p2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学_整卷(题面+答案)

绝密启封并使用完毕前 试题类型：A 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第卷(选择题 )和第卷(非选择题) 两部分.第卷 1 至 3 页，第卷 3 至 5 页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第卷 一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. （1） 设复数 z 满足 i，则| z|1+ (A)1 (B) (C) (D)223 (2)sin20cos10con 160sin10 (A) (B) (C) (D)32321212 (3)设命题 P： n N， ，则 P 为n (A) n N， (B) n N， 22n (C) n N， (D) n N， n (4)投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投 中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 (A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312 (5)已知 M(x0， y0)是双曲线 C： 上的一点，F 1、F 2 是 C 上的两个焦点，21xy 若 0，则 y0 的取值范围是12F (A)( ， ) (B)( ， )336 (C)( ， ) (D)( ， )22 (6)九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题: “今有委米依垣 内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为: “在屋内墙角处堆放米(如图， 米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积 和堆放的米各为多少? ”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放 斛的米约有 (A)14 斛 (B)22 斛 (C)36 斛 (D)66 斛 (7)设 D 为 ABC 所在平面内一点 ，则3 (A) (B) 143BAC 143AC (C) (D) (8)函数 f(x) 的部分图像如图所示，则 f(x)的单调递减区间为 (A)( )，k (b)( )，k (C)( )，k (D)( )，k (9)执行右面的程序框图，如果输入的 t0.01，则输出的 n (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 （10 ） 的展开式中， 的系数为25()xy52xy (A)10 (B)20 (C)30 (D)60 （11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体， （12）该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的 （13）表面积为 16 20 ，则 r (A)1 (B)2 (C)4 (D)8 12.设函数 f(x)e x(2x1)ax a，其中 a 1，若存在唯一的 整数 x0，使得 f(x0) 0，则 a 的取值范围是( ) A. ，1) B. ) C. ) D. ，1)32e3,24e3,24e32e 2 r r 正视图正视图 俯视图 r 2 r 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作 答.第(22)题第(24)题未选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分 (13)若函数 f(x)xln (x )为偶函数，则 a 2a (14)一个圆经过椭圆 的三个顶点，且圆心在 x 轴上，则该圆的标准方程为 . (15)若 x，y 满足约束条件 ，则 的最大值为 . 104xyyx (16)在平面四边形 ABCD 中，ABC75 ，BC2，则 AB 的取值范围是 . 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分) Sn为数列a n的前 n 项和.已知 an0， ()求a n的通项公式： ()设 ，求数列 的前 n 项和 (18)如图，四边形 ABCD 为菱形，ABC120 ， E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点， BE平面 ABCD， DF平面 ABCD，BE 2DF，AEEC. (1)证明：平面 AEC平面 AFC (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值 (19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x(单位：千元)对 A B C F E D 年销售量 y(单位： t)和年利润 z(单位：千元)的影响，对近 8 年的年宣传费 xi和年销售 量 yi(i1，2 ，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw (xi )2 8i=1 (wi )2 8i=1(xi )(yi8i=1 ) (wi )8i=1 (yi ) 46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中 wi ， ， ix8i=1i ()根据散点图判断，yabx 与 ycd 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回x 归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由 ) ()根据()的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； ()以知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z0.2yx .根据()的结果回答下列问 题： （i） 年宣传费 x49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii） 年宣传费 x 为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据(u 1 v1)，(u 2 v2) (un vn)，其回归线 v u 的斜率 和截距的最小二乘估计分别为： AA12(),niiiiivuu 年宣传费(千元) 年 销 售 量 /t (20)(本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xoy 中，曲线 C：y 与直线 l:ykxa(a0)交于 M，N 两点， 24x ()当 k0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程； ()y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有OPMOPN？说明理由. (21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x) 31,()ln4agx ()当 a 为何值时，x 轴为曲线 的切线；()yf ()用 表示 m，n 中的最小值，设函数 ，讨in, ()min(),(0)hxfxg 论 h(x)零点的个数 请考生在(22) 、(23) 、(24)三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则 按所做第一个题目计分，做答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 . (22)(本题满分 10 分)选修 41：几何证明选讲 如图，AB 是O 的直径， AC 是O 的切线，BC 交O 于点 E C D A E BO （I） 若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是O 的切线； （II） 若 OA CE，求 ACB 的大小. 3 (23)(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中.直线 :x2，圆 ：(x1) 2(y2) 21，以坐标原点为极点， 1C2 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （I） 求 ， 的极坐标方程；12 （II） 若直线 的极坐标方程为 ，设 与 的交点为 ， ，求3C4R2C3MN C2MN 的面积 (24)(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲 已知函数 |x1|2| xa|，a0. ()当 a1 时，求不等式 f(x)1 的解集； ()若 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题答案 A 卷选择题答案 一、 选择题 （1）A （2）D （3）C （4）A （5）A （6）B （7）A （8）D （9）C （10）C （11）B （12）D A、B 卷非选择题答案 二、填空题 （13）1 （14） 235()4xy （15）3 （16） 二、 解答题 （17）解： （I）由 ，可知243nnaS21143.nnaS 可得 即11()211()()()nnnn 由于 可得0a1.a 又 ，解得214311()3a舍 去 ， 所以 是首相为 3，公差为 2 的等差数列，通项公式为n 21.na （II）由 a11().(2)323nbnn 设数列 的前 n 项和为 ，则T12nTb 111()()()()235723.()nn （18）解： （I）连结 BD，设 BD AC=G，连结 EG，FG，EF. 在菱形 ABCD 中不妨设 GB=1.由 ABC=120， 可得 AG=GC= .由 BE 平面 ABCD, AB=BC 可知 AE=EC.3 又 AE EC，所以 EG= ，且 EG AC.在 Rt EBG 中， 可得 BE= 故 DF= .在 Rt FDG 中，可得 FG= .262 在直角梯形 BDFE 中，由 BD=2，BE= ，DF= ，2 可得 FE= .从而3222,EGFEGF所 以 又 因为, .ACFAC可 得 平 面 AC平 面 所以平面 平 面 （III ） 如图，以 G 为坐标原点，分别以 GB，GC 的方向为 x 轴，y 轴正方向， 为单位长，建立空间直角坐标系 G-xyz. B 由（I）可得 所以2(03,)(10),(),(03,)AEFC， ， ， ， ， ， 故2(132),(13,).AECF， ， 3cos, .AECF 所以直线 AE 与直线 CF 所成直角的余弦值为 .3 （19）解： （I）由散点图可以判断， 适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型。 ycdx 2 分 （II）令 ，先建立 y 关于 w 的线性回归方程。由于wx 12 ()108. 6niiiiid 。563cyw 所以 y 关于 w 的线性回归方程为 ，因此 y 关于 x 的回归方程为 。 1068yw10.68yx 6 分 （III ） （ i）由（II ）知，当 x=49 时，年销售量 y 的预报值10.6849576.y 年利润 z 的预报值 。 9 分57.2.3 （ii）根据（II ）的结果知，年利润 z 的预报值0.(168)1.620.zxx 所以当 ，即 x=46.24 时， 取得最大值3.2xz 故年宣传费为 46.24 千元时，年利润的预报值最大。 12 分 （20）解： （I）有题设可得 又(2,)(,)MaNaM或 （ -2,a） .2=y4xxa， 故 在 处的导数值为 ，C 在点 出的切线方程为, (),0ya即 ，即 . 24xya在 0xya 股所求切线方程为 xy和 （III ） 存在符合题意的点，证明如下： 设 P(0，b)为符合题意的点，M(x,y),N(x,y)直线 PM，PN 的斜率分别为 12,k240.ykxaCxka代 入 的 方 程 得 故 12124,.a 从而 2.kxkx代 入 的 方 程 得1212,.故 1212b()ykxxa从 而 ()kba 当 b=-a 时，有120, =kPM 则 直 线 的 倾 角 与 直 线 N的 倾 角 互 补 ， 故 OPMN， 所 以 点 P(0,-a)符 合 题 意 （21）解： （I）设曲线 y=f(x)与 x 轴相切于点 000320(,)(,()143,xffxa则 即解 得 x 因此，当 3xy()4af时 ， 轴 为 曲 线 的 切 线 （II）当 x(1,)()10,(),()0,h()1,)gxnfxgx时 ， 从 而 h=mi 故 在 无 零 点 55x1(1)0,(1)min(),1()0,x44afahfg当 时 ， 若 则 故 是 的零点(), (),(),1(h ffh 的 零 点 ； 若 则 f()=i 故 不 是x0,1g10.xn当 时 ， 所 以 只 需 考 虑 在 （ ,） 的 零 点 个 数2iaf（ ） 若 -3或 则 （ ） 3+a在 （ ） 无 零 点 ， 故 f(x)在 （ 0,） 单 调5f(0),(1),f af4f 所 以 当 -时 ， (x)在 （ 0,1） 有 一 个 零 点 ； 当 时 (x)在 （ 1,0） 没 有 零 点aa()3,f()0),33iax若 则 在 （ ， 单 调 递 减 ， 在 （ ） 单 调 递 增 ， 故 在 （ ） 中3 21()f()4axf 当 时 ， 取 得 最 小 值 ， 最 小 值 为3()0.0,()4faf,1353()0,(0),(1)3444f fxf ffa 若 即 在 （ ,1） 无 零 点 ； 若 =,即 -则 在 有 唯 一 零 点 若 即 由 于 5() f()0,.fx x时 ， 在 （ ,1） 有 两 个 零 点 ； 当 -a时 ， 在 有 一 个 零 点 综上，当 3535a-()ah()4 4hx x或 时 ， 有 一 个 零 点 ； 当 或 时 ， 有 两 个 零 点().当 时 ， 有 三 个 零 点 （22）解： （I）链接 AE，由已知得， AEBCA 在 中，由已知得，DE