人教版初中数学详细内容

人民教育出版社 初 中 数 学 详 细 目 录 七年级上册 第一章 有理数 1.1 正数和负数 1.2 有理数 1.3 有理数的加减法 1.4 有理数的乘除法 1.5 有理数的乘方 第二章 整式的加减 2.1 整式 2.2 整式的加减 第三章 一元一次方程 3.1 从算式到方程 3.2 解一元一次方程（一）合并同类项 3.3 解一元一次方程（二）去括号与去分母 3.4 实际问题与一元一次方程 第四章 图形认识初步 4.1 多姿多彩的图形 4.2 直线、射线、线段 4.3 角 4.4 课题练习 设计制作长方体形状的包装 纸盒 七年级下册 第五章 相交线和平行线 5.1 相交线. 5.2 平行线及其判定 5.3 平行线的性质 5.4 平 移. 第六章 平面直角坐标系 6.1 平面直角坐标系 6.2 坐标方法的简单应用 第七章 三角形 7.1 与三角形有关的线段 7.2 与三角形有关的角 7.3 多边形及其内角和 7.4 课题学习 镶嵌 第八章 二元一次方程组 8.1 二元一次方程组 8.2 消元二元一次方程组的解法 8.3 实际问题与二元一次方程组 第九章 不等式与不等式组 9.1 不等式. 9.2 实际问题与一元一次不等式 9.3 一元一次不等式组 第十章 数据的收集、整理与描述 10.1 统计调查. 10.2 直方图 10.3 课题学习 从数据谈节水 调查统计实践 八年级上册 第十一章 全等三角形 11.1 全等三角形 11.2 三角形全等的判定 11.3 角的平分线的性质 第十二章 轴对称 12.1 轴对称 12.2 作轴对称图形 12.3 等腰三角形 第十三章 实数 13.1 平方根 13.2 立方根 13.3 实 数 第十四章 一次函数 14.1 变量与函数 14.2 一次函数 14.3 用函数观点看方程（组）与不等式 这 一节的内容非常重要 第十五章 整式的乘除与因式分解 15.1 整式的乘法 15.2 乘法公式 15.3 整式的除法 15.4 因式分解 八年级下册 第十六章 分式 16.1 分 式 16.2 分式的运算 16.3 分式方程 第十七章 反比例函数 17.1 反比例函数 17.2 实际问题与反比例函数 第十八章 勾股定理 18.1 勾股定理 18.2 勾股定理的逆定理 第十九章 四边形 19.1 平行四边形 19.2 特殊的平行四边形 19.3 梯 形 19.4 课题学习 重心 第二十章 数据的分析 20.1 数据的代表 20.2 数据的波动 20.3 课题学习 体质健康测试中的数据分析 一个完整的统计实例，很重要。 九年级上册 第二十一章 二次根式 21.1 二次根式 21.2 二次根式的乘除 21.3 二次根式的加减 第二十二章 一元二次方程 22.1 一元二次方程 22.2 降次 解一元二次方程 22.3 实际问题与一元二次方程 第二十三章 旋转 23.1 图形的旋转 23.2 中心对称 23.3 课题学习 图案设计 第二十四章 圆 24.1 圆 24.2 点、直线、圆和圆的位置关系 24.3 正多边形和圆 24.4 弧长和扇形面积 第二十五章 概率初步 25.1 随机事件与概率 25.2 用列举法求概率 25.3 用频率估计概率 25.4 课题学习 键盘上字母的排列规律 九年级下册 第二十六章 二次函数 26.1 二次函数及其应用 26.2 用函数观点看一元二次方程 26.3 实际问题与二次函数 第二十七章 相似 27.1 图形的相似 27.2 相似三角形 27.3 位似 第二十八章 锐角三角函数 28.1 锐角三角函数 28.2 解直角三角形 第二十九章 投影与视图 29.1 投影 29.2 三视图 29.3 课题学习 制作立体模型 立体几何的感性 认识 七年级上册 第一章 有理数 1.1 正数和负数 正数和负数的定义:大于零的数叫正数 ,正数 前面加上负号叫负数. 正负数的实际应用背景:在同一个问题中 ,分 别用正数和负数表示的量具有相反的意义. 阅读与思考 用正负数表示加工允许误差 用正负数表示某个范围的实例 1.2 有理数 有理数的定义(两个整数的比值 !),有理数的 分类. 数轴和数轴的三要素:规定了原点、正方向 和单位长度的直线叫数轴. 用数轴表示数的方法:一般地 ,设 a 是一个正 数,则数轴上表示数 a 的点在原点的右边,与原点 的距离是 a 个单位长度;表示数 -a 的点在原点的 左边,与原点的距离是 a 个单位长度. 关于原点对称:一般地,设 a 是一个正数,数轴 上与原点的距离是 a 的点有两个,它们分别在原 点左右,表示-a 和 a,我们说这两点关于原点对称. 相反数:只有符号不同的两个数叫做互为相 反数.一般地,a 和-a 互为相反数.特别地,0 的相反 数仍是 0. 绝对值:一般地,数轴上表示数 a 的点与原点 的距离叫做数 a 的绝对值. 求绝对值的方法:一个正数的绝对值是它本 身,一个负数的绝对值是它的相反数,0 的绝对值 是 0.这就说,当 a 是正数时,|a|=a;当 a 是负数时, |a|=-a;当 a=0 时,|a|=0. 比较有理数大小的方法:1)正数大于 0,0 大于 负数,正数大于负数;2)两个负数,绝对值大的反而 小.( 总之 ,在数轴上右边的数大于左边的数 !) 1.3 有理数的加减法 有理数加法法则:1)同号两数相加,取与加数 相同的符号,并把绝对值相加.2)绝对值不相等的 异号两数相对,取绝对值较大的加数的符号,并用 较大的绝对值减去较小的绝对值,互为两反数的 两个数相加得 0.3)一个数同 0 相加,仍得这个数. 加法操作顺序:先定符号 ,再算绝对值. 加法的运算律:加法交换律 ,加法结合律. 有理数减法法则:减去一个数 ,等于加上这个 数的相反数. 加减混合运算:引入相反数后 ,加减混全运算 可以统一为加法运算:a+b-c=a+b+(-c). 实验与探究 填幻方 阅读与思考 中国人最先使用负数 1.4 有理数的乘除法 有理数乘法法则:1)两数相乘,同号得正,异号 得负,并把绝对值相乘.2)任何数同 0 相乘得 0. 倒数:乘积是 1 的两个数互为倒数 .(小学学过) 连乘时的符号确定:几个不是 0 的数相乘,负 因数的个数是偶数时,积是正数;负因数的个数是 奇数时,积是负数. 有理数乘法运算律:乘法交换律 ,乘法结合律, 乘法对加法的分配律. 除法法则:1)除以一个不等于 0 的数,等于乘 这个数的倒数.或者说成:1)两数相除,同号得正,异 号得负,并把绝对值相除.2)0 除以任何一个不等于 0 的数,都得 0. 加减乘除混合运算法则:先括号,再乘除,最后 加减. 观察与猜想 翻牌游戏中的数学道理 (感觉这 个游戏有点扯!) 1.5 有理数的乘方 乘方的相关概念:一般地 ,n 个相同因数 a 相 乘,即 ,记作 ,读作 a 的 n 次方.求 n 个.na个 n 相同因数的积的运算,叫做乘方;乘方的结果叫做 幂.在 中,a 叫做底数,n 叫做指数.当 看作 an 的 n 次方的结果时,也可读作 a 的 n 次幂. 乘方的符号规则:负数的奇次幂是负数 ,负数 的偶次幂是正数.正数的任何次幂都是正数,0 的 任何次幂都是 0. 含有乘方的混合运算顺序:1)先乘方,再乘除, 最后加减.2)同级运算,从左到右进行 .3)如有括号, 先做括号内的运算,按小括号,中括号,大括号依次 进行. 科学记数法:把一个大于 10 的数表示成 的形式(其中 a 是整数数位只有一位的数,10na n 是正整数)叫做科学记数法. 近似数:与准确数接近的数 .取得近似数的方 法有很多种,常见的是四舍五入. 精确度:精确度表示近似数与准确数的接近 程度. 有效数字:从一个数的左边第一个非 0 数字 起,到末位数字止,所有的数字都是这个数的有效 数字. 数学活动 有关正负数的实际应用,用计算器进 行有理数运算,科学记数法的应用 第二章 整式的加减 2.1 整式 单项式：数字或字母的积叫单项式,单独的 一个数或字母也是单项式.单项式中的数字因子 叫做这个单项式的系数.一个单项式中,所有字母 的指数的和叫做这个单项式的次数. 多项式:几个单项式的和叫做多项式 ,其中,每 个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常 数项.多项式里次数最高的项的次数,叫做这个多 项式的次数. 整式:单项式与多项式统称整式 . 阅读与思考 数字 1 与字母 X 的对话 (用字母 表示数的意义) 2.2 整式的加减 同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数 也相同的项叫做同类项,几个常数项也是同类项. 合并同类项:把多项式中的同类项全并成一 项,叫做全并同类项.合并同类项后,所得项的系数 是合并前各同类项的系数的和,且字母部分不变. 降(升) 幂排列:把一个多项式的各项按照某个 字母的指数从大到小(从小到大 )的顺序排列. 去括号规则:1)如果括号外的因数是正数,去 括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同;2) 如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各 项的符号与原来的符号相反. 整式加减运算法则:一般地 ,几个整式相加减, 如果有括号就先去括号,然后再合并同类项. 信息技术应用 电子表格与数据计算 数学活动 找规律并有代数式表示,分段优惠价格 的代数表示 第三章 一元一次方程 3.1 从算式到方程 方程定义：含有未知数的等式。 列方程的基本技术：分析实际问题中的数量 关系，利用其中的相等关系列出方程。 等式的性质：1）等式两边加（或减）同一 个数（或式子） ，结果仍相等。2）等式两边同乘 以一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相 等。 阅读与思考 “方程”史话 3.2 解一元一次方程（一）合并同类项 基本相等关系：总量等于各部分量之和。 解一元一次方程的基本方法：合并同类项， 移项，未知数系数归一化。 实验与探究 无限循环小数化分数 （方程的一 个应用） 3.3 解一元一次方程（二）去括号与去分母 解一元一次方程的基本方法：去括号，去分 母。 3.4 实际问题与一元一次方程 实际问题：价格问题，产量问题，比赛积分 （包含用方程进行推理） 。 数学活动 方程的几个应用实例 第四章 图形认识初步 4.1 多姿多彩的图形 几何图形：从实物中抽象出来的各种图形。 （举例） 立体图形：各部分不都在同一个平面内的图 形。 （举例） 平面图形：各部分都在同一平面内的图形。 （举例） 展开图：有些立体图形是同一些平面图形围 成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面 图形。这样的平面图形称为立体图形的展开图。 三视图：主视图，左视图，俯视图。 （理解 立体图形的各个面） 点、线、面、体：几何体简称体（举例） ； 包围着体的是面（包括平面和曲面） ；面和面相 交的地方形成线（有直线和曲线） ；线和线相交 的地方是点。 【都依据实例进行抽象。 】 阅读与思考 几何学的起源 （继承了一贯的实 用主义风格，认为几何完全起源于工程需要，完 全无视数学家们的思考。 ） 4.2 直线、射线、线段 公理：人们在长期实践中总结出来的结论 （基本事实）的一部分称为公理。 公理 1：经过两点有一条直线，并且只有一 条直线。 （两点确定一条直线。 ） 相交：当两条不同的直线有一个公共点时， 我们就称这两条直线相交。这个公共点叫做它们 的交点。 点和直线的关系：1）一个点在一条直线上， 也说这条直线经过这个点；2）点在直线外，也 可以说直线不经过这个点。 直线的表示：1）用一个小写字母表示。2） 用直线上的两个点（两个大写字母表示） 。 线段的表示：用线段的两个端点（两个大写 字母）表示。 射线的表示：用射线和端点和射线上的另一 个点（两个大写字母）表示。 画一条线段等于已经线段：1）尺规作图法； 2）直接测量法。 比较两条线段的长短：1）直接测量法；2） 移动线段法（尺规作图） 。 线段的中点：中点把原线段分成相等的两条 线段。类似地有三等分点，四等分点，等等。 公理 2：两点的所有连线中，线段最短。 （两点之间，线段最短。 ） 两点的距离：连接两点间的线段的长度，叫 做这两点的距离。 阅读与思考 长度的测量 长度单位和长度测量 工具 4.3 角 角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做 角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角 的两条边。 角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角。 角的单位：度、分、秒，及三者换算。 余角：如果两个角的和等于 90 度，就说这 两个角互为余角。 余角的性质：等角的余角相等。 补角：如果两个角的和等于 ，就说这180 两个角互为补角。 补角的性质：等角的补角相等。 等量减等量差相等（其实也就是等式性质之 一） 。 角的表示法：1）三点法；2）端点法；3） 希腊字母法；4）数字法。 4.4 课题练习 设计制作长方体形状的包装 纸盒 展开图的认识和拼装。 数学活动 多面体的展开图 莫比乌斯带 制作五 角星 七年级下册 第五章 相交线和平行线 5.1 相交线. 邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延 长线的两个角互为邻补角。 对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两 边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两 个角互为对顶角。 对顶角性质：对顶角相等。 垂直：两条成 90 度角的相交线互相垂直。 垂线：两条直线互相垂直，其中的一条直线 叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 公理：过一点有且只有一条直线与已知直线 垂直。 定理：连接直线外一点与直线上各点的所有 线段中，垂线段最短。 （垂线段最短。 ） 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的 垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 同位角、内错角、同旁内角定义（由图像给 出描述性定义） 观察与猜想 看图时的错觉 指出眼见为实 的不可靠和测量的必要 5.2 平行线及其判定 平行：同一平面内，不相交的两条直线互相 平行。 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条 直线与这条直线平行。 定理：如果两条直线都与第三条直线平行， 那么这两条直线也互相平行。 【未证】 平行线判定方法 1：两条直线被第三条直线 所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 【未证】 平行线判定方法 2：两条直线被第三条直线 所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 平行线判定方法 3：两条直线被第三条直线 所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 定理：在同一平面内，如果两条直线都垂直 于同一条直线，那么这两条直线平行。 【例题】 5.3 平行线的性质 平行线的性质：1）两条平行线被第三条直 线所截，同位角相等。 2）两条平行线被第三条直 线所截，内错角相等。 3）两条平行线被第三条直 线所截，同旁内角互补。 命题：判断一件事情的语句叫做命题。 命题结构：命题由题设和结论两部分组成。 题设是已知事项，结论是由已经事项推出的事项。 命题通常可以写成“如果，那么。 ”的 形式，这时“如果”后接的部分是题设， “那么” 后接的部分是结论。 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立 的命题，叫做真命题。 假命题：题设成立时，不能保证结论一定成 立的命题，叫做假命题。 定理：正确性经过推理证实的真命题叫做定 理。 信息技术应用 探索两条直线的位置关系 用几何 画板探索：1）邻补角、对顶角的关系；2）垂线 段的性质；3）平行线的的性质。 5.4 平 移. 平移：把一个图形整体沿某一直线方向移动， 会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和 大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图 形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点。 连接各组对应点的线段平行且相等。图形的这种 移动叫做平移变换，简称平移。 数学活动 1）用不同方法画平行线；2）画出自 己的上学路线；3）利用平移设计图案。 第六章 平面直角坐标系 6.1 平面直角坐标系 有序数对：有顺序的两个数 a 和 b 组成的数 对，叫做有序数对，记作（a，b） 。 平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、 原点重合的数轴，组成平面直角坐标系；水平的 数轴称为 x 轴或横轴，习惯上取向右为正方向； 竖直的数轴称为 y 轴或纵轴，取向上方向为正方 向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。 坐标：平面直角坐标系内的与某点对应的有 序数对叫做这点的坐标。 坐标平面的结构：建立平面直角坐标系后， 坐标平面就被两条坐标轴分成四个象限，分别叫 做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。 坐标轴上的点不属于任何象限。 阅读与思考 用经纬度表示地理位置 坐标思想 的应用 6.2 坐标方法的简单应用 用坐标表示地理位置：1）建立坐标系，选 择一个适当的参照点为原点，确定 x 轴、y 轴的 正方向；2）根据具体问题确定单位长度；3）在 坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个 地点的名称。 用坐标表示平移：在平面直角坐标系中，将 点（x，y）向右（或左）平移 a 个单位长度，可 以得到对应点（x+a，y） （或（x-a，y） ） ；将点 （x，y）向上（或下）平移 b 个单位长度，可以 得到对应点（x，y+b） （或（x，y-b ） ） 。如果把 一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正 数 a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左） 平移 a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都 加（或减去）一个正数 a，相应的新图形就是把 原图形向上（或向下）平移 a 个单 位长度。 数学活动 有坐标描述地理位置 第七章 三角形 7.1 与三角形有关的线段 三角形：由不在同一条直线上的三条线段首 尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 三角形的边、角、顶点：在图中，线段 AB、BC 、CA 是三角形的边。点 A、B、C 是三 角形的顶点。 、 、 是相邻两边组成A 的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。 三角形的命名：顶点是 A、B、C 的三角形， 记作“ ”，读作“三角形 ABC”。BC 三角形边的命名：1）用两顶点命名， AB、BC 、CA；2）顶点的对边用顶点对应的小 写字母命名，a、b、c 。 三角形分类：1）按内角大小，锐角三角形、 直角三角形、钝角三角形；2）按有几条边相等， 等边三角形、等腰三角形、不等边三角形，其中 等边三角形是等腰三角形的特例。 等腰三角形：在等腰三角形中，相等的两边 都叫做腰，另一边叫做底，两腰的夹角叫做顶角， 腰和底边的夹角叫做底角。 三角形边的关系：1）三角形两边的和大于 第三边；2）三角形两边的差小于第三边。 三角形的高：从三角形的一个顶点，向它的 对边所在的直线画垂线，所得之垂线段叫做三角 形此边上的高。 三角形的中线：三角形的一个顶点与其所对 边的中点所连得之线段，叫做三角形此边上的中 线。 三角形的角平分线：三角形一个内角的平分 线与此角所对边的交点和此角的顶点所连的线段， 叫做三角形此角的角平分线。 三角形的稳定性 实例说明 信息技术应用 画图找规律 1）三角形的重心， 垂心，内心；2）三角形内角和；3）四边形的内 角和。 7.2 与三角形有关的角 定理：三角形三个内角的和等于 .180 三角形的外角：三角形的一边与另一边的延 长线组成的角，叫做三角形的外角。 定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角的和。 推论：三角形的一个外角大于与它不相邻的 任何一个内角。 定理：三角形三个外角的和等于 。360 阅读与思考 为什么要证明 看到逻辑的力量 7.3 多边形及其内角和 多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相 接组成的图形叫做多边形。可以按边数命名，有 n 条边，就叫做 n 边形。 多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫 做它的内角。 多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延 长线组成的角叫做多边形的外角。 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个 顶点的线段，叫做多边形的对角线。 正多边形：各个内角都相等，各条边都相等 的多边形叫做正多边形。 n 边形的内角和等于（n-2）*180 度。 多边形的外角和等于 360 度。 阅读与思考 多边形的三角剖分 7.4 课题学习 镶嵌 多边形内角和的一种应用。 数学活动 多个三角形的构造、正方形的划分 第八章 二元一次方程组 8.1 二元一次方程组 二元一次方程：每个方程都含有两个未知数， 并且含有未知数的项的次数都是 1，像这的方程 叫做二元一次方程。 二元一次方程组：把具有相同未知数的两个 二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次 方程组。 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的 值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的 解。 二元一次方程组的解：二元一次方程组的两 个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。 8.2 消元二元一次方程组的解法 消元思想：将未知数的个数由多化少，逐一 解决的思想，叫做消元思想。 代入法：把二元一次方程组中的一个方程的 一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来， 再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二 元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法， 简称代入法。 加减法：两个二元一次方程中同一未知数的 系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相 加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元 一次方程。这种方法叫做加减消元法，简称加减 法。 8.3 实际问题与二元一次方程组 阅读与思考 一元一次方程组的古今表示及解 法 （没有谈到其他国家的内容。 ） *8.4 三元一次方程组解法举例 消元思想的进一步应用 数学活动 1）一次函数图像交点与二元一次方程 组的关系；2）二元一次方程的一个应用实例。 第九章 不等式与不等式组 9.1 不等式. 不等式：用大于号或小于号表示大小关系的 式子，叫做不等式。 不等式的解：使不等式成产的未知数的值叫 做不等式的解。 不等式的解集：使不等式成立的未知数的取 值范围，即不等式所有解的集合。 解集的表示：1）用不等式表示；2）用数轴 表示。 一元一次不等式：含有一个未知数，未知数 的次数是 1 的不等式，叫做一元次不等式。 不等式的性质：1）不等式两边加（或减） 同一个数（或式子） ，不等号的方向不变。2）不 等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方 向不变。3）不等式两边乘（或除以）同一个负 数，不等号的方向改变。 9.2 实际问题与一元一次不等式 解方程与解不等式的比较：解一元一次方程， 要根据等式的性质，将方程逐步化为 x=a 的形式； 而解一元一次不等式，则要根据不等式的性质， 将不等式逐步化为 xa)的形式。 阅读与思考 用求差法比较大小 实验与探究 水位升高还是降低 9.3 一元一次不等式组 一元一次不等式组：把两个不等式合起来， 就组成一个一元一次不等式组。 不等式组的解集：不等式组中各不等式解集 的公共部分。也可以用两种形式表示。 阅读与思考 利用不等关系分析比赛 （这个很 重要） 数学活动 不等式的应用、给定周长时三角形面 积的最大值 第十章 数据的收集、整理与描述 10.1 统计调查. 搜集数据、整理数据、描述数据 全面调查：考查全体对象的调查叫做全面调 查。 抽样调查：只抽取一部对象进行调查，然后 根据调查数据推断全体对象的情况。要考察的全 体对象称为总体，组成总体的每一个考察对象称 为个体，被抽取的那些个体组成一个样本。样本 中个体的数目称为样本容量。 简单随机抽样：随机抽取总体中的个体。 分层抽样：先将总体分成几个层，然后在各 个层中进行简单随机抽样。 全面调查和抽样调查的比较：全面调查和抽 样调查是收集数据的两种方式。全面调查收集到 的数据全面、准确，但一般花费多，耗时长，而 且某些调查不宜用全面调查。抽样调查具有花费 少，省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性， 直接关系到对总体估计的准备程度。 数据描述：折线图、条形图、扇形图 实验与探究 瓶子中有多少粒豆子 频率与概率 的关系 10.2 直方图 直方图制作流程：1）计算最大值与最小值 的差；2）决定组距和组数；3）列频数分布表； 4）画频率分布直方图。 上述流程的技术细节也很重要，好在不难。 10.3 课题学习 从数据谈节水 调查统计实 践 数学活动 调查统计实践 八年级上册 第十一章 全等三角形 11.1 全等三角形 全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等 形。 全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫 做全等三角形。记法： ABCDEF 对应：把两个全等三角形重合到一起，重合 的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重 合的角叫做对应角。 全等三角形的性质：1）全等三角形的对应 边相等； 2）全等三角形的对应 角相等。 11.2 三角形全等的判定 全等三角形的判定： 1）三边对应相等的两个三角形全等。 （“边边边”或“SSS” ） 【未证】 2）两边和它们的夹角对应相等的两个 三角形全等。 （“边角边”或“SAS” ） 【未 证】 3）两角和它们的夹边对应相等的两个 三角形全等。 （“角边角”或“ASA” ） 【未 证】 4）两个角和其中一个角的对边对应相 等的两个三角形全等。 （“角角边”或 “AAS”） 5）斜边和一条直角边对应相等的两个 直角三角形全等。 （“斜边直角边”或 “HL”） 【未证】 边边角之不可能：已知两边和其中一边的对 角相等不能判定两三角形全等。 （反例说明） 作一个角等于已知角（尺规作图） 阅读与思考 全等与全等三角形 全等三角形 证明思路小结 11.3 角的平分线的性质 作已知角的平分线（尺规作图） 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角 的两边的距离相等。 （可以推广） 角的平分线的性质定理的逆定理：角的内部 到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 证明几何命题的步骤：1）明确命题中的已 知和求证；2）根据题意，画出图形，并用数学 符号表示已知和求证；3）经过分析，找出由已 知推出求证的途径，写出证明过程。 数学活动 1）识别全等形；2）测量旗杆高度 （不知如何操作） 第十二章 轴对称 12.1 轴对称 轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠， 直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做 轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。这时， 我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直 线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就 说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做 对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直 于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条 直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线 段的垂直平分线。 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴， 是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上 的点与这条线段两个端点的距离相等。 线段垂直平分线性质定理的逆定理：与一条 线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直 平分线上。 作已知线段的垂直平分线（尺规作图） 12.2 作轴对称图形 已知图形和对称轴，作对称图形。 （尺规作 图） 在直线上求一点，使之到直线同侧两点的距 离之和最小。 （尺规作图） 用坐标表示对称关系：点（x，y）关于 x 轴 的对称的点的坐标为（x，-y） ；关于 y 轴对称的 点的坐标为（-x，y） 。 信息技术应用 探索轴对称的性质 12.3 等腰三角形 等腰三角形的性质： 1）等腰三角形的两个底角相等。 （等边 对等角） 2）等腰三角形的顶角平分线、底边上 的中线、底边上的高相互重合。 （三线合一） 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个 角相等，那么这两个角所对的边也相等。 （等角 对等边） 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角 都相等，并且每一个内角都等于 60 度。 等边三角形的判定：1）三个角都相等的三 角形是等边三角形；2）有一个角是 60 度的等腰 三角形是等边三角形。 等边三角形中的全等三角形。 （探索问题） 含 30 度角的直角三角形：在直角三角形中， 如果一个锐角等于 30 度，那么它所对的直角边 等于斜边的一半。 实验与探究 三角形中边与角之间的不等关系 （在同一个三角形中，大边对大角，大角对大边。 ） 数学活动 轴对称的实例 等腰三角形中相等的线 段（重要！） 第十三章 实数 13.1 平方根 算术平方根：一般地，如果一个正数 x 的平 方等于 a，即 x2=a，那么这个正数 x 叫做 a 的算 术平方根。a 的算术平方根记为 ，读作“根 号 a”或“二次根号 a”，a 叫做被开方数。规定 0 的算术平方根是 0. 平方根：一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根或二次方根，记 为 。求一个数 a 的平方根的运算叫做开平 方。开方平与平方互为逆运算。 平方根的总结：正数有两个平方根，它们互 为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根。 13.2 立方根 立方根：一般地，如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根或三次方根，记 作 ，读作“三次根号 a”，其中 a 是被开方数，3 3 是根指数。求一个数立方根的运算叫做开立方。 开立方与立方互为逆运算。 立方根的总结：正数立方根是正数；0 的立 方根是 0；负数的立方根是负数。 13.3 实 数 无理数：无限不循环小数又叫做无理数。 实数：有理数和无理数统称实数。实数分类 （两种分类方法）！ 在数轴上表示一个无理数。 实数的相反数：数 a 的相反数是-a，此处 a 是任意实数。 实数的绝对值：一个正实数的绝对值是它本 身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0 的绝 对对值是 0. 阅读与思考 为什么说 不是有理数 反证法，2 这个证明有点难，大概相当于高中的水平 数学活动 1）无理数的表示，同时引入了勾股定 理；2）开三次方的实例 第十四章 一次函数 14.1 变量与函数 变量与常量：在一个变化过程中，我们称数 值发生变化的量为变量，不变的量为常量。 函数：一般地，在一个变化过程中，如果有 两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数。如果当 x=a 时 y=b， 那么 b 叫做当自变量的值为 a 时的函数值。 函数的图象：一般地，对于一个函数，如果 把自变量与函数的毎对对应值分别作为点的横、 纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形， 就是这个函数的图象。 读图：大量实例说明，非常重要！很多 学生函数的问题就出在这里！ 描点作图：先接触一下，后面会逐步应用。 1）列表（表中给出一些自变量的值及其对应的 函数值） ；2）描点（在直角坐标系中，以自变量 的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表 格中数值对应的各点） ；3）连线（按照横坐标由 小到大的顺序把所描出的各点用平滑的曲线连接 起来） 。 信息技术应用 用计算机画函数图像 对函数解 析式与图象关系的理解，对由图象了解函数的变 化规律的理解（增减性） 。 14.2 一次函数 正比例函数：一般地，形如 y=kx（k 是常数， ）的函数，叫做正比例函数，其中 k 叫做0k 比例系数。 正比例函数的性质：一般地，正比例函数 y=kx（k 是常数， ）的图象是一条经过原0k 点的直线，我们称它为直线 y=kx。当 k0 时， 直线 y=kx 经过第三、一象限，从左向右上升， 即随着 x 的增大 y 也增大；当 k0 时，向上平移；当 b0 时，y0k 随 x 的增大而增大；当 k0 或 ax+b0 时，双曲线的两支分别位于第一、第 三象限，在每个象限内 y 值随 x 值的增大而减小； 3）当 kr 1+r2; 外切d=r 1+r2; 相交r 1+r2dr1-r2; 内切d=r 1-r2; 内含d02yax 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点， a 越大，抛物线的开口越小；当 a02()yaxhk 时，开口向上；当 a0 时，开口向下；2）对称 轴是直线 x=h； 3）顶点坐标是（h，k） 。 二次函数 与 图像()yx2yax 的关系：一般地，抛物线 与()hk 形状相同，位置不同。把抛物线2yax 向上（下）向左（右）平移，可以得到 抛物线 。平移的方向、距离要2()yxhk 根据 h，k 的值来决定。 二次函数 的图像：2(0)abc 一般地，我们可以用配方法求抛物线 的顶点与对称轴。2()yxc ，因此，抛物线224 () abax 的对称轴是 ，(0yc2bxa 顶点坐标是 。 24,)ba 待定系数法求二次函数的解析式：求二次函 数 的解析式，关键是求2(0)yaxbc 出待定系数 a， b，c 的值。由已知条件（如二次 函数图象上三个点的坐标）列出关于 a，b，c 的 方程组，并求出 a，b，c ，就可以写出二次函数 的解析式。 26.2 用函数观点看一元二次方程 二次函数和一元二次方程的关系：一般地， 从二次函数 的图象可知，2(0)yaxbc 1）如果抛物线 与 x 轴有a 公共点，公共点的横坐标是 ，那么当0x 时，函数的值是 0，因此 就是方程0x 的一个根。2）二次函数2abc 的图象与 x 轴的位置关()yxa 系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个 公共点。这对应着一元二次方程 的根的三种情况：没有实数根，20axbc 有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。 信息技术应用 探索二次函数的性质 二次函数与 一元二次方程关系的感性认识 26.3 实际问题与二次函数 有三个要点：1）建立函数有关系；2）确定 定义域；3）求最大或最小值。 实验与探究 推测植物的生长与温度的关系 建模 过程的一个简化版，不易掌握。 数学活动 1）二次函数关于坐标轴对称的函数的 解析式。2）建模的另一个实例。 第二十七章 相似 27.1 图形的相似 相似图形：形状相同的图形叫做相似图形。 比例线段：对于四条线段 a，b，c，d，如果 其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条 线段的比相等，如 （即 ad=bc） ，我们就 说这四条线段是成比例线段，简称比例线段。 相似多边形的性质：相似多边形对应角相等， 对应边的比相等。 【测量】 相似比：相似多边形对应边的比称为相似比。 27.2 相似三角形 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两 条直线，所得的对应线段的比相等。 平行线分线段成比例定理推论：平行于三角 形一边的直线截其他两边（或两边的延长线） ， 所得的对应线段的比相等。 三角形相似的判定定理 1：平行于三角形一 边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原 三角形相似。 三角形相似的判定定理 2：如果两个三角形 的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 三角形相似的判定定理 3：如果两个三角形 的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等， 那么这两个三角形相似。 三角形相似的判定定理 4：如果一个三角形 的两个角与另外一个三角形的两个角对应相等， 那么这两个三角形相似。 直角三角形相似的判定定理：如果两个直角 三角形斜边的比等于一组直角边的比