 , , ) ( 1 , 2 , , ) T i i T i i z M x i n z M x i n （ 4） 激励变换： ( ) ( ) ( 1 , 2 , , )Ti iP t F t i n （ 5）计算正则坐标系下的响应 正则坐标系下运动微 分方程： 2 ( ) ( 1 , 2 , , )i n i i iz z P t i n 利用杜哈美积分写出正则坐标系下的响应 ： 0 0 0 ( ) c o s sin 1 ( ) sin ( ) ( 1 , 2 , , ) i i i n i n i ni t i n i ni zz t z t t P t d i n （ 6） 写出原广义坐标系下的响应 1212 n nx z z z z 。 4.4 试述逐步积分法 的基本思想。 逐步积分法 是对结构的运动微分方程直接进行逐步积分求解的一种动力分析方 法。 M C K F 首先假设在任意时间步内结构动力响应均符合设定的数学关系，同时 任一时刻 结 构的 动力学方程 均 成立； 于是建立由时刻 t 结构状态响量 ttt , 到 tt 时刻状 态响量 tttttt , 的递推关系，从而从 0t 时 刻的初始状态 向量 000 , 出 发，一步一步第求出各时刻的状态向量。 根据 在 ttt 之间 位移、速度和加速度 采用 的不同 假设，可以 分为不同的计算方法，如线性加速 度法、 Newmark- 法等 。 4.5 在用逆迭代法求前几阶振型时，为什么要采用 Gram-Schmidt 正交化过程？ 逆迭代法除求最小特征值和特征向量外，还可以扩大运用范围。 与 克莱姆 -史密特 （ cram-schmidt） 正交化过程相结合，可以用来求取最低的几阶特征对 。从迭代公式看， 似乎 这种正交化过程可以一劳永逸，一旦初向量与前 j-1 阶特征向量正交，则所有的 迭代向量都与前 j-1 阶特征向量正交。但实际上并非如此，由于计算机误差的原因， 不可避免产生低阶特征向量，迭代到最后还是得到最低阶的特征向量。为了克服这一 点，必须每迭代一次都进行正交化处理，不断把前 j-1 阶 特征向量从迭代向量中清除 掉。对于重特征值，用带正交化过程的迭代，可得出重特征值对应的一组正交特征向 量。用逆迭代法求得第一特征对后，利用正交化过程的迭代法，可以依次求取各阶特 征对。为保证计算精度，前面的特征向量必须计算精 确些。逆迭代一般用来计算少数 前几阶特征对。 4.6 已知， 1 1 1 1X ， 1 1 1 2X ， 3 1 1 1 X ， 并有质量 矩阵 100 010 001 M ，用 Gram-Schmidt 方法对它们进行正交化处理以及正则化处理。 解： 1X 、 2X 和 3X 两两线性无关，可令： 11 1 1 1 X ； 22 11 1 X ； 33 11 1 X 运用 Gram-Schmidt 方法 进行 正交化处理有 11 1 1 1 ； 21 2 2 1 11 2 3 , 2 ,3 4 3 ； 3 1 3 23 3 1 2 1 1 2 2 1, 1 0 再令 ,1 iii 1,2,3i ，从而有 1 3 3 3 3 3 3 ； 2 6 6 6 6 6 3 ； 3 2 2 2 2 0 4.7 如有一结构， 用解析法求系统的固有频率和振型。 它的刚度矩阵和质量矩阵如下： 220 241 012 K ， 100 030 001 M 解： 不考虑阻尼的影响，系统频率方程为： 2 0MK ，代入相关数据可得 2 2 2 2 1 0 1 4 3 2 0 0 2 2 从而有： 2 2 2 2 22 2 4 3 4 2 2 0 化简整理可得： 2 2 23 2 1 3 0 。解此式可得系统的固有频率为： 1 2 33 233 ； ； 令系统的振型分别为： 1 2 3 、 和 。将系统固有频率 1 2 3 、 和 分别代入