中考数学的命题与复习

考 试 命 题 与 复 习 马：介绍嘉宾，简单说明本主题意义。引出主讲人隋淑春。 话题一：复习阶段的高效命题。 （一）一轮复习的命题，该怎样涵盖知识点，体现所命制的试题与课标、教材的关联？ 中 考 数 学 复 习 建 议 一、数学课程标准对我们初中数学要求掌握的知识点 课程标准分别从数与代数、空间与图形、统计与概率、课题学习四个领域进行了知识 点的规定，共包括 148 个知识点。 第一部分数与代数分为数与式、不等式与方程、函数三个方面，共包括 48 个知识点。 其中数与式中分为有理数、实数、代数式、整式与分式四个部分，共涉及 21 个知识点； 不等式与方程中分为方程与方程组、不等式与不等式组两个部分，共涉及 8 个知识点；函数 中分为探索具体问题中的数量关系和变化规律、函数、一次函数、反比例函数和二次函数五 个部分，共涉及 19 个知识点。 第二部分空间与图形分为图形的认识、图形与变换、图形与坐标、图形与证明四个方 面，共包括 83 个知识点。 其中图形的认识分为点线面、角、相交线与平行线、三角形、四 边形、圆、尺规作图、视图与投影八个部分，共涉及 40 个知识点；图形与变换分为图形的 轴对称、图形的平移、图形的旋转、图形的相似四个部分，共涉及 20 个知识点；图形与坐 标分为四个部分，共涉及 4 个知识点；图形与证明又分为了解证明的含义、掌握一些基本事 实，作为证明的依据、利用基本事实证明一些命题、通过对欧几里得原本的介绍，感受 几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值四个部分，共涉及 19 个知识点。 第三部分统计与概率分为统计、概率两个方面，共包括 13 个知识点。 其中统计分为 10 个知识点，概率分为 3 个知识点。 第四部分课题学习包括 4 个知识点。 通过根据课程标准要求和课时安排以及每年山东省各市的中考题可以看出，数与代数、 空间与图形所占分值比例都大约为 37.5%，统计概率所占分值比例大约为 16.7%，课题学习 所占分值比例大约为 8.3%。按年级来说：7 年级所占分值比例大约为 8%（以填空选择为主） ，8 年级所占分值比例大约为 37%，9 年级所占分值比例大约为 55%。 课程标准给我们提供了初中学段对数学的总体和具体目标要求，新课程标准对其中的具 体内容又做了稍加改动，如果我们对课程标准不了解，对改动的内容不清楚，那么我们就会 事倍功半。因此对课程标准的要求应该做到心中有数。对删除的内容、增加的内容和要求难 度有所降低的内容做到了如指掌，才能有的放矢。下面附表供大家参考。 删除的内容 数与代数 空间与图形 倒数 梯形中位线的性质。 2 甚至对某些知识的要求难度也有所降低： 1、 进 行 简 单 的 混 合 运 算 （ 以 三 步 为 主 ） 。 2、 进行有关实数的简单四则运算 （不要求分母有理化） 。 最简二次根式，同类二次根式，积与商的方根的运 算性质，字母二次根式的讨论和运算。最简分式， 分式的乘方。 两圆连心线的性质，两圆公切线。 添括号。整式除法运算。 弦切角定理，切线长定理，切割线 定理，相交弦定理。 分组分解法，待定系数法。 正多边形的有关计算，等分圆 周。 三元一次方程组 作两条线段的比例中项。 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系。 cotA 增加的内容除统计与概率和课题学习外 数与代数 空间与图形 能对含有较大数字的信息作出合理的解释和 推断。能用有理数估计一个无理数的大致范 围。 探索并了解线段、矩形、平行四 边形、三角形的重心及物理意义（如一 报均匀木棒、一块均匀的矩形木板的重 心） 。 能理解一些简单代数式的实际背景或几何意 义。能根据特定的问题查阅资料，找到所需 要的公式， 通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一 个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌 平面，并能运用这几种图形进行简单的 镶嵌设计。 体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学 模型。 视图与投影 经历用观察、画图或计算器等手段估计方程 解的过程。 图形与变换 能根据一次函数的图象求二元一次方程组的 近似解。 了解图形的位似，能够利用位似将一个 图形放大或缩小。 能够根据具体问题中的大小关系，列出一元 一次不等式和一元一次不等式组，解决简单 的实际问题。 结合函数关系的分析，尝试对变量的变化规 律进行初步预测。 能在方格纸上建立适当的直角坐标系， 描述物体的位置。 体会二次函数的意义。能从图象上认识二次 函数的性质。 在同一直角坐标系中，感受图形变换后 点的坐标的变化。 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近 似解。 灵活运用不同的方式确定物体的位 置 ？ 3 3、会进行简单的整式乘法运算 （其中的多项式相乘仅指一次式相乘） 。 4、进行因式分解 （指数是正整数） 。 5、一元一次方程的分式方程 （方程中的分式不超过两个） 。 6、二次函数对称轴（公式不要求记忆和推导） 7、证明的难度有所降低（不要求 2 条以上填加辅助线） 马：过渡话，引出主讲人陈怡。 二、历年山东省各市中考阅卷发现学生存在的问题及复习建议（以计算题和几何证明为例）： （一）计算题： 每年的中考数学试题中，计算类的题目是各市必定要考察的内容，主要包括二元一次 方程组、不等式（组） 、分式方程、分式化简、一元二次方程等的考察比较多，虽然计算题 比其他解答题目简单，也容易得分，但是每年中考阅卷中各市都会发现学生出错较多，下面 就各种类型的易错点总结如下： 1、二元一次方程组：以 07 年济南市 18 题（ 2）小题 为例：62xy 学生出现的问题： x、y 求对了，但最后不写结论 x= 2 y= -2 写结论了，但写成原方程解是 x=2 y= -2 应该写成原方程组的解是 x= 2 y= -2 更有甚者，写成原不等式组的解是 x=2 ， y=-2 可能是中考复习中老师们把不等式组，列不等式组解应用题 强调的太多了，所以使学 生见了什么都写成不等式组。 如果学生只写最后结果是 x= 2 也可以，且更简捷。 y= -2 运算问题不少，有的连有理数的四则运算都不会了 粗心，笔下误也很影响得分，如方程明明是 2x -y=6 有的同学却抄成 4 2x+y=6 照此作下去肯定全错。 再如 原方程组的解是 x=2 可有的同学写成 x=-2 y=-2 y=2 两个方程相减或移项时，符号的变号出现问题。 步骤跳跃大。如个别学生在解出第一个未知数后，直接写出第二个未知数答案，没体现第 二个未知数的任何解题过程，这种情况均扣分； 2、分式方程，以 08 年滨州第 20 题为例： 21x 去分母时右边漏乘最简公分母（x+1） （x-1） ； 不进行检验； 进行检验，但是只是限于写步骤，不管对错，即下结论 x=1 是原方程的根，而实际上原方 程无解。 3、用 配方法 解一元二次方程，以 08 年青岛市 16 题为例： ； 【08 泰安20x 20（ 2） ）用配方法解方程： 】2610x 问题：解法选择错误，题目对解法有要求，必须用配方法。一些考生因选择了错误的解法而 导致 6 分全丢。 4、分式的化简求值：以 08 年威海 19 题为例：先化简，再求值： ，其中xx122x 解： 2 分xx1212 3 分x1 4 分)1( 5 分x 当 时，原式 7 分221x 问题：（1） “类比”乘法的分配律，错误的写成 ，xxxx 12121 导致全错；应该先算括号里面的。 （2）最后化简的结果中漏写“-”号； 5 （3）代数后未进行分母有理化。 5、不等式组（不等式）：以 07 威海 19 题为例：解不等式组，并把它的解集表示在数轴上：3(1)725.x ， 出现问题：（1）不等式去括号和不等式去分母后，没有变号； （2）不等式系数化成 1 是两边同时除以-2，不等号方向没有改变； （3）不会取不等式组的解集； （4）在数轴上不会表示解集。 复习建议： 1、平日教学时，应严格步骤，详细写出过程； 2、做题要规范；对于易混、易错的知识要善于总结、积累，从而有针对性的进行练习。 3、在平日教学中关注学生读题，审题能力的培养。 4、没必要给学生补充过多。囫囵吞枣，似是而非，会让学生知识成夹生饭。 5、在教学过程中不能只要求学生学会方法，要训练学生回答问题的规范性和严密性。 （二）几何证明题 存在问题： （1）审题不认真，数学语言不够规范（或者数学语言不够到位） 例如： “”符号不写，或写成 “” “” 符号写成“”或“”或“ ” M=C ；P=Q ，AB=CD ； 用代表菱形。 表述 M 是 BC 中点时： M 在 BC 的中间 A Q P CB M 1 2 图 7 6 M 在 BC 的中心 M 在 BC 的垂直平分线上（或 A 平分线上） M= BC21 具体以 2006 年青岛市中考第 21 题试题为例： 原题： 已知：如图，在平行四边形 ABCD 中， E、 F 分别为边 AB、 CD 的中点， BD 是对角线， AGDB 交 CB 的延长线于 G。 求证： ADECBF ； 若四边形 BEDF 是菱形，则四边形 AGBD 是什么特殊四边 形？并证明你的结论。 解题出现问题情况分析 （一）简单的几何证明的逻辑形式存在问题。 最突出的例子是第问中，由四边形 ABCD 是平行四边形，得到两组对边分别相等，即 AD=BC、DC=AB；对角相等，即DAB=C。 有的学生不提四边形 ABCD 是平行四边形的条件，直接得结论，有的说“由题意得”等等， 都不合适，特别是由四边形 ABCD 是平行四边形得到 DC=AB，再利用 E、F 分别为边 AB、CD 的中点，得到 AE=CF 时，不少学生没能指出 DC=AB，便得到了 AE=CF。 （二）思维跳跃，逻辑混乱 例如： （1）第二问证明四边形 AGBD 是矩形时，在证明了一个角为 90后，有的学生证了 ADBG，摆了条件 AGDB，在没有说明四边形 AGBD 是平行四边形的情况下，就直接说四边 形 AGBD 是矩形。 （2）同样在证第二问四边形 AGBD 是矩形时，连接 EF,由菱形 BEDF 得 EFBD, 学生想利用 ADEF,得到 ADBD,但却没有证明 ADEF. （3）解答第二问时，部分学生连接 EG 后，没能说明点 E 是对角线交点,或者说明点 D、E、 G 在同一条直线上，便利用 DG=AB 得到矩形 AGBD. （三）结论开放后，证明思路不明确。 对于第二问中的结论开放题，部分学生搞不清楚已知条件是什么，结论是什么，从而 G F E D C BA 2 3 1 4 7 出现将矩形 AGBD 作为条件，去证四边形 AGBD 是菱形的情况。这显然是解题时的思路与 书写证明过程给混淆了 复习建议： （ 1）建议老师在平日的教学过程中有意识的锻炼和训练学生独自读题、申题和解题的 能力。 （ 2）在日常的教学过程中，建议老师使用规范、严谨的数学用语。 （ 3）在复习期间，注意加强学生严密的逻辑推理能力的训练，避免书写时逻辑的跳跃。 （ 4）抓住课本，夯实基础，理顺关系，避免出现数学知识点之间的混乱。 （ 5）建议教师在落实几何基础知识的同时，关注几何开放型问题，提高学生的逻辑思 维能力。 马：过渡话，引出主讲人赵美香。 （二） AB 卷分层检测 关注不同层次学生的发展需求，更好地为二轮复习做好学情上的 服务 复习过程中的检测反馈环节是反馈复习效果、查缺补漏、调控复习过程，促进师生双方 改进教与学策略的重要环节，是及时诊断、及时反思的最有效途径 。长期以来，无论是升学 考试，还是学生学习过程中的检测，均以筛选、竞争为特征，用一套试卷作为“惟一公开尺 度”来衡量学生。这种考试模式，对于以选拔为目的的考试是公平的，而对于检测学习者在 学习过程中的水平而言则表现出很多弊端： 一卷检测的结果虽然有利于区分和排队，有利于 对优生的激励，但在客观上却直接造成了对差生的心理打击。之所以中差生怕考试，就是因 为考一回，心理受打击一次，信心也丧失一次，他们感受不到自己学习的成功和提高，时间 久了，形成自卑、自弃的心理，产生厌学情绪 。从对待考试结果看，测试后，多数教师不是 积极地进行质量分析，而是注重按分数给学生排队，搞群体分类，这既不利于根据考试信息 改进教学，又挫伤了多数学生学习的信心。 面对初三年级的学生，由于个体心智水平的差异、学习基础的差异、学习能力的差异， 学生的学习不可避免的发生了分化，尤其是在中考复习的过程中，随着对综合知识综合能力 要求的的不断提高，这种分化就更加明显。面对这种分化，老师们必须反思如何让学优生在 原有基础上不断提高，同时保证学困生不掉队不放弃，最有效的方法就是分层教学，老师们 探索 AB 卷分层检测的方法，变 “一把尺子 ”为 “多把尺子 ”，多方面激励学生、培养学生，让 不同层次的学生在复习过程中的每一小步都能有自己的提高和收获 （一）分层分卷考试操作步骤 8 第一步，科学分层。按照学生的学习水平、学习能力，科学地划分出不同层次。分层 的目的不在于给学生排队，而是为了便于因材施教。在平时的教学中，教师要根据不同层次 学生的学习水平，分别提出不同的学习要求，使其在时时成功的学习乐趣中，不断实现高层 次的发展目标 第二步，分别命题。针对学生的学习水平、学习能力，根据不同的学习目标，分别命制 不同难度的试卷，以供学生自由选择。 A 卷主要是针对学困生的水平，以近阶段复习中的最 基本知识点、最基本考察点为主，甚至可以以教材中的原题、上课的例题、平日的作业题 （题目可略作修改，部分典型题目甚至可以不做任何改动）呈现，让学困生感受到自己只要 努力学了就会有收获，不断的鼓励他的学习信心和兴趣，关注检测对学学困生的激励； B 卷 主要针对非学困生的水平，在检测基本知识基本考察点的基础上，进行一定的拓展和提高题 目的训练， B 卷的试题设计难度比按照 4： 4： 2 的比例，再对参加 B 卷检测学生的不同层次 进行有针对性的检测反馈 第三步，自由考试。检测前，教师不人为地给学生分类，而是让学生根据自己的学习水 平、学习能力，自由选择试卷参加考试。让学生诊断其学习的真实水平，改进学习方法，确 立新的学习目标。 第四步，质量评价。检测成绩均以百分制评价，因此，成绩统计与分析是以不同学生群 体来进行的。对教师而言，通过对不同群体成绩的分析，可以更准确地了解各类学生的学习 状况，正确地把握因材施教的要求；对学生而言，学习水平不同、考试要求不同，但可以得 到相同的分数。此时，分数已淡化了因排队而带来的学生心理上的压力，更多地体现了对学 习程度的认可。 （二） AB 卷分层检测的意义 与传统考试模式相比，分层检测的意义表现在：针对学习能力、学习水平不同的学 生提出不同的要求，确立不同的考试目标，有利于全体学生的发展；让不同层次的学生 得到不同程度的提高，使学有余力的学生有大显身手的机会，较后进的学生也能够体验到成 功的快乐，有利于学生自信心的培养和个性的发展；使教师能够准确地了解教与学的信 息，有利于调控教学，有利于改进教学工作；避免了以分数排名次的弊端，减轻了学生 的心理负担，有利于学生生动活泼地发展。总之，在这种考试模式下，考试不再是套在学生 身上的沉重枷锁，所有的学生都能找到自己的优势，确立自己的发展目标。 （三） AB 卷分层检测实施后的效果 目前，在教育界流行这样一句话“成功是成功之母”！不错的，渴望成功，享受快乐是 人的天性，对那些屡屡在考试中受挫、失败 9 的学困生们尤其如此，他们渴望从考试中来证明自己的努力是有收获的，从而逐步树立自己 对学习的信心.在具体实行了一段时间 AB 卷分层检测后收到了良好的效果，学困生的信心和 学习兴趣有了明显提高，他们明白了一个道理：只要自己平日认真听讲，用心完成作业，就 能在考试中取得一个比较理想的成绩，他们用自己的努力感受到了考试带来的乐趣，他们不 再恐惧和抵触考试；而那些优等生们也不再盲目自大，觉得考试题目过于简单，无事可做， 他们的学习积极性和主动性也被充分地调动起来，平日里会经常会凑到一起互相交流、讨论 自己找的一些难题的做法. （视频呈现 AB 卷考试现场视频呈现 AB 层学生的采访自述，见AB 卷考试现场、采 访光盘） 尤其在初三中考一轮复习阶段，实施 AB 卷分层检测，保证了各层次学生对基本知识的 全面掌握，学困生能够体会到学习成功的快乐，有效的遏制了学困生的掉队。有能力的学生 在牢固掌握基本知识的基础上可以进一步拓展提高。使个层次学生为二轮专题复习和综合练 习打下了坚实的基础。 (四 )实施过程中遇到的问题及改进的方法 初期的做法是给学生出不同的卷子，每个班分 A 卷（后进生做） 、B 卷（中等生做） 、C 卷（优生做） ，具体实施以后，发现效果并不明显. 首先是命题过于繁琐，每次考试要出三 种试题，工作量较大，同时班里的优生平日只做难题而忽略了基本功的练习，直接后果就是 基础不扎实，考试成绩并不理想，而中等生和后进生则觉得自己受到歧视，低人一等，心理 上抵触，并不领情，无心学习，成绩提高不明显. 遭受一番挫折之后，组内的老师们充分讨 论了这种情况，重新调整了命题方式，具体而言，每次考试分 A、B 卷（在同一份卷子上） ， A 卷主要面对班级的中下等学生，内容主要是老师们平日课堂上讲的例题，学生们平日的练 习题和作业题（题目可略作修改，部分典型题目甚至可以不做任何改动） ，B 卷供班级中部 分学有余力的学生们做，主要面对班级中的优生和部分能力较强的中等生，单独计分，内容 主要是一些难度较大，需灵活运用所学知识的题目.我们用一次次的考试向学生传递这样一 个信息：只要上课认真听讲，课后认真完成作业，就能取得一个理想的成绩，只要我努力， 我就有希望进步，我可以在现有基础上更优秀，用这样的方式让学生逐步树立信心！ 马：过渡话，引出主讲人陈怡。 话题二：中考的二轮复习有哪些有效的教学策略？ 不能仅依赖于感觉和经验，而应尽快从复习的时间、内容、资料、方法上，尤其是复习 资料方面习题的筛选与呈现上，对整个二轮复习做出合理规划，用老师的集思广益，代替蛮 干，帮助学生不走或少走弯路；侧重教法、学法研究，遵循认知规律，力求课堂复习新颖的 切入点，并本着“厚基础、强能力”的原则， 在适量和优质上做文章，尤其要以探究为核 10 心，淡化知识机械的记忆和重复，着力于学生体验过程，形成一定的分析问题、解决问题基 本策略。 （一）多题一解，触类旁通： 其实有许多数学习题看似不同，但它们的内在本质（或者说是解题的思路、方法）是一 样的，这就要求教师在教学中关注知识间的联系、重视对这类题目的收集、比较，引导学生 善于分析、归纳、总结，学会类比，寻求通法通解，充分发挥“例题模型”的作用，力争做 到精通一道题，会解一类题，让学生自己感悟它们之间的内在联系，形成数学思想方法。青 岛 53 中学的韩艳丽在这方面就有过比较成功的尝试。 （展示教学课件、并加以解释） 解直角三角形是初中数学联系实际生活的重要内容，是中考命题的热点之一。这类题目 求解的主要方法是：将实际应用问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）之 间的关系，其基本解题思路可概括为：把实际问题转化为数学问题，建立相应的数学模型， 在题设图形中寻求相应的直角三角形；如果没有现成的直角三角形，则可添加适当的辅助线， 构造所需直角三角形，选择恰当的边角关系求解。这其中的难点是如何发现涵盖已知和所求 的直角三角形，并选择恰当的关系式求解。韩老师发现采用类比典型例题的方法，借助图形 变换可以有效的攻克难点，轻松实现多题一解。 三角函数的实际应用 青岛 53 中学 韩艳丽 【画外音】 学情及教材分析： 学生已进行完了第一轮复习，积累了一定的解直角三角形的相关经验，但还没能建立相应的 数学模型。 一、 教学目标 1、学会应用三角函数解决实际生活中的问题。 2、提高学生观察、分析、综合解决问题的能力；培养学生的建模意识。 3、增强学生创新意识，培养学生学习能力；体验数学在实际生活中的应用； 渗透理论联系实际的辩证唯物主义思想。 二、重点和难点： 重点：掌握解直角三角形的方法，能解决一些实际中的应用问题。 难点：把实际问题中复杂图形化为数学中简单的几何图形，建立相应的几何模型。 三、 11 （一） 、知识回顾：（课件） 1、常见图形： 2、直角三角形边角关系 （1）三边关系：勾股定理： 2abc （2）三角关系：A+B+C=180，A+B = C=90 边角关系 tanA= ，sinA= cosA= ab ac bc 3、有关概念： 仰角、俯角、坡度、坡角、方位角 【画外音】 此环节的设计意图：通过简单的回顾让学生进一步理解掌握三角函数实际应用问题中涉及到 的相关知识点， 为后继学习开辟道路。 （二） 、典型例题（课件） 如图，海中有一个小岛 A，该岛四周 10 海里内有暗礁。今有货轮由西向东航行，开始在 A 岛南偏西 63.5的 B 处，往东行驶 20 海里后到达该岛的南偏西 21.3的 C 处。之后，货轮 继续向东航行。你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是怎样想的？与同伴进 行交流。 （ Sin63.5=9/10 tan63.52 Sin21.3=9/25 tan21.32/5） A B C 拓展： 1、你能求 AB、AC 边的长度吗？ 2、为什么要先求 AD？ 练习：如图，一人工湖的岸边有一条笔直的小路，湖上原有一座小桥与小路垂直相通，现小 桥有一部分已断裂，另一部分完好，在完好的桥头 B 处测得路边的小树 A 在它的北偏西 30，前进 32m 到断口 C 处，测得小树 A 在它的北偏西 45。请计算小桥断裂部分的长 （ Sin30=1/2 tan300.6 Sin64.5=7/10 tan45=1） 12 A B C 学生反思： 1、解决这类问题的一般思路。2、做完题后一定要及时反思总结。 【画外音】 此环节的设计意图：以一道典型题目为例，教师通过学生的板书规范解题格式，同时通过练 习初步建立解决这类问题的数学模型。 （三） 、变式训练（课件） 1、如图，为保卫祖国的海疆，我人民解放军海军在相距 20 海里的 B,C 两地设立观测站（海 岸线是过 B,C 的直线） ，按国际惯例，海岸线以外 12 海里范围内均为我国领海，外国船只除 特许外，不得私自进入我国领海。某日，观测员发现一外国船只行驶至 A 处，在 B 观测站测 得CBA34，同时在 C 观测站测得ACB63。问：是否需要向此未经特许的船只发生 警告，命令其退出我国领海？ （参考数据： ）sintansintan63910632435423， ， ， A B D C 2、如图，水库大坝的横断面是梯形 ABCD 坝顶 AE6 米，坡底 BC8 米，斜坡 AB 与 CE 的坡 比分别是 0.4、2，请根据以上数据计算该大坝的高度。 A E B C 3、嘹望台 AE 高 20 米，从嘹望台底部 A 测得对面塔顶 B 的仰角为 63.5 度，从嘹望台顶部 E 测得对面塔顶 B 的仰角为 21.3 度，已知嘹望台与塔 BD 地势高低相同。求塔高 BD 是多少 米？ B 13 F E D A 此环节的设计意图：这三道题都是在基本题的基础上翻折，平移得到的，是基本题的变式。 在学生分析解题思路的过程中,进一步体会它与基本题的内在关联，体会解题思路和方法的 迁移，从而建立相应的数学模型。 （四） 、回顾反思（课件） 通过这节课的学习，你有什么收获？ 1、图形之间的关联。 2、解决此类问题的一般思路。 3、学习方法：类比法、建模思想。 【画外音】 此环节的设计意图：学生回顾反思本节课的内容，体会到这几道题虽然各不相同，但其本质 是一样的，都可化归为 1 题的模型求解，从而建立起相应的数学模型，进而把握解决此类问 题的方法实质，使数学能力进一步升华。 （五） 、检测反馈（课件） 为了测量某小山坡的高度，某数学活动小组在测点 A 处安置测倾器，测得此时山顶 M 的仰角 MCE30；在测点 A 与小山之间的 B 处安置测倾器（A、B 与 N 在同一条直线上） ，测得此 时山顶 M 的仰角MDE45；量出测倾器的高度 BC=BD=1.5 米，以及测点 A、B 之间的距离 AB30 米。根据上述测量数据，你能求出小山的高度 MN？ 【画外音】 此环节的设计意图：学生在前一环节已 14 基本建立该类问题的几何模型，掌握该类题的解题规律，在此设置一道检测题进一步加以巩 固。 （六） 、布置作业 1、完成题纸中剩余的题目。 2、每位同学针对今天所学的内容自编一道三角函数的实际应用题，并解答出来。 【画外音】 此环节的设计意图：设计这两项作业使学生进一步巩固今天所复习的内容，同时作业 2 的设计进一步激发了学生的数学兴趣。 像这样将解决某一问题的方法加以归纳、总结,形成技巧，并用以解决其他问题，达成 多题归一，培养学生知识、方法的迁移能力，是一种值得关注的有效复习策略。 马：过渡话，引出主讲人赵美香。 （二）变式教学，感悟方法： 让学生从不同角度思考问题、解决问题，可以引起学生强烈的求异欲望，培养学生思维 的灵活性与发散性籍方法优化又可以变式教学在帮助学生体验变式中类比的作用、使之运用 类比思想找到解决问题的恰当的切入点、在解决问题时对自己已有的知识结构不断总结完善， 进而得到解决问题的方法，发展学生的思维能力等方面可谓得天独厚。我们来看一个青岛五 十三中袁文媛老师提供的案例。 证明题复习课 授课人：青岛 53 中 袁文媛 【画外音】 本节课的设计意图是通过对课本题目的变式，借助图形变换引导学生尝试从不同角度寻 求解决问题的方法，提高解决问题的能力，感悟并掌握与证明相关知识的综合应用；进一步 体验数学研究和发现的过程，体验图形变换思想，发展合情推理，培养学生的探索能力和合 作交流的习惯。使学生在平时学习时能够主动的运用这些方法对题目进行适当的变式，从而 达到一题多练的目的，从题海中解放学生。并依附这种变式，引导学生加强对问题本质的认 识，关注解决问题方法的多样性，体验变式中类比的作用，发展学生的思维能力。 一、直面中考 1、你知道在中考试题中，几何证明题出现在什么位置吗？ 2、证明题要考察哪些知识点？ 3、你对中考题证明题的提问方式有什么印象？ 4、图形的变换有哪几种方式？ 二、典型例题 1、原题重现：如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 D 作 DEAC 交 BA 的延长线于点 E. 求证ABCAED ABC 满足什么条件时，四边形 AEDC 是矩形？ ABC 满足什么条件时，四边形 AEDC 是菱形？ 2、美丽的平移：将ABC 沿 BA 平移到EAD 的位置则： ABCAED 吗？ A B C D E 15 ABC 满足什么条件时，四边形 AEDC 是矩形？ ABC 满足什么条件时，四边形 AEDC 是菱形？ 3、漂亮的旋转：将ACD 绕 AD 中点 O 旋转 180得到DEA。则： ABCAED 吗？ ABC 满足什么条件时，四边形 AEDC 是矩形？ ABC 满足什么条件时，四边形 AEDC 是菱形？ 4、精彩的折叠：若将平行四边形 ABCD 中的ABC 沿 AC 向下折叠，得到 AEC ，EC 交 AD 于点 P，连结 BE 和 DE。你能得到那些结论？选择其中一个说明理由。 5、小结 【画外音】 这一环节的设计思路是：通过 4 个变式例题帮学生感悟 方法。 1.在课本原始例题的背景下，将图形进行平移、旋转和折叠三种不同的变换，从运动的角度 让学生体会三角形、四边形以及特殊四边形的转化与演变，以此来深入了解三种变换的本质 特征和不同四边形的不同判定方法。 2.在问题设置方面，采用条件开放和结论开放，甚至是条件与结论全开放的形式，激发学生 的学习兴趣和积极性，并掌握开放型问题的证明方法。 3.通过变式，让学生能熟练进行三角形全等和特殊四边形的证明，并总结形成知识体系。 在解题教学的思维训练中，变式是一种很有效的方法。通过这样的变式训练，可以引导学生 尝试从不同角度去改编题目，通过改变条件，可以让学生对满足不同条件的情况作出正确的 分析，通过改变结论等提高学生推理、探索的思维能力，进而通过解题后的反思，学生感悟 归纳出同一类问题的解题思维形成过程与方法。 【画外音】这里要说明的是：新课程倡导自主探索的学习方式，但并不意味着教师要把教学 的舞台全部让给学生，自己不自觉的由教学的“中心”走向教学的“边缘”，甚至于退出教 学的舞台，当起了观众。事实上，探究活动不是学生个体的一种自由活动，学生不可能一开 始就能独立从事探究活动，特别是当学生在探究中遇到困难时，最需要教师的精心指导，经 历一个由“扶”到“放”的过程，循序渐进。在下面这段视频中我们看到：教师首先预设一 个开放性的问题空间，给学生提问的自主权、讲问题进行梳理和归类（插入师生互动的视频 片断一和二） ，在学生讨论时进行有效的、有针对性的指导，再在此基础上对全班进行有重 点地讲解、师生交流共同解决难点问题，优化了课堂效率。（插入师生交流互动的视频片断 三和四） 课堂教学中有效的探究活动是一个师生共同互动的行为，虽然我们的学生有很大的探究 空间，但课堂教学时间却是有限的，学生的探究活动如果得不到教师适时、必要、谨慎、有 效的指导，在很多情况下学生的探究就不能深入，探究的结果到头来只能停留在浅层的认识 活动水平上，学生的思维也就得不到应有的发展。特别是在探究活动中学生遇到困难时，学 生需要教师在思维、方法等方面的“点化”，使学生打开思路、拓展思维、找到探究方向， B C DP E A 16 A E F B D C 顺利完成探究任务，进而实现探究活动的目的。 三、应用提升 1、原题重现：在ABC 中，AB=AC ，点 D 为 BC 边中点，过点 D 分别作 AB、AC 的平行 线交 AB 于 E，交 AC 于 F. BDECDF 吗？ 四边形 AEDF 是什么形状？ ABC 满足什么条件，四边形 AEDF 是正方形？ 2、变式 1：若过 BC 中点 D 分别作 DEAB 于 E、DFAC 于 F。类比前面的学习，你能提 出哪些问题？你能解答它们吗？ 3、变式 2：在变式 1 的基础上，若将BDE 沿 DE 折叠，使 B 落在 M 处，将CDF 沿 DF 折叠，使 C 落在 N 处，则ABC 满足什么条件，四边形 AMDN 是菱形？说明理由。 4、展开想象的翅膀： 【画外音】 1、本环节的设计意图：通过本环节的训练使学生能够较为熟练的识别变化的本质，从而运 用类比思想找到解决问题的恰当的切入点。 四、学会反思，感悟收获 【画外音】本环节的设计意图：学生对变式方法及解决问题思路的总结。 学生经过了艰苦的探索过程，获得了来之不易的“胜利果实”和较丰富的主观感受，产 生强烈的表达意向，不吐不快。交流沟通就是在探索的基础上，让学生在小组或班集体内相 A E F B D C A E F B D C （备用图） 17 互交流，充分展示自己的思维方法及探究过程，揭示规律、解决问题，从而加强学生之间、 群体之间的交往、沟通及相互了解，促进学生不断反思自己的思考过程，分析思考其他同学 的思路并做出自己的判断。交流给每个同学提供了表现自己的机会，不仅使自己对知识的理 解更全面，而且丰富了想象力，使能力得到了提高。 五、反馈作业：1、整理导学案 2、A组：从学案中任选两题写出证明过程 B 组：从课本或指导上任选一题进行改编，并加以证明。 【画外音】这节课选用的例习题以课本例、习题为蓝本，衍生而来。一题多变，横向联想， 很多时候变换的是问题的形式，而不变换问题的本质，这使学生不迷恋于事物的表象，而能 自觉地注意到从本质看问题，同时使学生学会比较全面地看问题，注意从事物之间的联系的 矛盾上来理解事物的本质，从变中加深对不变的理解，避免题海战术，提高学生归纳概括的 能力，从而使学生灵活掌握基础知识，提高解决问题的能力，培养良好的思维品质。 伽利略曾说过“ 科学是在不断改变思维角度的探索中前进的” 。故而课堂教学要常新、善 变，重视发挥习题的变式功能和解法的多样性，通过原题目延伸出更多具有相关性、相似性、 相反性的新问题，培养学生联想、转化、推理、归纳、探索的思维能力。通过结论与条件的 互换来理解原命题与逆命题之间的关系，可以加深对命题真假的辨析能力，更重要的是通过 变式教学，培养学生敢于思考，敢于联想，敢于怀疑的品质，培养学生自主探究能力与创新 精神。 马：过渡话，引出主讲人隋淑春。 话题三：如何上好期中期末数学复习课 如何上好数学复习课，提高复习课的效率，这是每位数学教师都非常关注的问题。但是 往往有很多老师在复习课教学中会陷入“做试卷讲师卷再做试卷”的题海怪圈。学 生在每节课做题、讲题、再做题中渐渐丧失了学习数学的兴趣。随着素质教育的全面推进和 展开，新课程改革近八年来我听了很多专家的讲座，学习了不少的先进经验，自己也在教学 中摸索和实践，尤其是对于如何提高数学复习课的有效性进行了反思，有了几点自己认为比 较有效的尝试和大家进行交流。 一、实验背景 青岛是第一批国家级实验区，课改试验近八年，在中考招生方面做了很多的改革，尤其 是直升生和指标生方面进行了改革。在直升生和指标生中，非常重视学生的过程性评价和口 头表达能力、创新能力等。所以在平日教学中教师非常重视对学生这些方面的积累和培养。 18 尤其是每次期中或期末，都要将学生的平日成绩录入，但是只能录入一次的成绩作为代表。 每每这时，我都会非常矛盾，也感到对学生的不公平，因为我不能保证我选择的这次成绩是 我们班每个学生考的最理想的成绩，每次都会出现有的学生就这次考得最好，那他肯定很高 兴，也有的学生就这次考得不理想，被录进成绩后就感到非常难过。为了弥补对学生的这种 不公平，也更想在带领学生复习数学迎接考试的课堂上让学生不那么枯燥，我将全班分为 6 个小组，进行评分奖励制，选派 1 人担任组长，负责计分。教师将作业、课堂上的表现等作 为考查的项目，根据每个小组成员的具体表现，进行相应的加分，每组最终将几次加分进行 累计，并按照适当的比例换算，最终加入期中和期末的平日成绩中。这样通过每个小组的通 力合作，有的学生会由“良好”成为“优秀”，有的会由“待达标”成为“达标”，让每个 学生表现自己最好的一面，也给了他们学习数学的信心和勇气。具体操作以我在带领学生复 习七年级下册第五章三角形的期末复习课中作详细的解释。 二、几点尝试 （一）课前准备的尝试 1、教师准备 ：数学复习课的教学和新授课有着本质的区别，复习的量大，练习的内容 多，环节杂乱。所以每次我上课前一周就把课先备好。首先我深挖教材，对学过的知识进行 整理，找出书中涉及到本节复习内容的题目。然后进行富有创意的设计，将要复习的内容作 有机的组合，以一种新的问题方式呈现给学生，使学生有新颖感、复杂感和惊奇感，由此来 唤起学生的注意，促使学生保持认知加工的主动心理倾向。其次，复习中的练习题，不是旧 知识的单一重复，机械操作，要体现知识的综合性，体现质的飞跃，达到训练学生思维敏捷 性、创造性的目的。再次，注重复习方式的新颖性、多样性，激励学生主动参与复习。 2、学生准备：我在上复习课的前两天将要复习的章节告诉学生，布置学生根据自己的 喜好做好复习内容的总结。主要分为三个部分：第一，本章节的知识框架图或者知识树，包 含重点知识点；第二，统计自己在本章节中掌握比较好的内容；第三，统计自己在本章节中 掌握不理想或容易出错的内容。可以用语言叙述，也可以以例题的形式说明。 3、教师的再准备：教师根据学生上交的总结，首先分等级进行评比，其次对学生已掌握和 未掌握的内容进行统计，结合自己已经准备好的教学设计进行适当的调整， 如原先自己认为应重点讲解的内容学生普遍反映掌握较好，那么这种题型可以进行简单 讲解甚至删除；对于学生普遍反映掌握不好的题目要充实进来，在课堂上重点强调。例如我 在准备七年级下册第五章三角形的期末复习课时，根据学生的知识总结，我确定郭雪琪、 邱璐雯等 9 名学生的总结为优秀等级，为他们所在的小组各加 5 分。结合学生总结的易错点 将三角形的判定和三角形的特征类的题目适 19 当增加，对学生普遍认为掌握很好的作图题进行了删减，重新调整了自己的教学设计，为课 堂教学做好充分的准备。 （二）课堂提问的尝试 以往的课堂提问基本上由老师进行，学生在老师的提问中逐步回顾所学的知识点。结合 青岛中考以及学校的实际情况和要求，我将课堂提问交给了学生。要求学生平日观察我在教 学中的提问方式，课堂上模仿老师，结合自己总结的知识点以提问的形式带领同学回忆本章 的知识，并根据自己的理解加以强调。例如在七年级下册第五章三角形的期末复习课时， 我确定由郭雪琪同学带领大家复习知识点，先由她自己准备如何提问，我再给与适当的帮助。 当上课时，郭雪琪同学能够像模像样的带领同学将这一章中的三角形的性质、判定方法的探 究和应用以及尺规作图中应该注意的问题一一进行了复习，同学们在她的带领下饶有兴致的 温习了所学的知识，而且她能够根据问题的难易度，提问不同层面的学生，并且给与他们适 时地毫不吝啬的表扬和鼓励，不仅锻炼了自己的口头表达能力、逻辑思维能力，而且极大地 调动了同学们的积极性。然后我根据她的提问又补充了三角形的判定与特征的区别，得到了 双赢的效果。 （三）课堂教学的尝试 1、习题环节的尝试 在本章复习课的设置中，我根据我们数学组研究的“任务驱动式在数学教学中的有效使用” 的课题研究，将本节课分为 4 个任务。 任务 1，温故而知新， 由郭雪琪同学带领大家复习第 五章的知识内容。 任务 2，你掌握了吗？ 由教师针对第五章的知识点和学生反馈的易错点设 置相关的基础性题目加深学生对知识的回顾与理解。任务 3，争先恐后。这一环节是本节课 的高潮，虽然还是带领学生练习相关的习题，但是采用小组分工，以竞赛的形式进行，极大 地激发了学生竞争的意识和学习数学的兴趣。 任务 4，能力提升 ，【用字幕显示】 在学生已有的基础上相应的进行拓展训练，提高学生的能力。 2、教学方法的尝试 以往的教学方法局限于做题、讲题，再做题。复习课往往让学生感到枯燥无味。而进行复习 课的尝试以来， 根据教学的实际情况，我适当根据教学内容增加了 “争先恐后 ”这一环节， 评价也明显有变化 。插入拍摄的视频（争先恐后环节） 具体操作如：在第五章 三角形 这 节课的任务 3 中，我根据学生的实际情况设置了 8 道小题，题目由易到难，分数由低到高， 分为 3 个 10 分， 2 个 15 分， 1 个 20 分， 1 个 25 分， 1 个 30 分。学生分为 6 个小组，课前 由小组长抽签决定上课选题的顺序，提前带领组员确定回答问题的人员，课堂上按照顺序优 先选题。答题加分规则是：如果是组内优秀 20 学生回答，回答正确按照题目所写分值加分；如果是组内学习有一定困难的学生（由教师评 判）回答且回答正确，除题目所写加分外，额外再加 5 分，以鼓励学习有困难的学生积极参 与；如果回答问题的同学不会或回答不完整，组内其他同学补充且正确的加一半的分数；如 果其他组的同学补充且正确，每人次加 2 分；如果本组不能正确回答所选题目，则不得分。 加分由教师确定，每小组组长负责填写相应的表格，课后必须由任课教师签字认可方可计入 平日成绩，否则无效。 附平 日成绩加 分表： 初一 三 班数学平 日成绩加 分表 组长： 成员： 3、课后作业的尝试 复习课的课后作业不是简单的几道习题的堆砌，为了更好落实复习课的有效性，在作业上我 也进行了尝试，分为三部分：必做题、选做题、对本章节易错点的再总结。在必做题部分， 我设计了 A、 B、 C 三组习题，根据本节课每个小