2017年湖南省郴州市高考数学二模试卷（理科）含答案解析

2017 年湖南省郴州市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知 x， y R， i 是虚数单位若 x+ 互为共轭复数，则 x+y=（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 2已知 均为单位向量，且 ，则向量 的夹角为（ ） A B C D 3已知 ， ，则 =（ ） A B C D 4我国古代数学名著数书九章中有 “天池盆测雨 ”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接 雨水天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（ ） （注： 平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积； 一尺等于十寸； 台体的体积公式 V= ） A 2 寸 B 3 寸 C 4 寸 D 5 寸 5考拉兹猜想又名 3n+1 猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘 3 再加 1；如果它是偶数，则对它除以 2如此循环，最终都能得到 1阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果 i=（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 6已知某三棱锥的三视图如图所示，正 视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该三棱锥中最长的棱长为（ ） A B C D 2 7已知函数 f（ x）是奇函数，当 x 0 时， f（ x） =x 0 且 a 1），且 f（ ）= 3，则 a 的值为（ ） A B 3 C 9 D 8设关于 x， y 的不等式组 表示的平面区域内存在点 P（ x0，满足 2，求得 m 的取值范围是（ ） A B C D 9将边长为 的正方形 对角线 成一个直二面角 B D则四面体 内切球的半径为（ ） A 1 B C D 10已知 F 为双曲线 =1（ a 0， b 0）的右焦点，定点 A 为双曲线虚轴的一个顶点，过 F， A 的直线与双曲线的一条渐近线在 y 轴左侧的交点为 B，若=（ 1） ，则此双曲线的离心率是（ ） A B C 2 D 11在 ， 别是边 中点， 别是线段 1B 的中点， ， 别是线段 的中点，设数列 足：向量 ，有下列四个命题，其中假命题是（ ） A数列 单调递增数列，数列 单调递减数列 B数列 an+等比数列 C数列 有最小值，无最大值 D若 ， C=90， B，则 最小时， 12若方程 |2x 1| t=0 有四个不同的实数根 x2 2（ +（ 取值范围是（ ） A（ 8， 6 ） B（ 6 ， 4 ） C 8， 4 D（ 8， 4 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13若命题 p： “ ”是假命题，则实数 a 的取值范围是 14两所学 校分别有 2 名， 3 名学生获奖，这 5 名学生要排成一排合影，则存在同校学生排在一起的概率为 15过点 的直线 l 与圆 C：（ x 1） 2+ 交于 A、 B 两点， C 为圆心，当 小时，直线 l 的方程为 16已知函数 f（ x） =2|出下列四个命题： 函数 f（ x）的图象关于直线 对称； 函数 f（ x）在区间 上单调递增； 函数 f（ x）的最小正周期为 ； 函数 f（ x）的值域为 2， 2 其中真命题的序号是 （将你认为真命题的序号都填上） 三、解答题（本大题 共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17已知等差数列 满足： n N*）， ，该数列的前三项分别加上 1， 1， 3 后成等比数列， 1 （ ）分别求数列 通项公式； （ ）求数列 an前 n 项和 18在 ， a， b， c 分别是角 A， B， C 的对边，且 21） =1 （ ）求 B 的大小； （ ）若 ， ，求 面积 19如图，菱形 ， 0， 交于点 O， 平面 F ， （ 1）求证： 平面 （ 2）当直线 平面 成角的大小为 45时，求 长度 20某水泥厂销售工作人员根据以往该厂的销售情况，绘制了该厂日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立 （ 1）求未来 3 天内，连续 2 天日销售量不低于 8 吨，另一天日销售量低于 8 吨的概率； （ 2）用 X 表示未来 3 天内日销售量不低于 8 吨的天数，求随机变量 X 的分布列及数学期望 21已知椭圆 的离心率为 ，且过点 若点 M（ x0，椭圆 C 上，则点 称为点 M 的一个 “椭点 ” （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）若直线 l： y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A， B 两点，且 A， B 两点的 “椭点 ”分别为 P， Q，以 直径的圆经过坐标原点，试求 面积 22已知函数 f（ x） =g（ x） = x2+3 （ 1）求函数 f（ x）在 t， t+2（ t 0）上的最小值； （ 2）对一切 x （ 0， + ）， 2f（ x） g（ x）恒成立，求实数 a 的取值范围 （ 3）探讨函数 F（ x） =+ 是否存在零点？若存在，求出函数 F（ x）的零点，若不存在，请说明理由 2017 年湖南省郴州市高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知 x， y R， i 是虚数单位若 x+ 互为共轭复数，则 x+y=（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 由复数的乘除运算化简 ，由共轭复数的定义求出 x、 y，可得 x+ 【解答】 解：由题意得， = = =2 i， 因为 x+ 互为共轭复数， 所以 x=2、 y=1，则 x+y=3， 故选 D 2已知 均为单位向量，且 ，则向量 的夹角为（ ） A B C D 【考点】 平面向量数量积的运算 【 分 析 】 设 向 量 的夹角为 ， 根 据 向 量 的 数 量 积 公 式 以 及，即可求出 【解答】 解：设向量 的夹角为 ， 均为单位向量， | |=| |=1， = ， 2| |2 2|2 3 = 3 ， ， 0 ， = ， 故选： A 3已 知 ， ，则 =（ ） A B C D 【考点】 三角函数的化简求值 【分析】 根据诱导公式，则 =即可得答案 【解答】 解：由题意，利用诱导公式，可得 = ， 则 =） = 故选 B 4我国古代数学名著数书九章中有 “天池盆测雨 ”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（ ） （注： 平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积； 一尺等于十寸 ； 台体的体积公式 V= ） A 2 寸 B 3 寸 C 4 寸 D 5 寸 【考点】 旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【分析】 由题意求得盆中水的上地面半径，代入圆台体积公式求得水的体积，除以盆口面积得答案 【解答】 解：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为 14 寸，下底面半径为 6寸，高为 18 寸 积水深 9 寸， 水面半径为 （ 14+6） =10 寸， 则盆中水的体积为 9（ 62+102+6 10） =588（立方寸） 平地降雨量等于 =3（寸） 故选： B 5考拉兹猜想又名 3n+1 猜想，是指对于每一个正 整数，如果它是奇数，则对它乘 3 再加 1；如果它是偶数，则对它除以 2如此循环，最终都能得到 1阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果 i=（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用条件结构和循环结构的嵌套计算并输出 i 值，模拟程序的运行过程可得答案 【解答】 解：当 a=4 时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于 a 值不满足“，故 a=5， i=2； 当 a=5 时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于 a 值满足 “a 是奇数 ”，故a=16， i=3； 当 a=16 时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于 a 值不满足 “，故 a=8， i=4； 当 a=8 时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于 a 值不满足 “a 是奇数 ”，故 a=4， i=5； 当 a=4 时，满足退出循环的条件，故输出结果为： 5 故选 B 6已知某三棱锥的三视图如图所示，正视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该三棱锥中最长的棱长为（ ） A B C D 2 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知：该几何体为三棱锥， P 中侧面 底面面 直角三角形， ， ，在平面 ，过点 P 作 足为 O，则 底面 ， 则该三棱锥中最长的棱长为 【解答】 解：由三视图可知：该几何体为三棱锥， P 其中侧面 底面 面 直角三角形， ， ，在平面 ， 过点 P 作 足为 O，则 底面 ， 则该三棱锥中最长的棱长为 = = =2 故选： A 7已知函数 f（ x）是奇 函数，当 x 0 时， f（ x） =x 0 且 a 1），且 f（ ）= 3，则 a 的值为（ ） A B 3 C 9 D 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 根据对数的定义，得到 = 2，结合奇函数 f（ x）满足 ，化简整理可得 f（ 2） =3再利用当 x 0 时，函数的表达式，代入得 ，解之得 a= （舍负） 【解答】 解： 奇函数 f（ x）满足 ， = 2 0， f（ 2） =3 又 当 x 0 时， f（ x） =x 0 且 a 1）， 2 0 f（ 2） =，解之得 a= （舍负） 故选 A 8设关 于 x， y 的不等式组 表示的平面区域内存在点 P（ x0，满足 2，求得 m 的取值范围是（ ） A B C D 【考点】 简单线性规划 【分析】 先根据约束条件 画出可行域要使可行域存在，必有m 2m+1，要求可行域包含直线 y= x 1 上的点，只要边界点（ m， 1 2m）在直线 y= x 1 的上方，且（ m， m）在直线 y= x 1 的下方，从而建立关于 m 的不等式组，解之可得答案 【解答】 解：先根据约束条件 画出可行域， 要使可行域存在，必有 m 2m+1，要求可行域包含直线 y= x 1 上的点，只要边界点（ m， 1 2m） 在直线 y= x 1 的上方，且（ m， m）在直线 y= x 1 的下方， 故得不等式组 ， 解之得： m 故选 C 9将边长为 的正方形 对角线 成一个直二面角 B D则四面体 内切球的半径为（ ） A 1 B C D 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 先求出 求出四面体 表面积 S=S 四面体 内切球的半径 r= ，能求出结果 【解答】 解： 边长为 的正方形 对角线 成一个直二面角 BD， =1， ， 取 点 O，连结 O= =1， 且 平面 = ， = ， C=C= ， = ， =1， 四面体 表面积 S=S 2+ ， 四面体 内切球的半径 r= = =2 故选： D 10已知 F 为双曲线 =1（ a 0， b 0）的右焦点，定点 A 为双曲线虚轴的一个顶点， 过 F， A 的直线与双曲线的一条渐近线在 y 轴左侧的交点为 B，若=（ 1） ，则此双曲线的离心率是（ ） A B C 2 D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设 F（ c， 0）， A（ 0， b），渐近线方程为 y= x，求出 方程与 y= （ ， ），利用 =（ 1） ，可得 a， c 的关系，即可求出双曲线的离心率 【解答】 解：设 F（ c， 0）， A（ 0， b），渐近线方程为 y= x，则 直线 方程为 =1，与 y= x 联立可得 B（ ， ）， =（ 1） ， （ c， b） =（ 1）（ ， +b）， c=（ 1） ， e= = ， 故选： A 11在 ， 别是边 中点， 别是线段 1B 的中点， ， 别是线段 的中点，设数列 足：向量 ，有下列四个命题，其中假命题是（ ） A数列 单调递增数列，数列 单调递减数列 B数列 an+等比数列 C数列 有最小值，无最大值 D若 ， C=90， B，则 最小时， 【考点】 数列递推式 【分析】 由题意可 得 =（ 1 ） =（ 1 ）（ ）， = ，可得 = + ，由条件可得 ， 1，由单调性可判断 A；由等比数列的定义可判断 B；由数列的单调性即可判断 C；运用向量数量积的性质，化简结合二次函数的最值，即可判断 D 【解答】 解：由在 ， 别是边 中点， 别是线段 中点， ， 别是线段 的中点， 可得 =（ 1 ） ， =（ 1 ） ， ， 即有 =（ 1 ） =（ 1 ）（ ）， = ， = ， ， 即有 = ， 则 = + =（ 1 ）（ ） + （ 1 ） +（ 1） = 可得 ， 1， 则数列 单调递增数列，数列 单调递减数列，故 A 正确； 数列 an+为 是首项和公比均为 的等比数列，故 B 正确； 而当 n=1 时， ， ， 不存在； n 1 时， = = 1+ 在 n N+递增，无最小值和最大值，故 C 错误； 若 ， C=90， B，则 2=（ 2+2 =（ 2， 1 ） 2+（ 1） 2=5（ ） 2n 6（ ） n+2 =5（ ） 2 ，当 n=1 时，取得最小值，即有则 最小时， 故D 正确 故选： C 12若方程 |2x 1| t=0 有四个不同的实数根 x2 2（ +（ 取值范围是（ ） A（ 8， 6 ） B（ 6 ， 4 ） C 8， 4 D（ 8， 4 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 先作函数 y=|2x 1|的图象，结合图象可得 0 t 2，再由 韦达定理可得 = ， ，再令 f（ t） =2 + ，令 f（ t） = =0 得 t= ，从而由函数的单调性确定 2（ +（ 取值范围 【解答】 解：由题意， 作函数 y=|2x 1|的图象如下， 由图象知， 0 t 2， |2x 1| t=0， |2x 1|=t， 故 2x 1 t=0 或 2x 1+t=0， 则 = ， ， 故 2（ +（ =2 + ， 令 f（ t） =2 + ， 令 f（ t） = =0 得 ， t= ， 故 f（ t）在（ 0， ）上是增函数，在（ ， 2）上是减函数； 而 f（ ） =4 ， f（ 0） =6 ， f（ 2） =8； 故 2（ +（ 取值范围是（ 8， 4 ， 故选： D 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13若命题 p： “ ”是假命题，则实数 a 的取值范围是 1， 2 【考点】 特称命题 【分析】 由条件可通过命题的否定为真命题，从而转化为二次不等式恒成立问题，即可求出实数 a 的取值范围 【解答】 解：若命题 p： “ ”是假命题， 则命题 “ x R， 2x 2 3a”是真命题， 即 3a+2 0 恒成立， 1 a 2， 故实数 a 的取值范围是 1， 2， 故答案为 1， 2 14两所学校分别有 2 名， 3 名学生获奖，这 5 名学生要排成一排合影，则存在同校学生排在一起的概率为 【考点】 古典概型及其概率计算公式 【分析】 利用对立事件概率计算公式能求出结果 【解答】 解：由已知得存在同校学生排在一起的概率为： P=1 = 故答案为： 15过点 的直线 l 与圆 C：（ x 1） 2+ 交于 A、 B 两点， C 为圆心，当 小时，直线 l 的方程为 2x 4y+3=0 【考点】 直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程 【分析】 研究知点 在圆内，过它的直线与圆交于两点 A， B，当 线 l 与 直，故先求直线 斜率，再根据充要条件求出直线l 的斜率，由点斜式写出其方程 【解答】 解：验证知点 在圆内， 当 小时，直线 l 与 直， 由圆的方程，圆心 C（ 1， 0） = 2， l： y 1= （ x ），整理得 2x 4y+3=0 故应填 2x 4y+3=0 16已知函数 f（ x） =2|出下列四个命题： 函数 f（ x）的图象关于直线 对称； 函数 f（ x）在区间 上单调递增； 函数 f（ x）的最小正周期为 ； 函数 f（ x）的值域为 2， 2 其中真命题的序号是 （将你认为真命题的序号都填上） 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 利用三角函数的周期性、单调性、值域以及它的图象的对称性，判断各个选项是否正确，从而得出结论 【解答】 解：对于函数 f（ x） =2|于 f（ ） = 2， f（ ）=0， f（ ） f（ ）， 故 f（ x）的 图象不关于直线 对称，故排除 在区间 上， 2x ， ， f（ x） =2|调递增，故 正确 函数 f（ ） = ， f（ ） =0， f（ ） f（ ），故函数 f（ x）的最小正周期不是 ，故 错误 当 0 时， f（ x） =2|它的最大值为 2，最小值为 2； 当 0 时， f（ x） =2| 2， 综合可得，函数 f（ x）的最大值为 2，最小值为 2，故 正确， 故答案为： 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17已知等差数列 满足： n N*）， ，该数列的前三项分别加上 1， 1， 3 后成等比数列， 1 （ ）分别求数列 通项公式； （ ）求数列 an前 n 项和 【考点】 数列的求和 【分析】 （ ）设 d、为等差数列 公差，且 d 0，利用数列的前三项分别加上 1， 1， 3 后成等比数 列，求出 d，然后求解 （ ）写出 利用错位相减法求和即可 【解答】 （本小题满分 12 分） 解：（ ）设 d、为等差数列 公差，且 d 0 由 ， +d， +2d，分别加上 1， 1， 3 成等比数列， 得（ 2+d） 2=2（ 4+2d）， d 0，所以 d=2，所以 +（ n 1） 2=2n 1， 又因为 1 2 所以 n 即 （ ） ， ， ，得 18在 ， a， b， c 分别是角 A， B， C 的对边，且 21） =1 （ ）求 B 的大小； （ ）若 ， ，求 面积 【考点】 余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理 【分析】 （ ）已知等式括号中利用同角三角函数间基本关系切化弦，去括号后利用两角和与差的余弦函数公式化简，再由诱导公式变形求出 值，即可确定出 B 的大小； （ ）由 b 的值，利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将 a+b 以及 b 的值代入求出 值，再由 值，利用三角形面积公式即可求出三角形 积 【解答】 解：（ ） 由 21） =1 得： 2 1） =1， 2（ =1，即 A+C） = ， A+C） = ， 又 0 B ， B= ； （ ）由余弦定理得： = ， = ， 又 a+c= ， b= ， 23= ， S = 19如图，菱形 ， 0， 交于点 O， 平面 F ， （ 1）求证： 平面 （ 2）当直线 平面 成角的大小为 45时，求 长度 【考点】 直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）由 平面 出 菱形性质得 而平面 （ 2）以 O 为原点建立坐标系，设 CF=a，求出 和平面 法向量，利用直线 平面 成角的大小为 45，可得 ，即可求出 a 的值 【解答】 （ 1）证明： 四边形 菱形， 平面 平面 又 平面 平面 ， 平面 （ 2）解：以 O 为原点，以 在直线分别为 x 轴， y 轴，以过点 O 且平行于 直线为 z 轴建立空间直角坐标系 则 设 AE=a，则 E（ 1， 0， a）， ， 设平面 法向量为 ，则 即 令 z=1，得 ， ， 直线 平面 成角的大小为 45， ， 解得 a=2 或 （舍）， |2 20某水泥厂销售工作人员根据以往该厂的销售情况，绘制了该厂日销售 量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立 （ 1）求未来 3 天内，连续 2 天日销售量不低于 8 吨，另一天日销售量低于 8 吨的概率； （ 2）用 X 表示未来 3 天内日销售量不低于 8 吨的天数，求随机变量 X 的分布列及数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ ）由频率分布直方图求出日销售量不低于 8 吨的频率为 未来3 天内，第 i 天日销售量不低于 8 吨为事件 i=1， 2， 3），未来 3 天内，连续2 天日销售不低于 8 吨，另一天日销量低于 8 吨包含两个互斥事件 和，由此能求出未来 3 天内，连续 2 天日销售量不低于 8 吨，另一天日销售量低于 8 吨的概率 （ ） X 的可能取值为 0， 1， 2， 3，且 X B（ 3， 由此能求出 X 的分布列和 E（ X） 【解答】 解：（ ）由频率分布直方图可知， 日销售量不低于 8 吨的频率为： 2 （ = 记未来 3 天内，第 i 天日销售量不低于 8 吨为事件 i=1， 2， 3）， 则 P（ = 未来 3 天内，连续 2 天日销售不低于 8 吨， 另一天日销量低于 8 吨包含两个互斥事件 和 ， 则未来 3 天内，连续 2 天日销售量不低于 8 吨，另一天日销售量低于 8 吨的概率： =（ 1 +（ 1 （ ） X 的可能取值为 0， 1， 2， 3，且 X B（ 3， P（ X=0） =（ 1 3= ， ， P（ X=3） = X 的分布列为： X 0 1 2 3 P E（ X） =3 21已知椭圆 的离心率为 ，且过点 若点 M（ x0，椭圆 C 上，则点 称为点 M 的一个 “椭点 ” （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）若直线 l： y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A， B 两点，且 A， B 两点的 “椭点 ”分别为 P， Q，以 直径的圆经过坐标原点，试求 面积 【考点】 直线与椭圆的位置关系 【分析】 （ 1）由椭圆的离心率公式，利用待定系数法及 a， b， c 的关系，即可取得 a 与 b 的值，求得椭圆方程； （ 2）以 直径的圆经过坐标原点，得 ，将直线 l 的方程代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式及点到直线的距离公式，将 24 代入即可求得 面积 【解答】 解：（ 1）由椭圆的离心率 ，得 a=2c， 又 a2=b2+ ， 椭圆 ， 由 在 C 上，则 ，得 c=1， ， 椭圆 C 的方程为： ； （ 2）设 A（ B（ 则 P（ ， ）， Q（ ， ）， 由以 直径的圆经过坐标原点，得 ， 即 （ 1） 由 ，消除 y 整理得：（ 3+4（ 3） =0， 由 =6416（ 3+4 3） 0，得 3+40， 而 （ 2） （ 3） 将（ 2）（ 3）代入（ 1）得： ， 即 24， 又 ， 原点 O 到直线 l： y=kx+m 的距离 ， ， 把 24 代入上式得 ，即 S 面积是为 22已知函数 f（ x） =g（ x） = x2+3 （ 1）求函数 f（ x）在 t， t+2（ t 0）上的最小值； （ 2）对一切 x （ 0， + ）