1变式教学与高三数学复习

变式教学与高三数学复习 洪秀满 【原文出处】中学数学（江苏）， 1995.10.（1012） 【作者简介】 洪秀满，浙江省仙居中学（ 317000） 我们知道，在高三数学复习课中，例题教学是一个重要环节，要使学生在解题中，广 开思路，掌握规律，还要培养学生的多维性思维、分析问题和解决问题的能力，若仅仅满 足一题一得往往是不够的。因此，能否充分发挥例题教学的作用，将直接影响复习课的效 果。 如何充分发挥例题教学的作用呢？笔者在长期的教学实践中体会到，运用变式教学是 普遍有效而易行的重要途径。所谓变式，就是不断变更概念中的非本质特征，变换问题中 的条件或结论，转换问题的形式或内容，配置实际应用的各种环境，而概念或问题的本质 不变。简言之，就是在变化中求不变，万变不离其宗，使得学生从中获得再认识，并提高 识别、应变、概括等能力，培养学生的思维品质。下面谈谈如何运用变式进行高三复习课 中的例题教学。 一、运用“一题多解” ，培养思维的发散性 一题多解的实质是解题或证明公式、定理的变式。因为它们是以不同的论正方式反映 条件和结论间的同一必然的本质联系。运用这种变式教学，可以引导学生对同一来源材料 可从不同的角度、不同的方位思考问题，探求不同的解答方案。课本中有许多题目，由于 当时所学知识和教学进度的局限性，不可能都用多种方法去研讨其解法。因此，在高三复 习时，回过头来做这些题目，往往有多种做法，有的甚至比以前解法来得更加简捷明快。 凡课本的例、习题能做到一题多解的尽量给学生以尝试的机会 。 例如解几P111 第 8 题：过抛物线 的焦点的一条直线和这抛物线相交，pxy2 两交点的纵坐标分别为 、 ，求证： 。1y21 分析：设过抛物线 的焦点 的直线 与抛物线交于两点 、px)0,(Fl ),(1yxA ，下面引导学生从不同角度进行证明：),(2yxB 思路一： （）当 与 轴不垂直，设 的方程为： ，代入 ，lxl )2(pxkypxy2 消去 得： ，即有： ；x022kpyk 21py （）若 轴时，显然有 ， ， xl12 21y 思路二： （）若 与 轴不垂直，由 、 、 三点共线，即可推得：lxAFB 21py （）若 轴（同法一）xl 思路三：如图，自 分别作准线 的垂线 ， 分别是垂足；由抛物BA,mBA, 线定义可知： ，将 、|F| 、 的坐标代入，并化简整理得： BF21py 思路四： 设 、 ， 分 的比为),2(1ypA),(2BAB ，则 ，消去 得： 0121yp21py 思路五： 如图 4，由抛物线定义 ， 故有 ，|AF |B12 ，又 ， ，而 ， ，则43BA/652536 ，即 在 中，有22FBRt ,2| N 即 ，而 与 必异号， 21|py1y2 21py 由于教学进度的局限性，此题当时只能用上述这五种方法 解之，其中有几种方法还需要讨论直线 与 轴的关系，而学生lx 却往往忽视这一点。如果复习阶段再回过头来解答此题，学生 自然会运用直线的参数方程、极坐标等知识解之。 思路六： 设过焦点 的直线 参数方程为 （ 为参数） ，)0,2(pFlsinco2typxt 代入： ，化简得： 。xy2 0cossin2ptt 设此方程的两个根为 、 ，则有 ，再由方程可知： ，1t2221int sin1ty ； 。sin2ty2121sin)(ty2siip2p 思路七：以 为极点， 为极轴，建立极坐标系，则抛物线 的极坐标方FXpxy2 程为 。cos1p 设弦的一个端点坐标为 ，则另一个端点的坐标为 ；),(1),(2 。sinco1ssinsi(2121 py 2p 这样一来，既复习了直线参数方程、极坐标等知识，同时，又能提高学生的解题能力， 促进知识间的联系。 二、运用“一题多变” ，培养思维的灵活性 一题多变是题目结构的变式，指变换题目条件或结论，变换题目的形式，而题目的实 质不变，以便从不同的角度、不同的方位指向题目的实质。用这种方式进行教学，能使学 生随时根据变化了的情况积极思考，迅速想出解决的办法，从而防止和消除呆板和僵化， 培养思维的灵活性。 例如在解几中复习最值，教学时可选用课本 P126 第 22 题作为原命题，加以变换、 拓广。 原题：求抛物线 上到直线 的距离最小的点的坐标，并求出这个距2yx24yx 离 复习时，在引导学生作出多种解答的基础上，常可作如下的分析、变换： 变换一：若将原题中的抛物线方程“ ”换为其它二次曲线，就得到如下一类问2yx 题：求二次曲线上的动点到定直线的距离的最值 譬如：已知直线 ： ，点 在椭圆 上运动，求l032xB4)(2y 点到 的距离 的最大值，并求此时的 点坐标。Bld 再如：如果将原题中的抛物线方程“ ”换为“ ”，就得到 87 年的全国2yx2x 高考数学理科试题二（5） 。 变换二：若将“变换一”中定直线换为定圆（包括点圆） ，可得另一类最值问题：求 分别在二次曲线和定圆（包括点圆） ，上两点间的距离的最值 例如：点 在椭圆 上移动，点 在以点 为圆心， 为半径的P1625yxQ)0,1(M324 圆上移动，当点 位于 ，点 位于 时， 、 两点距离最近，记最近距离为 ，求Pd 及点 、 的坐标。 （92 年浙江省高中证书会考试题）dQ 变换三：若将“变换二”中的条件与结论对调，又可得如下一类问题：设 点在直 线或圆（包括点圆）上运动， （待定）在一个含有某未知因素的二次曲线上运动，且已N 知 的最大值或最小值，求 点的坐标及此二次曲线的方程|MN 例如，设椭圆中心是坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率 ，已知点 ） ，到23e23,0(P 这个椭圆上的点的最远距离是 ，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点 的距离等于7 的点的坐标 （90 年全国高考数学试题（文、理） ）7 象这样将题目演变、拓广，使题目由一道题变成一类题，再由一类题变成多类题，这 无疑能提高学生举一反三，触类旁通的能力。使之达到熟一类、通一类，甚至通几类。 三、运用“一式变用” ，培养思维的深刻性 一式变用是指对一个公式的变式应用。数学中时常会遇到一些重要公式，而对它们的 推导以及引导学生进行应用，这些工作教学时都会做到。但如何变换公式的形式或结论， 挖掘潜在的意义进行应用，这就未必都能做到。因此，在高三复习时，教师要有意识地引 导学生对一些重要公式进行变用，挖掘潜在的几何意义，使之不迷恋于表面现象，而是透 表求里，从而培养思维的深刻性。 例如：在解几中， 表示点20|bacyx 到直线 ： 的距离公式。高三复),(0yxMl 习时，笔者常作以下三种变用，使对 于求解一类不等式和变量取值范围，常能收到形象直观、 驭繁为简的效果。 变用一： （）20|bacyx20yx 其几何意义：是过原点的直线 外的任一点到该直线l 的距离不大于这点到原点的距离。如图 将关系式（）两边平方，即得柯西不等式： )()( 20220yxbabyax 这是一道应用广泛且重要的著名不等式柯西不等式。 例 1设 、 是两个实数， ，abnnyxA,|),( B,|),(mxy ， ，是平面 内的点的集合，讨论是532 14|),(2yxCxoy 否存在 和 ，使得（1） ；（2 同时成立？（85 年高考数学试题）abBACba),( 解：如果存在实数 和 使得（1）和（2）同时成立，则方程 应ab bax1532 有整数解。 考察点 到直线 的距离关系及 ，有)1,(x0yx42ba ， 又121| 22xba 01532x ，化简得： ，即 ；53xx 09624)( ，这与 为整数相矛盾。 故不存在实数 和 使得（1）和（2）同时成立。ab 变用二： （）0|cyx2020)()(yx 其几何意义：不过原点的直线 外的任一点到该l 直线 上各点的斜线和垂线中，以垂线最短。如图l 根据图形直观，不难看出，和点 不在直线 同一侧的点及直线 上点 的坐标MllP 都满足不等式（） 。),(yx 例 2. 若 ，求函数 的最小值。02y yxz422 解：由所给的函数关系可得： )()1(5 显然，点 在直线 的下方，而坐标满足),1(yx 的点 都在直线 上及上方02yx),( 02yx 区域，由公式（） ，有 ，2)5(1|41| 于是 ，即 ， ；549)()1(22yx 9z52z 故函数 的最小值为 。yxz4 变用三：若 是一个正的常数，则 小于 、等于 、大于 分别表R20|bacyxRR 示直线 与定圆 相交、相切、相离的位置关系。0cbyax 020)()( 例 3.求证：方程 0cossinba)2. （）当 时，有两个相异实根；22 （）当 时，有唯一实根；c （）当 时，无实根。22ba 分析：令 ， ，则方程 在 内有sinxcosy 0cossinba)2. 根的情况等价于直线 和圆 有无公共点的情况，所以当原点012yx 到直线 和圆 有无公共点的情况，所以当原点 到)0,(Ocbyax2 )0,(O 直线 的距离依次小于、等于、大于 1 时，该方程分别有两相异实根、有唯 一实根和无实根，即 当 时，也就是当 时，cossin|0| 2222 babac 22cba