浅析导数与积分的相互关系

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 浅析导数与积分的相互关系 【摘要】在恩格斯的自然辩证 法和毛泽东的著作矛盾论里，讲 矛盾的普遍性时，都提到物理学中的 “正电和负电 ”，化学中的 “化合和分解”， 以及数学里的“ 正和负”“微分和积分”等. 从此， “微分和积分是一对矛盾” 便成为 一条被普遍认同的命题.哲学家从各个学 科中援引例证以论证其哲学命题本无可 厚非，然而作为一名数学工作者，如果 不做具体分析，空泛地宣称“微分和积 分是一对矛盾” 则等于什么也没说 .本文 从五个方面分别讲述了导数与积分在这 些方面的不同之处，并做了详细对比， 最后阐明了导数和积分的互逆关系. 中国论文网 /9/view-13002896.htm -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 【关键词】导数；积分；互逆关 系 一、研究对象 先说导数.在讨论导数概念时，我 们把函数区分为均匀变化函数与非均匀 变化函数.所谓均匀变化函数是指在所讨 论范围内是线性函数，它在任何一点处 函数增量与自变量之比为常数（此即 “均匀变化”的意思）.非均匀变化函数是 指在所讨论范围内是非线性函数，其函 数增量与自变量增量之比不尽相同（此 即“非均匀变化 ”的意思） .导数所处理的 问题在于表达和计算这种非均匀变化函 数的局部变化率.例如，汽车变速运动时 候的瞬时速度.总之，导数概念所反应的 是函数的局部性质. 再说积分.在讨论积分概念时，我 们把函数区分为均匀分布函数和非均匀 分布函数.前者指在所讨论范围内恒等于 常数的函数，后者指在所讨论范围内不 恒等于常数的函数.积分所处理的问题在 于表达和计算非均匀分布函数的一种累 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 积效应.例如，物体在力 F 的作用下实 现从 x=a 至 x=b 的位移，假定力的方向 与位移的方向平行.如果力 F 是常力 （均匀分布） ，则力 F 所做的功等于 F（b-a）.如果力 F=F（x）是变力（非 均匀分布） ，则变力所做的功可视为在 一小段一小段位移中力所做功的累积的 结果，即非均匀分布的累积效应.总之， 积分所刻画的是函数的一种整体性质. 二、处理问题的方法 总的思路是利用对均匀情形的已 有认识达到对非均匀情形的认识.但是摆 在我们面前的研究对象是两类非均匀问 题：非均匀变化函数的局部变化率问题 和非均匀分布函数的累积效应问题.他们 的处理方法是不同的. 为了定义非均匀变化函数 f（x） 在一点 x 处的局部变化率，关键的一步 是考察 f（x）从 x 到 x+x 的变化情况. 将 f（x ）在 x 到 x+x 的局部变化率视 为均匀变化函数（即线性函数） ，于是 变化率为 yx，此变化率称为 f（x） -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 在 x 到 x+x 的平均变化率.然后通过极 限最终达到对 f（x）在 x 处的变化率的 认识.积分所要表达的量是非均匀分布函 档睦刍效应.为了认识这个整体性质 的量，在局部视非均匀分布为均匀分布 以求得所求量之局部近似，然后累加、 取极限最终达到对该整体量的认识.两种 方法可作简单的概括：应用于导数称为 局部线性化方法，应用于积分的称为局 部均匀化方法. 三、微分运算与积分运算 导数和积分所处理的这两类问题， 在均匀情形下有着明显的互逆关系：均 匀变化函数（线性函数）的导数是均匀 分布函数（常数） ；均匀分布函数（常 数）的变上限积分是均匀变化函数（线 性函数）. 为了探索在一般情况下导数和积 分的联系，我们研究了整体性质的量的 局部特征，即研究了变上限积分的导数. 假定 f（x）在含有点 a 的某区间 I 上连续，x 属于 I.则有 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 ddxxaf（t）dt=f（x）. 假定 f（x）具有连续的导数 f（x） ，则有 xaf（t）dt=f（x）-f（a ）. 由此可见微分运算与积分运算具 有明显的互逆性. 四、对函数光滑性的影响 先对函数的光滑性作一下说明， 下面是关于函数的一系列刻画：在某个 指定的区间上 f（x）连续；f（x）存在； f（x）连续；f （x）存在； f（x）连 续；延续下去，从左向右，我们称函数 的光滑性越来越高. 前面反复讲过，连续函数 f（x） 的变上限积分是可导的，导数就等于 f（x） .由此可见函数经过积分运算后成 为光滑性更高的函数.简单地说就是积分 运算可提高函数的光滑性，反过来看则 是微分运算可降低函数的光滑性. 五、定义的数学结构 导数与定积分的定义之数学结构 对比如下： -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 导数定积分 “差”的“商” f（x）-f（x0）x-x0 的极限 “积”的“和” ni=1f（i）xi 的极限 先不讲取极限.导数概念涉及的运 算是减法和除法，积分概念涉及的运算 是乘法与加法.导数中的运算次序是先减 后除，积分定义中的运算次序是先乘后 加.二者相比较，所涉及的运算是互逆的， 但次序正好相反. 数学中存在着一个非常普遍的现 象：两种相继进行的运算求逆运算时， 可分别求这两种运算的逆运算，但次序 相反.例如，设 A，B 为阶数相同的满秩 方阵，则（AB）-1=B-1A-1. 回到我们的正题，可以认为在取 极限之前，导数和定积分定义的数学构 造是施加于函数之上的某种意义上的互 逆运算，我们有理由推测，微分运算与 积分运算的互逆