中考专题复习之相似三角形(二)

1 中考专题复习之相似三角形（二） 知识考点： 本节知识主要包括相似三角形、相似多边形的性质及应用 精典例题： 【例 1】如图，在ABC 中，AB14cm， ，DEBC ，CDAB，CD12cm，求ADE 的面积和周长。95BDA 分析：由 AB14cm，CD12cm 得 84，再由 DEBC 可得ABCADE，有 可求ABCS 2ABDSCE 得 ，利用勾股定理求出 BC、AC，再用相似三角形的性质可得 ADE 的周长。ADES 答案：ADE 的面积为 cm2，周长为 15 cm。75 例 1图 ED CB A 例 2图 Q P M F ED CB A 变 式 1图 P N M CB A 【例 2】如图，正方形 DEMF 内接于ABC，若 ， ，求ADES4DEFM正 方 形 ABS 分析：首先利用正方形的面积求出其边长，过 A 点作 AQBC 于 Q，交 DE 于 P，利用 可得 AP 及 AQ 的DE 长，再由ADEABC 求出 BC，从而求得 。BC 解：正方形的面积为 4，DEMF 2。过 A 点作 AQBC 于 Q，交 DE 于 P ，AP1ADES DEBC，ADE ABC， ，即BCDEQP231 BC6，故 9ABCS 变式 1：如图，已知菱形 AMNP 内接于ABC，M、N、P 分别在 AB、BC、AC 上，如果 AB21 cm，CA15 cm，求菱形 AMNP 的周长。 答案：35 cm 变式 2：如图，在ABC 中，有矩形 DEFG，G 、F 在 BC 上，D、E 分别在 AB、AC 上，AHBC 交 DE 于 M，DG DE12，BC12 cm，AH8 cm，求矩形的各边长。 2 变 式 2图 H MD E FG CB A 3S21例 3图 TR NM PC BA 问 题 一 图 P NM D CB A 答案： cm， cm748 【例 3】如图，已知 P 为ABC 内一点，过 P 点分别作直线平行于 ABC 的各边，形成小三角形的面积 、1S 、 ，分别为 4、9、49，求ABC 的面积。2S 解：设 MP ，RT ，PN ，由于 、 、 都相似于ABC，设ABC 的面积为 ，AB ，则有prq1S23 c ， ， ，三式相加得：cqS3cS712rqp ，故1S4 探索与创新： 【问题一】如上图，在四边形 ABCD 中，ADBC，AD ，BC ，过 BD 上一点 P 作 MNBC 交 AB、DCab 于 M、 N，若 AMMB 。mn （1）计算 PM、PN 的长； （2）当 时，PM 与 PN 有怎样的关系？ab （3）在什么条件下才能得到 MN 。)(21ba 略解：（1）MNBC ，AD BC，BPMBDA，DPNDBC ，BADPABMDCN 又AMMB ，BMAB mnn)(m AMAB )( ，anPMbnPN （2） ，m 当 ，即 时，才有 PMPN；b （3）MNPMPN ，由 可得：nbanmba)(210)(a 从而 或bm 3 故当 ，且四边形 ABCD 为平行四边形时，MN 或 且 MN 为梯形（或平行四边形）ba )(21banm 的中位线时，MN 。)(21 【问题二】如图，已知梯形 ABCD 中，ADBC，AD、BC 的长度分别为 、 ，梯形 ABCD 的高未给)(ba 出，在这样的图形中，是否总可以作一条平行于两底的截线 EF（点 E、F 分别在 AB、CD 上），使 EF 把梯形 ABCD 分割成面积相等的两个梯形？如果可以分割，EF 的长度如何求？试求出 EF 的长度。 解：延长 BA、CD 相交于点 O，设 EF ，OAD 的面积为 ，梯形 ABCD 的面积为 ，x0SS2 ADEF，OEFOAD ，即 2ADEFSO20aS 整理得 201ax 同理OBCOAD， ，20abS 整理得 ，由消去 得：201abS0S21abx 即 ， ， ，即 EF 2xx2ba 跟踪训练： 一、填空题： 1、如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AC、BD 交于 O 点，ADBC 35，则 AOOC ， AODS ， 。BOCSAODSB 2、把一张矩形的纸片对折，若对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的宽与长之比为 。 3、两个相似三角形面积之差为 9cm2，对应角平分线的比是 ，这两个三角形的面积分别是 23 。 第 1题 图 O D CB A 第 4题 图 F E G D CB A 4、如图，ABC 中，DEFGBC，如果 ADDFFB123，则 。DFGES四 边 形 FBCG四 边 形 二、选择题： 1、如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在 AB 边上，且 AEEB21，AFDE 于 G 交 BC 于 F，则AEG 的面积与 四边形 BEGF 的面积之比为（ ） A、12 B、14 C、49 D、23 ba问 题 二 图 OE FD CB A 4 第 1题 图 F E G D CB A 第 2题 图 O ED CB A 2、如图，已知 DEBC，CD 和 BE 相交于点 O， 49，则 AEEC 为（ ）DESCO A、21 B、23 C、49 D、54 3、在ABC 中，D 为 AC 边上一点，DBCA，BC ，AC3，则 CD 的长为（ ）6 A、1 B、 C、2 D、 2 三、解答题： 1、如图已知，在ABC 中，AB5，AC6，BC7，点 D、E 分别在 AB、AC 上，DEBC，且ADE 的周 长与四边形 BCED 的周长相等，求 DE 的长。 2、如图，等腰直角ABC 中，BAC90 0，D、E 分别为 AB、AC 上一点，且 BD AB，AE AC，。求31 证：ADE EBC。 第 1题 图 ED CB A 第 2题 图 E D CB A 第 3题 图 F E D CB A 3、已知如图，正方形 ABCD 中，AB2，E 是 BC 的中点， DFAE ，F 为垂足，求DFA 的面积 和四边形1S CDFE 的面积 。2S 4、在ABC 中，AB 8cm，BC16 cm，点 P 从 A 点开始沿 AB 边向点 B 以 2 cm秒的速度移动，点 Q 从 B 点开始沿 BC 边向点 C 以 4 cm秒的速度移动，如果 P、Q 分别从 A、B 两点同时出发，经过几秒之后，PBQ 与 ABC 相似？这样的三角形有几个。 跟踪训练参考答案 一、填空题