【一次函数教案

第 周 星期 第 节 2006 年 月 日第 课 时 教学内容 17.2 一次函数 1.一次函数 知识点 一次函数的定义 教学目标 理解一次函数和正比例函数的概念；掌握一次函数和正比例函数之间的关 系1经历探索过程，发展学生的抽象思维能力 2理解一次函敷和正 比例函数的概念。 3能根据已知条件，写出简单的一次函数表达式，进一 步发展学生的数学应用能力 知识 导向： “函数及其图象”这一章的重点是一次函数的概念、图象和性质，一方面，在学生初次接 触函数的有关内容时，一定要结合具体函数进行学习，因此，全章的主要内容，是侧重在具 体函数的讲述上的。另一方面，在大纲规定的几种具体函数中，一次函数是最基本的，教科 书对一次函数的讨论也比较全面。通过一次函数的学习，学生可以对函数的研究方法有一个 初步的认识与了解，从而能更好地把握学习二次函数、反比例函数的学习方法。 关键 ：如何掌握学习函数概念的方法 教学重点 正确理解一次函数和正比例函数的概念 教学难点 根据已知条件写出一次函数解析式一次函数的概念的引入； 教学方法 教学用具 多媒体 师生双边教学活动 教学过程 学 生 活 动 教学 手记 情 景 创 设 我们通过前面的学习，了解了什么是函数，学会了函数图象的画法，初 步感受了函数图象在解决实际问题时的作用在此基础上，从这节课起我们 将对一些函数进行具体的学习和研究 口 答 探 索 环节一：看看我们身边的例子： 1、小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来他已存有 50 元，从现在起每个月节存 12 元试写出小张的存款数 M 与从现在开始的月份数 x 之间的函数关系式 2、小红每天做 5 道数学课外练习，试写出小红所做题目的总数 y 和练习天数 x 之间的函 数关系式 3、仓库内原有粉笔 400 盒,如果每个星期领出 36 盒,求仓库内余下的粉笔盒数 Q 与星期 数 t 之间的函数关系式 4、容积为 30m3 的水池中已有水 10m，现在以 5m3/分钟的速度向水池注水，写出水池中 水的容积 y（m 3）与注水时间 x（分钟）之间的函数关系式 5、写出多边形的内角和 S（度）与它的边数 n 的函数关系式 ，自变量 n 可取哪些数值？ 探 索 归 纳 问题 1 小明暑假第一次去北京汽车驶上 A 地的高速公路后，小明观 察里程碑，发现汽车的平均车速是 95 千米/小时已知 A 地直达北京的高速 公路全程为 570 千米，小明想知道汽车从 A 地驶出后，距北京的路程和汽 车在高速公路上行驶的时间有什么关系，以便根据时间估计自己和北京的距 离 分析 我们知道汽车距北京的路程随着行车时间而变化，要想找出这两 个变化着的量的关系，并据此得出相应的值，显然，显然，应该探究这 两个量的变化规律应该探求这两个变量的变化规律为此，我们设汽 车在高速公路上行驶时间为 t 小时，汽车距北京的路程为 s 千米，可知 s 和 t 的函数关系式是 5709s 说明 找出问题中的变量并用字母表示是探求函数关系的第一步，这里 的 s、t 是两个变量，s 是 t 的函数，t 是自变量，s 是因变量 问题 2 小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来他已存有 50 元， 从现在起每个月节存 12 元试写出小张的存款与从现在开始的月份之间的 函数关系式 分析 我们设从现在开始的月份数为 x，小张的存款数为 y 元，得到所 求的函数关系式为： 5012y 问题 3 按下列问题引导学生思考： (1)这些式子表示的是什么关系? (2)这些函数中的自变量是什么?函数是什么? (3)在这些函数式中，表示函数的自变量的式子，分别是关 于自变量的什么式呢 ? (4)x 的一次式的一般形式是什么? 表示的这两个函数有什么共同点 ? 独 立 思 考 交 流 回 答 听 讲 归 纳 上述两个问题中的函数解析式都是用自变量的一次整式表示的函数的 解析式都是用自变量的一次整式表示的，我们称它们为一次函一次函数通 常可以表示为 的形式，其中 k、b 是常数，k0ykxb 特别地，当 时，一次函数 （常数 k0）也叫做正比例函0yx 数正比例函数也是一次函数，它是一次函数的特例 听 讲 例题：给出几个解析式 例 1 下列函数关系中，哪些属于一次函数，其中哪些又属于正比例函 数？ 面积为 10cm2 的三角形的底 a（cm）与这边上的高 h（cm） ； 长为 8（cm）的平行四边形的周长 L（cm）与宽 b（cm） ； 食堂原有煤 120 吨，每天要用去 5 吨，x 天后还剩下煤 y 吨； 汽车每小时行 40 千米，行驶的路程 s（千米）和时间 t（小时） 例 题 讲 解 （提高）例 2 已知函数 ，若它是正比例函数，求 k(2)1ykx 的值；若它是一次函数，求 k 的值 例 3 已知 y 与 成正比例，当 时， 3x43y 写出 y 与 x 之间的函数关系式； y 与 x 之间是什么函数关系； 求 x=2.5 时，y 的值 思 考 回 答 听 讲 基础巩固 P40.1、2、3 练 习 回 答 能力提升巩 固 练 习 某油库有一没储油的储油罐，在开始的 8 分钟时间内，只开进油管，不 开出油管，油罐的进油至 24 吨后，将进油管和出油管同时打开 16 分钟，油 罐中的油从 24 吨增至 40 吨随后又关闭进油管，只开出油管，直至将油罐 内的油放完假设在单位时间内进油管与出油管的流量分别保持不变写出 这段时间内油罐的储油量 y（吨）与进出油时间 x（分）的函数式及相应的 x 取值范围 （在第一阶段：y=3x （0x 8） ；在第二阶段：y=16x（ 8x 16） ；在 第三阶段：y=2x 88（24 x44） ） 练 习 回 答 概 括 总 结 函数的解析式都是用自变量的一次整式表示的，我们称它们为一次函 数一次函数通常可以表示为 的形式，其中k、b是常数，k0特yx 别地，当 时，一次函数 （常数k0）也叫做正比例函数正比例0b 函数也是一次函数，它是一次函数的特例 口 答 布 置 作 业 3、P47.1、2、3 教后反思 七、教学反馈： 这节课一定要先让学生阅读课本，互相讨论，教 师在教学上要恰当 地设疑立障，引导学生大胆猜想，勇于探索，鼓励学生积极思维，这样 做有利于开发学生的智力，帮助学生提高分析、解决 问题的能力 这是 本课教学设计的主要指导思想。 一次函数是在正比例函数的基础上引入的，因此在教学的各个环 节中，各个知识点之间要以旧引新，以新带旧，加强 新旧知识的联系和 类比，培养学生的归纳、综合能力。 3、知识拓展 在讲述正比例函数时，首先，要注意适当复习小学学过的正比例关系，小学数 学是这样陈述的： 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应 的两个数的比值(也就是商)一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做 正比例关系。 写成式子是 (一定)kxy 需指出，小学因为没有学过负数，实际的例子都是 k0 的例子，对于正比例 函数，k 也为负数。 其次，要注意引导学生找出一次函数与正比例函数之间的关系：正比例函数是特殊 的一次函数。 课时总数 第 周 星期 第 节 2006 年 月 日第 课时 教学内容 17.3 一次函数 2一次函数的图象 1 知识点 一次函数的图象是一条直线，k b 对图象的影响 教学目标 理解一次函数和正比例函数的图象是一条直线，熟练地作出一次函数和正比例函数的图象；掌握 k 与 b 的 取值对直线位置的影响1经历一次函数的作图过程，能熟练地作出一次函数的图象2培 养学生发现问题和解决问题的能力。会选取两个适当点画一次函数（含正比例函数）的图 教学重点 熟练作出一次函数和正比例函数的图象 教学难点 探索某些一次函数图象的异同点选取适当两点画一次函数 y=Kx+b 的图象； 知识导向： 本节课教师要向学生说明研究函数的基本方法是由解析式画图象，这节课首先从学生已经认知的正比例函数和一次函 数的概念出发，得出其定义式，以及两者特殊与一般的关系。然后展示课本和作业中出现的正比例函数和一次 函数的图象，让学生感知一次函数的图象是一条直线，并作出猜想。此时，点拨学生：由几何知识知道“两点 确定一条直线” ，启发学生选取“两点”画一次函数的图象。 关键：培养学生用“数形结合”的思想与方法解决数学问题。 教学方法 教学用具 坐标纸，刻度尺，多媒体 师生双边教学活动 教学过程 学生 活动 教学 手记 情景创设 1、知识设疑：其一、什么叫一次函数、正比例函数？它们有何关系？其二、如何画现函数的图象？ 听讲 探索 1：请同学们根据画图象的步骤：列表、描点、连线， 在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象 ； ； ； 2yx2yx3yx2yx （写在一个表中）同学们观察并互相讨论，并回答：你所画 出的图象是什么形状的吗？ 归纳 1：观察上面四个函数的图象，发现它们 都是直线一次函数 （k0）的图象是一yxb 条直线，这条直线通常又称为直线 （k0） yxb 特别地，正比例函数 （k0）是经过原点（0，0）的一条直线yx 加问：经过几点可以确定一条直线? 答：两点问题 l：以上四个一次函数图象是什么形状呢 ? 只要取两点。教师指出，今后画一次函数的图象，只要 取两点再过两点画直线即可 结论 那么今后画一次函数图象时只要取两点，过两点画一条直线就可以了 （教师再用过两点的方法画图象，注意启发对两个点的选择） （马上做一个练习，列表法一 般是 6 个点以上，改一下下面的二个题中的 b 与 32yx12yx ） 画图 交流 回答 听讲 探索 2： 观察上面所画的四个一次函数的图象，比较下列各一对次函数的图象有什么共同点，有什么不同点？ 与 ； 与 ；3yx21yx2 与 yx 你能否从中发现一些规律？对于直线 （k0） ，常数 k 和 b 的取值对于其位置各有什么影响？yxb 归纳 2：（几何画板课件）1、两个一次函数，当 k 一样，b 不一样时，如与，有共同点：直线平行，平移关系！都是由直线 （k0）向上或向下移动yx 得到；不同点：它们与 y 轴的交点不同；2、而当两个一次函数， b 一样，k 不一 观察 交流 回答 听讲 探索归纳 样时，如，有共同点：它们与 y 轴交于同一点（0，b） ；不同点：直线不平行 综上所述，对于直线 与直线 而言：1kx2yx 当 、 时，两直线平行；12k12b 当 、 时，两直线相交于点（0，b） 例题讲解 例 1 在同一平面直角坐标系中画出下列每组函数的图象：（学生在书上面画，然后叫学生交流一下） 与 ； 与 2yx31yx12yx 加问： 你取的是哪几个点，互相交流，看谁取的点比较简便？ 上面每组中的两条直线有什么关系？ 通过比较，老师点拨，得出一次函数图象的画法：一般情况下，画一次函数 的图象要取与 x 轴、y 轴的交点比较简便特别地，画正比例 的图象只要ykxb ykx 过原点（0，0）和（1，k）最为简便 例 2 （可再举一个例子）说出直线 与 ； 与 的相同之处32yx12yx51yx 例 3 直线 ， 分别是由直线 经过怎样的移动得到的？13yx152y 平移方法：只要 k 相同，直线就平行，一次函数 （k0）是由正比例函数的图象 （k0）经过向上或向下平移 个单位得到的 时，直线向上移；yxbyxb0b 时，直线向下移0b 画图 思考 讨论 交流 听讲 基础巩固 P.42.1、2 练习 回答 能力提升巩固练习 练习 回答 概括总结 1一次函数的图象是什么形状呢? 2画一次函数图象时，只要取几个点?怎样取比较简便? 3两个一次函数图象，当 k 一样，b 不一样时，有什么共同点和不同点?当 b 一样，k 不一样时，有什么共同点和不同点? 两个一次函数，当 k 一样，b 不一样时，共同之处是直线平行，都是由直线 向上或向下移动得到；当 b 一样， k 不一样时，共同之处是它们与 y 轴交于同一点yx （0，b） 口答 布置作业 P47.5.6. 教后反思 七、教学反馈： 根据教学目标，结合学生心理特点，以及本人的教学经验， 这节课采用在教师引导下，学 生自主发现为主的教学方法。即教师创设问题情景，引导学生观察、比 较、自学、思考并展开 讨 论，使学生作为认知主体参与知识发生的全过程，体验揭示规律， 发现真理的乐趣，从而产生 巨大的内驱力，提高课堂教学效率，充分发挥教师主 导作用和学生的主体作用。 Tx 第一课时的、知识拓展 （1）一次函数的图象的画法： 问题：我们知道一次函数的图象是一条直线，那么今后我们画一次函数的图象 是否还是通过描出许多点再连线呢？有没有简捷的方法呢？ 讨论：两点确定一条直线，画一次函数的图象只需描出两点，再过这两点作 直线。 结论：一次函数图象的画法“两点法” 。 （2）取两适当点画正比例函数的图象： 问题：取怎样的两点画函数 y=0.5x，y= 0.5x 的图象合适呢？ 讨论：计算简便，描点方便。 画图：师生分别画图。 结论：画正比例函数的图象时，常选取（0,0） 、 （1,k）两点连线。正比例函数 的图象必过原点。 （3）取两适当点画一次函数的图象： 问题：怎样取合适的两点画一次函数 y=kx+b 的图象呢？ 思考与讨论： 横坐标为 0 点在 上，纵坐标为 0 点在 上。 在 中，当 x=0 时，y= ；当 y=0 时，x= 。ykxb 画一次函数的图象，常选取（0, ） 、 （ ,0）两点连线 课时总数 第 周 星期 第 节 2006 年 月 日第 课时 教学设计教学内容 17.3 一次函数 2一次函数的图象 2 逍遥游 知识点 一次函数的图象是一条直线，k b 对图象的影响 教学目标 1使学生熟练地作出一次函数的图象，会求一次函数与坐标轴的交点坐标； 2会作出实际问题中的一次函数的图象 教学重点 熟练的作出一次函数的图象 教学难点 探索一次函数的作图过程 教学方法 教学用具 坐标纸，刻度尺，多媒体 师生双边教学活动 教学过程 学生 活动 教学 手记 1一次函数的图象是什么形状呢? 2正比例函数 ykx(k0)的图象是经过哪一点的一条直线? 3画一次函数图象时只要取几点? 4在同一直角坐标系中画出下列函数的图象并说出它们有什么关系。y4x y4x2 平面直角坐标系中，x 轴、y 轴上的点的坐标有什么特征？知识回顾 思考回答 探 索 问题 例题 2： 求直线 与 x 轴和 y 轴的交点，并画出这条直线23y 分析 过点（ ，0）和（0， ）所作的1.5 直线就是直线 x 回答画图 归 纳 探索归纳 直线 与 y 轴的交点坐标是（0，b） ，yk 与 x 轴的交点坐标是（ ，0） 说明:1.画出直线后，要在直线旁边写出一次函数解析式。 2在坐标轴上取点有什么好处?k 思考听讲 例题讲解 例 3 画出第一节课中问题（1）中小明距北京的路程 s（千米）与在高速公路上行驶的时间 t（时）之间函数 的图象5709st 学生先独立尝试画图象，会感到不太好画，自发性讨论后， 1这里 s 和 t 取的数悬殊较大，怎么办? 让学生分组讨论，然后发表意见，教师引 导并归纳为：在实际问题中，我们可以在表示时间的 t 轴和表示路程的 s 轴 上分别选取适当的单位长度，画出平面直角坐 标系，如图所示 2作图要取几点? 如何取点最好 ? 3你能画出这个函数图象吗?试试看 让学生动手画出函数 s57095t 的图象， 教师巡视指导，及时纠正学生画图中可能出现的错误画法。 加问 1： 这个函数是否是一次函数？ 自变量 t 的取值范围是什么？ 这个函数的图象是直线吗？如果不是，那应该是什么？ 分析 这是一题与实际生活相关的函数应用题，自变量 t 是小明在高速公路上行驶的时间，所以 0t6，画出的图象是直线的一部分再者，本题中 t 和 s 取值悬殊很 大，故横轴和纵轴所选取的单位长不一致 画图 讨论 回答 听讲 讨论 回答 听讲 加问 2：在实际问题中，一次函数的图象除了直 线和本题的图形外，还有没有其他的情形？你能不能 找出几个例子加以说明 练习 4 作出下列函数的图象： （ ） （x4）2yx4x12y 画图交流听讲 基础巩固 1、P44.1 3、P44. 2 练习 交流 回答 能力提升 巩固练习 2、已知函数 作出它的图象； 标出图象与 x 轴、y 轴的交点坐标； 由图象观察，当 x4 时，函数值 y 的变化范围4yx 2 4、去年夏天，全国大部分地区发生严重干旱市自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准，若某户居民每月应交水费 y（元）是用水量 x（吨）的函数， 当 0x5 时， ；当 时， 0.72yx50.9.yx 画出函数的图象； 观察图象，利用函数 解析式，说明自来水公司采取的收费标准 解 函数的图象如图所示； 自来水公司的收费标准是：当用水量在 5 吨以内时，每吨 0.72 元；当用水量在 5 吨以上时，每吨 0.90 元 提高 1 若直线 与直线 平行，且与 y 轴交点的纵坐标为 ，求直线的表达式ykxbyx2 提高 2 求函数 与 x 轴、y 轴的交点坐标，并求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积32 思考交流回答 听讲 概括总结 1、一次函数直线 与 y 轴的交点坐标是（0，b） ，与 x 轴的交点坐标是（ ，0） yk bk 2、在画实际问题中的一次函数图象时，要考虑自变量的取值范围，画出的图象往往不再是一条直线 回答 听讲 布置作业 3、旅客乘车按规定可以免费携带一定重量的行李如果所带行李超过了规定的重量，就要按超重的千克收取超重行李费已知旅客所付行李费 y（元）可以看成他们携带的行李质量 x（千克） 的一次函数为 画出这个函数的图象，并说明旅客156yx 最多可以免费携带多少千克的行李？ 教后反思 1在坐标轴上取点有什么好处?如何取点? 2在实际问题中，当自变量 x 和因变量 y 取的数较大，应如何选取直角坐标系的单位长 度? 3在实际问题中，一次函数的图象都是直线吗?为什么? 课时总数 第 周 星期 第 节 2006 年 月 日第 课时 教学内容 17.3 一次函数 3一次函数的性质第一课时一次函数的性质(一) 知识点 一次函数的图象是一条直线，k b 对图象的影响 教学目标 1、探索一次函数图象观察、分析等过程，提高学生数形结合意识，培养数形结合的能力 2、能结合图象理解掌握一次函数 ykxb 的性质。 教学重点 理解一次函数（含正比例函数）的性质； 教学难点 在数形上结合进行学习一次函数的性质 教学方法 一、知识导向：本节的探索内容较多，对函数性质的探索，要注意图象的直观作用，关 键在于说学生理解以下两语句的含义及其对应关系：“函数值随自变量的增大而增大（减小） ”、 “函数的图象从左向右上升（下降） ”。对于一次函数 中系数 与 的作用，教学ykxbkb 可通过一些具体函数图象的观察、比较，让学生自我探索。 教学用具 坐标纸，刻度尺，多媒体 师生双边教学活动 教学过程 学 生 活 动 教学 手记 其一、如何画出一个一次函数的图象，需要几个点？ 其二、直线 与直线 有什么关系？32yx35yx 其三、 1画出一次函数 y x1 的图象 y-23x 是否这样? 画出函数 yx2 和 y x1 的图象。 23 32 知识回顾 思 考 回 答 探索归纳 探 索 回 答 画 图 2观察，分析函数 y xl 图象的变化规律 23 师生共同观察分析，当一个点在直线上从左向右移动(自变量 x 从小到大)时,它的位置也在逐渐从低到高变化(函数 y 的值也从小到大) 问题 2 中的函数 yy-23x 是否这样? 这就是说，函数值 y 随自变量 x 增大而_ 在同一直角坐标系中画出函数 y3x2 的图象(如图中的虚线)是否也有这种现象进步引导学生观察、分析得出与上面相同的结论让我们从以上图象分 析他们之间的关系，看看是否存在着相似的地方与不同的地方：第一组的 y x1 的图象 y-2 3x 23 （1）是两条不同的直线，但他们都经过第一、三象限； （2）第一条直线还过第四象限，第二条直线还过第二象限； （3）两条直线都呈现出一种上升的趋势。 由些，我们（猜想）有： 3、画出函数 yx2 和 y x1 的图象。 32 学生动手画出以上一次函数图象，教师指导并纠正学生可能出现的错误画法同时，教师在黑板面出这两个一次函数的图象 4、观察、分析函数 yx2 和 y x1 图象的变化规律 32 问题 l：仿照以上研究方法，研究它们是否也有相应的性质，有什么不同 ?你能否发现什么规律 ? 让学生分组讨论发表意见，教师评析并归纳为：当一个点在直线上从左到右 (自变量 x 从小到大 )时它的位置也在逐渐从高到低变化(函数 y 的值也从大到小) 其规律是函数值随自变量 x 的增大而减小 再联想问题 1 中的函数 y57095t，是否也有这样的规律，发表你的看法 让学生讨论回答，问题 1 中的函数 y57095t 也有与上面得出的同样规律。 归 纳概括 思 考 听 讲 根据以上研究的结果，你能表述一次函数 ykxb 的性质吗? 让学生归纳、概括、表述如下性质: 1当 k0 时,y 随 x 的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升； 2当 k0? 画 图 交 流 听 讲 巩固练习 基础巩固 练 习 交 流 回 P45 页练习 l、2 答 能力提升 2、已知函数 作出它的图象； 标出图象与 x 轴、y 轴的交点坐标； 由图象观察，当 x4 时，函数值 y 的变化范围24yx 2 4、去年夏天，全国大部分地区发生严重干旱市自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准，若某户居民每月应交水费 y（元）是用水量 x（吨）的函数，当 0x5 时， ；当 时， 0.7yx50.9.yx 画出函数的图象； 观察图象，利用函数 解析式，说明自来水公司采取的收费标准 解 函数的图象如图所示； 自来水公司的收费标准是：当用水量在 5 吨以内时，每吨 0.72 元；当用水量在 5 吨以上时，每吨 0.90 元 提高 1 若直线 与直线 平行，且与 y 轴交点的纵坐标为 ，求直线的表达式ykxbyx2 提高 2 求函数 与 x 轴、y 轴的交点坐标，并求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积32 思 考 交 流 回 答 听 讲 概括总结 一次函数ykxb有哪些性质? 回 答 听 讲 布置作业 六、作业 P47 页习题 17.3 8、9(1) 教后反思 注意渗透数形结合思想比如，从“形” 的角度来说：直线 y2x1 经过点(0，1)，而从“ 数” 的角度来说：点(0， 1)的坐标(0，1)满足函数的解析式 y2x1这是从“ 形”与“数” 两个不同角 度叙述的同一内容，是数与形的互相转化，是数形 结 合思想的体现。 有条件的，补讲下面的 一次函数 y=kx+b 有下列性质 (1) 当 k0 时,y 随 x 的增大而增大.这时函数图象从左到右上升. (2) 当 k0 第一、二、三象限 y 随 x 的增大而增大 b=0 第一、三象限 y 随 x 的增大而增大k0 b0 第一、二、四象限 y 随 x 的增大而减小 b=0 第二、四象限 y 随 x 的增大而减小K0 b0 第二、三、四象限 y 随 x 的增大而减小 课时总数 第 周 星期 第 节 2006 年 月 日第 课时 教学内容 17.3 一次函数 3一次函数的性质第一课时一次函数的性质(二) 知识点 1使学生理解待定